基于分段冪次函數滑模觀測器的永磁同步電機速度控制

田其章，文定都，劉建華，周志宇，羅 達，張 陽

（湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有運行效率高、損耗小、體積小、功率因數高，以及結構簡單等優點[1]。因此，永磁同步電機在交流驅動和控制領域得到了廣泛的應用[2]。在傳統的PMSM 控制中，為了提高永磁同步電機的精確控制，需要對電機安裝位置傳感器和速度傳感器，這些傳感器不僅增加了電機的體積，而且降低了控制系統的魯棒性，因而使得永磁同步電機的應用受到了一定的限制[3]。因此，近年來，永磁同步電機的傳感器控制研究，成為了國內外相關學者們研究的熱點領域之一[4]。

目前，常見的無傳感器控制方法，主要有高頻注入法[5]、卡爾曼濾波器法[6]，以及滑模觀測器（sliding mode observer，SMO）估算法[7]。采用滑模觀測器時因其會有抖振現象產生，從而會影響觀測精度，為了解決滑模觀測器中固有的抖振問題，文獻[8]利用sigmoid 函數代替開關函數，從而抑制了抖振現象，但是無法保證控制系統的魯棒性。文獻[9]在滑模觀測器中設計了具有變截止頻率的低通濾波器，有效地抑制了系統抖振現象。文獻[10]采用擴展卡爾曼濾波器對電機反電動勢進行了觀測與濾波，達到了抑制抖振的效果。文獻[11]在傳統滑模觀測器的基礎上引用了指數趨近律，設計了一種新型的趨近律，達到了降低系統抖振的目的。文獻[12]采用分數階滑模，有效地削弱了系統抖振現象。文獻[13]采用具有非奇異終端滑模的低通濾波器進行觀測，并且將其和傳統的滑模觀測器進行了對比分析，證明了該觀測器在抑制抖振方面有了明顯的改善。

本文擬針對傳統滑模控制中存在的抖振現象，提出一種新型的滑模觀測器。所提出的觀測器在傳統滑模觀測器的基礎上，構造了一種新型的S 函數，以有效地抑制滑模固有的抖振問題。同時，為了進一步提高永磁同步電機的動態跟蹤性能，加入了滑模控制器，以提高調速系統的收斂速度和控制性能。最后，通過理論分析與實驗仿真對比，證明了所提出的新型滑模觀測器結合滑模速度控制系統的收斂迅速、控制性能較高，能有效地削弱滑模觀測器中固有的抖振問題，且具有很強的魯棒性。

2 PMSM 數學模型

表貼式PMSM 在兩相靜止αβ 坐標系下的電壓方程如下：

反電動勢方程如下：

式（1）（2）中：

uα、uβ分別為兩相靜止αβ 坐標系下的定子電壓；

iα、iβ分別為兩相靜止αβ 坐標系下的定子電流；

R 為定子電阻；

Ls為定子電感；

eα、eβ分別為αβ 坐標系下的電機反電動勢；

ψf為永磁體磁鏈；

ωr為轉子轉速；

θ 為轉子位置信息。

由式（1）可以得出PMSM 在兩相靜止αβ 坐標系下的電流方程如下：

3 滑模觀測器的設計

根據電流方程式（3）和滑模變結構控制基本原理，定義滑模結構控制的切換函數如下：

式中：x 為狀態向量；

以估測電流與實際電流之間的誤差構成的切換面，為

3.1 傳統滑模觀測器

根據式（3）與滑模變原理，設計傳統滑模觀測器的電流方程如下：

sgn( )為開關函數；

ks為滑模觀測器切換增益。

由式（6）與式（3）作差，可以得到如下定子電流的誤差方程：

當系統存在并且穩定運行于滑模面時，S(x)=0，可得：

通過濾波后，根據公式（2）與公式（8），即可以從反電動勢中提取估算的轉子位置信息以及轉子的電角速度：

式（9）（10）中：θe為轉子位置估算的角度；

ωe為轉子估算的電角速度。

通過上述推導，可以得到傳統滑模觀測器的原理圖，如圖1 所示，圖中s 為拉普拉斯變換復頻域變量。

圖1 傳統滑模觀測器原理圖Fig.1 Schematic diagram of a traditional sliding mode observer

3.2 新型滑模觀測器

由于傳統滑模觀測器中存在固有的抖振現象，高頻率抖振不僅會增加系統能耗，而且會直接影響觀測精度，為了削弱系統中存在的抖振現象，本文設計了一個分段冪次函數，其公式如下：

