基于經驗的單元整合 促進知識的深度融合

魯樂芳

【摘要】 高效、和諧的課堂是現代課堂不懈的追求，課程整合是實現這一目標的有效路徑。教學中，教師要摒棄以知識為中心的教學，從學生的認知經驗、智理水平和思維方式出發，合理、有序地設計立體式的教學，幫助學生構建完整知識體系，促進學生真實學習的發生，以提升學生思考的廣度和深度。本文以“小數乘法”單元整合為例，通過學情分析，梳理單元知識間的關聯：“重構教材，讓知識走向體系化;溝通聯系，讓思維走向結構化;抓住本質，讓教學走向深度化;拓展創新，讓數學走向完善化。”引導學生系統化的建構知識，達到單元知識的深度融合。

【關鍵詞】小數乘法 單元整合 深度融合

小數乘法是小學數學計算教學中的一個重要內容：“怎樣讓學生能更好的理解算理與算法，啟迪學生的思維？怎樣讓學生具備良好的運算能力，養成良好習慣？怎樣在數學活動中積累豐富經驗，形成有效的學習方法？”這些都是我們計算教學中所關注的問題。本文從整體上分析計算教學的特征，對教材進行有機整合，積極探尋促進學生思維發展的核心問題，以實現計算教學體系中算理之間的深度融合。

一、前測分析學情，立足現實起點

對于課程設計思路，課標明確提出，既要關注學生的心理特征、分析其認知規律，也要把握住數學這門學科的本質，在呈現數學結果的同時，引導學生利用前期積累的經驗，從真實的情境中提取有價值的數學問題并構建模型，一步步探尋解決問題的方法。因此在對小數乘法整合前，我們對學生的學情、教材編排進行分析，以便尋求合理的整合途徑。

1.學情分析，找準起點

學生對小數乘法掌握情況如何？為探明教學實際基礎，真實了解學生的需求，課前抽取了五年級同一任課老師所教的兩個班學生進行了小數乘法的前測。

前測目的：在缺少實際情景背景支撐的條件下，學生對小數乘法形成了怎樣認知，具備了何種表征能力，鼓勵學生在解決問題時能運用多樣化的方法，測試學生的數感、表征能力以及創新能力。

前測對象：五（1）、五（2）班全體學生

前測方式：無提示筆試+后期訪談

本題組從測試中我們可以看出：

（1）學生算理自主表征能力較弱

在計算第一題時，只有85%的學生得到了正確答案，能運用兩種或多種方法做題的學生占比為25%，比如用乘法的意義、積的變化規律、乘法分配律、加計量單位計算等以前學過的方法。在表達算理時，只有3個學生采取了畫圖的方式，這意味著具備發散思維的學生數量并不多，學生不能夠利用知識遷移解決沒有學過的問題，大部分學生的數感、表征能力有待提升。

（2）學生對算理理解模糊不清

第二題的正確率為45%，明顯低于第一題，在前測卷的錯誤例題中我們發現有些孩子在豎式下面還會出現小數點，我們對這些學生進行訪談。

問題：在豎式下面也出現小數點了，你是怎么想的？

生1：因為在2.4乘13中，3乘以2.4等于7.2，1乘以2.4等于2.4，7.2加上2.4就等于9.6。

生2：因為我們學過整數乘法，在整數乘法中，我們是要一個一個數字往上乘的，第一個數乘出來等于7.2，第二個數乘出來等于2.4，乘法算式是要隔一位對齊的，所以個位是2，十位7加4，等于11，寫一進一，百位2加1等于3，總共是312，前面有一位小數，所以是31.2。

從這兩位同學我們可以發現，他們受前面小數乘一位整數的影響，覺得每一次乘出來的結果都要寫上小數點。第一位同學是忽略了2.4乘以13中1乘以2.4，其實是10乘以2.4，結果是24，最后應該是24加7.2。第二位同學雖然結果正確，但是中間的原因也是一知半解。因此在小數乘法的豎式教學中我們需要做到“理法”并重，不但要幫助學生理解算理，同時也要明晰算法。

