對《萬有引力定律》的教學思考：地球質量等于太陽質量嗎？

林曉青

摘要：本文針對人教版高中物理必修2萬有引力定律的教學中，學生由于“參考系的不同選擇而算出太陽與地球質量相等”的錯誤觀點從最初的“兩體運動”規律出發，一步步推導，最后得出最準確的結果，即無論是以地球還是太陽為參考系，最后算出來的都是太陽與地球的質量之和（），并非說地球與太陽的質量相等。緊接著以所得到的結論，解釋了開普勒第三定律的成立條件，并針對中學生教學，提出簡單而又能讓學生容易接受理解的例子，即“雙星系統”來闡述本課題的結論！

關鍵詞：參考系 ; 兩體系統 ; 折合質量

在高中物理必修2萬有引力定律的教學中，有學生提出這樣的問題：如果知道地球繞太陽轉動的周期T和引力常量G時，即可知道太陽的質量（設太陽質量為M，地球質量為m，并假設地球繞太陽做勻速圓周運動）;現在以地球為參考系，則由物體的相對運動規律，可知此時變成太陽繞地球做勻速圓周運動，且運動周期仍然為T（忽略其它星球對此系統的影響）。則此時由萬有引力定律，可算出地球的質量m，且地球與太陽的質量相等！！試問，這樣的思維過程，錯在哪里？

解答：當地球繞太陽做勻速圓周運動時，由萬有引力定律，有，可得出 （1）

反過來，當以地球為中心時，變成太陽繞地球做勻速圓周運動，則也有，可得出 （2）

這樣一來，得到;顯然，對于實際結果而言，這個結論是錯誤的。下面針對這樣的錯誤作一個具體分析：

首先介紹一下大學物理中關于“兩體運動”的一些基本情況。

令，則可得，這樣就具有與牛頓第二定律相同的表達式子;物理上，把稱為兩質點系統（兩體系統）的折合質量或約化質量。

這里簡單說明一下引入“折合質量”的原因。牛頓第二定律是在慣性參考系中由實驗現象及數據總結出來的規律，但它只能適用于慣性參考系中;而對于非慣性參考系，牛二定律將不再適用。這里引入“折合質量”的原因，正是為了在非慣性參考系中，兩質點的相對運動在最后也能滿足牛頓第二定律這樣的形式，從而方便我們討論。

現在再回到太陽與地球的兩體問題。在實際的天體問題中，由于兩物體之間的內力作用（已假設忽略其它星球對此系統的影響），太陽也不是靜止不動的。則由前面的介紹，可得若以太陽為參考系，地球與太陽之間的相互作用力為，從而地球相對太陽的加速度大小

到這里，其實我們也可知道對于地球繞太陽運動時，地球的合外力

如果反過來以地球為參考系，則看成太陽繞地球做勻速圓周運動，算出的仍為。

總結：對于一開始所提出的問題，無論是以地球還是太陽為參考系，最后算出來的都是太陽與地球的質量之和，并非說地球與太陽的質量相等。

但是這里又會有另外一個疑問：開普勒第三定律中（其中M為中心天體，k表示常量），為什么只是除以中心天體的質量而不是除以呢？

這是因為開普勒在總結出開普勒第三定律的時候，是假設了中心天體是靜止不動的;而對于這樣的假設，其實是需要附加一個條件，即，即中心天體的質量要遠遠大于行星的質量。當然，在中學物理上，一般都是默許了這一條件。

所以，再次回到最初的問題上，如果，則無論以太陽為參考系或者地球為參考系，最后算出來的都是太陽的質量。

前面的推導過程是以大學物理的非慣性參考系中的物理規律為基礎而算出結果的，但對于中學實際教學，又該如何向學生講解，才能使學生較為容易接受呢？如果部分學生對于上面的解答過程的理解較為困難，也可考慮用中學生較為熟悉的“雙星系統”來稍作講解。當然，從本質上講，“雙星系統”問題也只是“兩體系統”中的一部分。

行星運動中的“雙星系統”指的是兩顆恒星僅在彼此之間的引力作用下而繞著中心連線上的某個點做圓周運動。其實這個點正是該系統的質心所在的點！那么由雙星系統，能夠算出的也僅僅是兩顆恒星的質量之和。

解答：設兩顆恒星的質量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為、。根據題意有 ①

由這個例子也可看出，當時，，即可近似看成作為中心天體，是幾乎靜止不動的。這樣一來，算出的近似為的質量的大小了。（完）

參考文獻

[1]趙凱華、羅蔚茵. 新概念物理教程——力學. 高等教育出版社，2011.

[2]漆安慎. 力學. 高等教育出版社，2007.