式中：b 為邊界層厚度；

x 為觀測電流值和實際電流值之間的誤差。

由式（10）可以看出，系統的穩定性和曲線的斜率有關，故可以通過改變常數b 的值來檢測對系統的優化效果以及反電動勢的穩定性程度，改變后發現，當b 的取值為0.001 時，其對該系統的優化和穩定反電動勢具有最佳的效果。該函數在不同b 值下的曲線如圖2 所示。

圖2 不同b 值下的分段冪次函數Fig.2 Piecewise power function with different b values

根據式（2）（3）（6）（11），可以推算出新型滑模觀測器的數學模型，為

通過式（12）構成的新型滑模觀測器濾波后，可以從反電動勢中提取出估算的轉子位置信息以及轉子速度。

新型滑模觀測器的原理圖如圖3 所示。

圖3 新型滑模觀測器原理圖Fig.3 Schematic diagram of the new sliding mode observer

3.3 新型滑模觀測器的穩定性證明

為了證明新型滑模觀測器的穩定性，選取李雅普諾夫函數：

式中V 為 Lyapunov 函數。

要使得新型滑模觀測器穩定運行，則其導數應該滿足：

從而可得：

4 滑模速度控制器的設計

本研究是在表貼式PMSM 下設計滑模控制器，首先在兩相旋轉坐標d-q 軸系下建立如下永磁同步電機的數學模型：

式中：ud、uq分別為定子電壓在兩相旋轉坐標d、q軸下的分量；

id、iq分別為定子電流在兩相旋轉坐標d、q 軸下的分量；

pn為電機相數；

J 為轉動慣量；

TL為負載轉矩；

B 為轉矩阻尼系數。

本文根據表貼式PMSM 的特點，選取了id=0 的矢量控制策略。此時式（22）的數學模型變為

定義永磁同步電機系統的狀態變量為

式（23）（24）中：ωref為電機的給定轉速；

ωm為實際轉速。

將式（23）和式（24）聯立可得：

即

對于轉速滑模控制器，選取滑模面函數為

式中，c 為設計參數，且c＞0。

對式（28）求導，可得：

選擇如下指數趨近律：

式中，ε、q 均為設計參數，且ε＞0、q＞0。

由式（29）與式（30）可得：

由式（31）可得u 的表達式為

從而可得到q 軸的參考電流為

根據式（33）可以得出，q 軸的參考電流控制器中包含有積分項，一方面，它可以加快初始轉速的響應速度，減小調節時間；另一方面，它可以減少系統的抖振現象。而由滑模的可達性條件，容易驗證在控制器（如式（33）所示）的作用下，系統將逐漸趨于穩定。

5 控制系統建模仿真與分析

5.1 仿真模型的搭建

為了驗證上文中所給出的滑模速度控制器的正確性，接下來根據滑模面函數式（28）以及q 軸的參考電流表達式（33），在Matlab/Simulink 環境下，搭建了滑模速度控制器的仿真模型，具體如圖4 所示。仿真模型中，滑模速度控制器的參數設定如下：c=50，ε=180，q=300。

圖4 滑模速度控制器仿真模型Fig.4 Sliding mode speed controller simulation model

基于新型滑模觀測器結合滑模控制器的永磁同步調速系統的控制原理圖如圖5 所示，基于新型的滑模觀測器永磁同步電機的仿真模型如圖6 所示。在該新型滑模觀測器中，采用分段冪次函數代替開關函數后的部分仿真模型圖如圖7 所示，其中的參數設置如下：常數b=0.001，增益ksw=73.5，低通截止濾波器f =20 000。

圖5 基于新型滑模觀測器結合滑模控制器的永磁同步調速系統控制原理圖Fig.5 Schematic diagram of permanent magnet synchronous speed control system based on a new sliding mode observer combined with sliding mode controller