（3）粗淺模仿，創新意識較弱

與第2題相比，第3題正確率明顯偏低，只有35%的學生做對。其中既有豎式錯誤，也有積的小數點位置錯誤。這意味著對于大多數學生而言，只是關注了表面現象，他們只是記住了在小數加減法中要對齊數位，因此遷移到小數乘法時，誤認為也需要對齊末位，沒有深層次的對比分析，抓住知識的本質特征，只是依靠數感解題，創新意識較為薄弱。

2.抓住關鍵，確定方向

綜上所述，我們考慮教學實際，對目前小數乘法知識整合中做到一個“貫穿”和一個“回歸”。

（1）貫穿：把計數單位貫穿算理教學始終

從教材編排分析，小數乘法的計算分 4個例題展開教學（如下圖）：

這樣編排的主要意圖是降低難度、減緩進度，給予學生更多的算法熟練時間與應用。然而小數乘法實際上是由整數乘法演進而來的，它并不是孤立存在。因此在教學中我們將小數乘法的4個例題進行整合，讓原本相似的小數乘整數和小數乘小數的教學流程在單元起始課中進行統構，并對整數乘法中計數單位進行深挖，把小數乘法置于整個計算新教學體系之中，用計數單位相乘的思路來整體架構，運用轉化思想把小數與整數兩種乘法之間的算理進行融通，進一步加深對小數乘法算法的理解，從而減輕學生的思維負擔。

（2）回歸：以整數乘法為切入點，落實思維主線，回歸知識本質

學生對數學知識的理解始于主動地探索，我們在分析學情時明顯發現，有些學生不具備良好的創新意識，把小數與整數、小數相乘這兩項內容進行整合，改變了傳統教學的思路，鼓勵學生大膽嘗試，積極探索，有機整合演繹推理與類比推理，弄清算法，探明算理。當學生對小數乘整數的算理有了深刻理解，對積的位數變化進行觀察，分析積與因數位數之間存在怎樣的聯系，再猜想他們之間的關系，通過類比推理驗證，得出小數乘法的一般計算方法，真正抓住知識的本質。

二、梳理整合內容，重構單元框架

基于以上思考，在整體遵循教材邏輯順序的同時，進行適當的整合與拓展，形成本單元整體框架。

通過單元重構構建更加合理的教學序列，用一課時新授小數乘法改變了原有教學的重復性，讓學生感受到學習挑戰性，讓各個部分知識相加產生大于整體的效果。

三、研磨教學設計，落實整合內容

前測、課前思考等教學實踐活動結束之后，從學生已經熟練掌握的整數乘法的算法與算理為切入點，運用計數單位來建構小數乘整數、小數的算理，形成完整的算理結構。

1.重構教材，讓知識走向體系化

整合小數乘小數、乘整數，在整個教學流程之中既要關注學生產生了怎樣的困惑，也要分析教材有哪些難點，把這些內容安排到教學活動中，形成了如下圖所示的設計意圖。

從中可以看到，通過小數乘整數的算法讓學生對算理產生一定的感知，在“豎式”中體現出計算原理，使“積的處理”問題得到解決。有了這樣的鋪墊之后，帶領學生分析在小數乘法計算中，運用豎式應該怎樣對兩個因數進行對位，由此分析積的定位方法。這樣的設計一步步進行，讓教材在編排方面存在的欠缺得到彌補，幫助學生消除困惑。

2.溝通聯系，讓思維走向結構化

計算教學就是要讓學生理解算理，為了突破這一難點，在教學設計環節，教師要對學生原有的知識、經驗等有所把握，為教學找到合適的起點，又能使學生根據已有的知識自我提出問題，充分表達自己的思考和發現。因此，教師要架構一些輻射性問題，讓學生進行合理的猜想，準確遷移，溝通知識間的本質聯系。

[課堂回眸]

師：到底 0.8×3 怎樣計算呢？請同學們嘗試獨立計算。學生獨立解決問題后匯報算法。

生 1：我是用加法算的，0.8+0.8+0.8=2.4所以0.8×3=2.4。

生 2：我覺得0.8元就是8角，有3個8角，用乘法就能得到24角，就是2.4元。

生 3：8×3=24，0.8×3=2.4。

生4：我是把0.8當成8個0.1，8個0.1乘3等于24個0.1，就是2.4.

師：剛才同學們提出了好多種思路，老師對其進行了整理，大家看，這幾中方法雖然不同，有沒有相同之處？

生：雖然這是小數乘法，但同學們都是把小數轉化成了整數，然后再計算，用到的式子實際上就是8×3=24。

師：（指著8）那剛才這里的8其實表示的是什么？

生：8個0.1.

師：看來8×3可以幫助我們計算0.8×3，你還能想到哪些乘法算式？并講一講計算的道理。

生：800×3就是每份是8個百，共有3份，就是24個百，得到了2400。

0.08×3表示每份是8個 0.01，共有3份，一共有24個0.01，得到了0.24。

0.008×3……

師：大家剛才舉出的這幾個乘法算式，存在著哪些相似之處？

生：都是先想8×3，計算之后再根據計數單位的個數把小數點點到合適的位置。

師：剛才還有同學是這樣做的，你認同那種方法？

……

教師要引領學生建構新知識，一定要讓學生固有的經驗、前期掌握的知識得到有效利用，讓新舊知識互相碰撞。為此，教師要用運用問題情景讓學生回憶已有的知識，能運用多種辦法自主嘗試解決問題，再從這些“不同”表達中尋“相同”計算之理，在匯報與交流的過程中解釋算理，培養學生的質疑思辨能力，讓學生在合作、溝通的過程中對小數乘整數產生更加深刻的理解，找到方法之間的共通之處，引導學生形成計算小數乘法要將其轉化成整數乘法的認識，將學習引入關聯結構水平，深刻對算理的理解。

3.抓住本質，讓教學走向深度化

教師在引導學生的過程中。既有縱向透視，也要橫向溝通，由點入線，由線入面，由面入體。把新知識融入已有的知識體系之中，借助于問題喚醒思維，找到新舊知識在本質上的相通之處，彼此之間形成聯系。按這樣的思路組織數學教學活動，除了能讓學生系統、全面、深刻地理解數學知識以外，也能讓他們從宏觀上把握住不同知識點之間的聯系，讓學習變得更有深度。

[課堂回眸]

師：剛才我們通過8×3得到了很多題目的答案，現在如果有這樣一題0.8×0.3，跟前面的題目有什么不同，你知道他的結果是多少？說說你的理由？

生：因為8×3=24，0.8×0.3有24個0.01，所以0.8×0.3=0.24。

師：如果我把題目改成3.6×2.4你還能計算嗎？請你列豎式算一算。

師：為什么結果不一樣，你支持哪個？

生：我支持第一個。因為3.6×2.4， 估大后結果也只有12，不可能是86.4

生：如果把這兩個乘數全部擴大10倍，就可以列36×24這個式子，這樣一來積與原來相比擴大了100倍，再用得到的積864除以100就可以了，結果是8.64。

生：我們是按照36×24來計算，所以第二個算式中間結果沒有小數點。

師：你聽懂了嗎？誰再來說一說？……

提問：猜一猜，第三個計算的結果寫成了86.4可能是什么原因？

生：可能只看了一個因數的小數點。

生：我覺得可能與小數加減法相同，需要對齊小數點。

追問：你的意思就是在小數乘法的過程中，要按同樣的方法確定小數點的位置嗎？

師：學習了小數乘法以后，我們一起來梳理一下計算思路。

生：在計算小數乘法時，可以把兩個因數都當成整數，得到了積之后，在根據計數單位的個數加上小數點。

生：在點小數點的過程中，要根據積的變化規律進行。

生：因數里的小數共有幾位，積的小數就有幾位。

小結：大家關注了因數與積的小數位數之間存在著怎樣的聯系，要數一數兩個因數共有多少位小數，也就是計數單位的個數，再為積點上小數點。

這一環節教師通過呈現學生的兩道不同豎式，放手讓學生主動辯“理”。當辯中遇“阻”時，教師適時切入，引導回顧整數乘法，在層層“逼”問中使學生漸漸“明”理，這樣學生就能更加清晰地感知到小數乘整數、乘小數這兩類不同的計算題之間存在著怎樣的聯系，弄清計算的本質，要重點計一計共有幾個計數單位。