在本研究中，三相永磁同步電機仿真的電機參數設置如下：極對數Pn=4，定子電阻R=2.875 Ω，定子電感Ls=8.5 mH，轉動慣量J=10-3kg·m2，磁鏈ψf=0.175 Wb，阻尼系數B=0.008 N·m·s。系統的具體仿真條件設置如下：直流側的電壓Udc=311 V，PWM 的開關頻率fpwm=10 kHz，仿真時間設為0.2 s，給定的初始轉速為1 000 r/min，并且在0.05 s 時突加5 N·m 的負載轉矩。

圖6 基于新型滑模觀測器的永磁同步電機仿真模型Fig.6 Simulation model of permanent magnet synchronous motor based on a new sliding mode observer

圖7 新型滑模觀測器中使用分段S 函數部分仿真模型Fig.7 Partial simulation model using piecewise S function in the proposed sliding mode observer

5.2 仿真結果與分析

基于傳統滑模觀測器和基于新型滑模觀測器的PMSM 仿真結果如圖8～10 所示。其中，圖8 為傳統滑模觀測器的轉速仿真波形與新型滑模觀測器的轉速仿真波形，圖9 為傳統滑模觀測器與新型滑模觀測器結合滑模速度控制器的三相電流仿真曲線，圖10為傳統滑模觀測器與新型滑模觀測器結合滑模速度控制器的轉速誤差仿真曲線。

圖8 滑模觀測器的轉速仿真波形Fig.8 Speed simulation waveforms of sliding mode observer

圖9 滑模觀測器的三相電流仿真曲線Fig.9 Three-phase current simulation curves of sliding mode observer

根據圖8 所示滑模觀測器的轉速仿真波形可以得知，傳統的滑模觀測器在轉速觀測過程中，超調現象較為嚴重，電機的轉速從0 r/min 上升到給定轉速1 000 r/min 的調節時間較長，達到給定轉速后的抖振現象較大，系統穩定性較差，突加負載后的超調量σ=2.5%；而新型觀測器結合滑模速度控制器在轉速觀測過程中，其超調量非常小，電機的轉速從0 r/min上升到給定轉速1 000 r/min 的調節時間很短，具有良好的動態響應速度，達到穩定后，抖振現象非常小，突加負載后的超調量σ=1.5%。

由圖9 所示的滑模觀測器的三相電流仿真曲線可以得知，傳統的滑模觀測器估算出的三相電流可以呈現出基本的正弦波形，但是整個波形的波動幅度非常大，并且在突加負載后，三相電流恢復的速度較慢；而基于新型滑模觀測器的三相電流呈現為標準的電流正弦波形變化，并且在突加負載后，三相電流的恢復速度非常快。

圖10 滑模觀測器的轉速誤差仿真曲線Fig.10 Simulation curves of rotational speed error of sliding mode observer

由圖10 所示滑模觀測器的轉速誤差曲線可以得知，傳統滑模觀測器的實際轉速與估測轉速的誤差在-5～10 r/min 大范圍內劇烈波動，抖振現象非常嚴重；而新型滑模觀測器的實際轉速與估測轉速的誤差在-1～2 r/min 范圍內波動，抖振現象很小，且相較于傳統滑模觀測器，新型滑模觀測器在應對突加負載時，轉速誤差變化較小。

根據上述仿真結果與分析可以得知，傳統的滑模觀測器產生的超調現象較為嚴重，系統動態響應速度較慢，抖振現象較嚴重，且突加負載時，系統抗干擾能力較差，調節時間較長；而新型滑模觀測器結合滑模速度控制器產生的超調量較小，系統具有良好的響應速度，抖振現象很小，當突加負載時，系統具有良好的抗干擾能力。

6 結語

本研究采用分段冪次函數設計了一滑模觀測器，提出了一種基于新型的分段冪次函數的滑模觀測器結合滑模速度控制器的調速控制系統。經過仿真試驗驗證，發現相對于傳統的滑模觀測器調速系統，基于新型的滑模觀測器結合滑模速度控制器的調速系統，在電機控制過程中，無論是在抗干擾能力、超調量、動態響應速度方面，還是維持三相電流穩定方面，都具有一定的優勢。在整個仿真試驗中，基于新型的滑模觀測器結合滑模速度控制器的調速系統，能夠明顯地削弱抖動現象，增強了系統的抗干擾能力。因此，證明了所提出的新型的控制系統的魯棒性較強，達到了預期的設計目的。