4.拓展創新，讓數學走向完善化

教學的目的就是要幫助學生形成完善的知識結構，站在更高的高度分析知識的作用，探明知識的由來，弄清知識的本質。這樣不僅可以讓知識簡單易理解，方便遷移，而且能逐漸的形成整體結構，調整學生學習的方式和提升學生的學習能力，慢慢的學會學習，最終形成素養。

[課堂回眸]

（1）專項練習，重基礎：給積點上小數點

小結：剛才我們已經交流了應該怎樣為積點小數點，對小數乘法中的兩個因數與積進行觀察、對比，大家發現了什么？

這個練習環節主要是解決積的小數點的定位問題，涉及各種題型，既又要末尾去0，幫助學生解決計算中的疑難問題。學生感受小數乘法與整數乘法之間的計算本質，以觀察對比的方式明白積的定位方法與規律。

（2）鞏固練習，促掌握：豎式計算

47×5.6 = 1.25×0.8= ?3.4×2.09=

通過豎式計算內化算法、形成 技能，并通過對1.25×0.8和 3.4×2.09的算法說理聚焦計算本質。比較3.4×2.09與2.09×3.41的豎式計算，優化計算方法。

（3）提升練習，會聯想：

根據47×5.6=263.2，直接 出下面算式的積或因數。

4.7×56= 4.7×5.6= 0.47×5.6= （ ）×（ ）=2.632

本題組是對基礎練習中47×5.6=263.2這道題的再度開發，并通過開放題（ ）×（ ）=2.632深化算理，鞏固算法，促進深度學習。

（4）拓展練習，促深思

下面的問題（）可以 用2.6×7.2來列式。

a.小靜有2.6元，小名有7.2元，兩人一共有多少元？

b.有塊木板，它的面積為2.6平方米，在為它刷油漆時，如果每平方要用7.2元，需要用多少錢才能把這塊木板的油漆刷好？

根據算式“2.6×7.2”來選擇生活情境，并在情境中理解小數乘法意義，再根據情境解決小數乘法的實際問題，通過估算和精算對比感受小數乘法筆算的必要性，體會學以致用。

四、反思教學設計，讓整合更有效

回顧并反思小數乘法單元知識的整合，順著學生學習的路徑去思考教師教的路徑，學生不但學會計算小數乘法，并且理解了小數乘法的本質，具體來說：

1.自主感悟，在交流中思異求同

學生已經積累了一定的生活經驗，能得出“0.8×3”的正確結果，把這樣的問題融入真實的問題情境中，鼓勵學生在解決問題的過程中盡量運用多種方法，并對算理進行解釋。學生以多種方式進行對比、提問、觀察、合作、自主交流，加深對小數乘法意義的理解，進一步弄清算理。

2.豎式對比，在關聯中辨析明質

在計算“0.8×3”時，列豎式過程中遇到了“末位對齊”還是“相同數位對齊”這樣的問題，經過辨析之后弄清本質，讓學生能把整數乘法數位不對齊的經驗運用到新知識點，找到小數乘整數與乘小數之間的對應關系，使學生在“知其然”的基礎上能弄清“所以然”。更有價值的是，學生能通過辨析對計算本質產生深刻理解，知道計算就是要計、算計數單位有多少個。

3.分層練習，在梳理中提升素養

組織學生練習不能盲目，要體現出層次性，這樣的練習能讓學生理解算理，也能實現算法的鞏固，這些都有利于學生計算水平的提升，是發展數學思維的有效路徑。在計算的過程中學生糾錯、整理，能把小數與整數相乘時運用的基本算法進行梳理，把“理”與“法”整合到一起。滲透轉化思想，讓小數與小數相乘方面的問題得到解決，新舊知識之間的聯系會更加緊密，知識脈絡變得清晰，運算能力也能增強。同時，變機械的計算練習為深度的學習思考，在層層遞進式的解題過程中讓學生感受數學之理、數學之趣，激發學生對數學學習的熱情。

參考文獻：

[1]王昊焱，王彥偉.換個角度算“小數乘法”[J].中國多媒體與網絡教學學報（下旬刊），2020（10）：6-7+16.

[2]喬善娟.單元類別教學在課堂中的運用[J].小學科學（教師版），2019（07）：116.