“數(shù)形相依，化難為易”

尹婷

【摘要】隨著時(shí)代發(fā)展的要求，我國新課標(biāo)的不斷深入推廣，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究提出更高要求和標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)是一種科學(xué)，它是用來研究數(shù)量關(guān)系（數(shù)）和空間形式（形）的。一切的數(shù)學(xué)問題歸根結(jié)底就是數(shù)與形的問題，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。利用數(shù)形結(jié)合使“繁”化“簡”，抽象問題具體化，是促進(jìn)形象--抽象兩種思維的和諧發(fā)展，主要用以“數(shù)”解“形”、以“形”助“數(shù)”、“數(shù)”“形”互譯三方面來培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)問題;數(shù)形結(jié)合

“數(shù)形結(jié)合”帶給教學(xué)蓬勃發(fā)展之力，讓教學(xué)擁有持續(xù)性的活力。在數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)中，針對(duì)學(xué)生課堂上所需，可以把有關(guān)于數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形的數(shù)學(xué)問題來討論，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究。數(shù)形結(jié)合思想，是行之有效的解題方法。把握數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典運(yùn)用，必然走向?qū)嵤└咝Ы忸}的康莊大道。

一、以“數(shù)”解“形”，把握數(shù)學(xué)問題中的幾何直觀性

“數(shù)”輔助“形”，以將“形”數(shù)字化。以“數(shù)”解“形”，就是要借助數(shù)的精確性來闡明形的一些屬性，多用于幾何領(lǐng)域。“形”具備形象直觀的優(yōu)勢，但也有不便于表達(dá)的劣勢。對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，可以借助代數(shù)的運(yùn)算特性，將有關(guān)于幾何圖形的知識(shí)化難為易，可表示為簡單的數(shù)量關(guān)系，用算式、用字母表示的多項(xiàng)式來詮釋，以獲得廣泛的知識(shí)面，這就是“以數(shù)解形”。

案例：在北師大版五年級(jí)上冊(cè)《圖形中的規(guī)律》的教學(xué)中，提出這個(gè)圖形有多少根小棒拼成？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)1：在第一個(gè)由小棒拼成的三角形的基礎(chǔ)上，學(xué)生依次多擺一個(gè)三角形就增加2根小棒;發(fā)現(xiàn)2：第一個(gè)由小棒拼成的三角形由1根小棒和所增加2根組成，學(xué)生依次增多擺一個(gè)三角形就增加2根小棒。

從圖形中把“數(shù)”抽象出來，理解用“數(shù)”表示物體個(gè)數(shù)的含義和作用，讓學(xué)生通過數(shù)字，發(fā)散思維，并記住所包含的圖形特征，再借助對(duì)問題中的“數(shù)”進(jìn)行強(qiáng)化，從而解決幾何問題。在“思數(shù)”的過程中去利用“數(shù)”來解“形”。

二、以“形”助“數(shù)”，探尋解題思路以解決數(shù)學(xué)問題

“形”助“數(shù)”，可將“數(shù)”委以直觀化，借“形”直觀之力來理解抽象的“數(shù)”與“數(shù)”之間的某種關(guān)系，多用于代數(shù)領(lǐng)域。獲取解題思路常用“形”來幫助，借助圖形來理解題意，最大的優(yōu)勢在于將抽象化問題變形象化，可以直接把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，探求出解決問題的思路。

案例：計(jì)算? ?+? ?+? ?+? ? +? ? +? ? =？。這類較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)加法問題，很多同學(xué)看到題，第一件事就是找公分母去通分，結(jié)果運(yùn)算復(fù)雜，不能直接給出答案。殊不知，這道數(shù)學(xué)題目可利用正方形的面積平均分成等份來解決。從圖形示意圖來看，利用分?jǐn)?shù)的意義，正方形的總面積看成“1”，把正方形面積平均分成2份，取它的的一半可以用? ? 來表示，再取? ? 的一半就是? ? ?……，可以直接得出陰影部分的面積為? ? ，那么在正方形面積中，把陰影部分減掉后得到的就是? ?+? ? +? ?+? ? +? ? +? ? ?的和，得出? ? +? ?+? ?+? ? +? ? +? ? =1-? ? ?=? ? ?（如圖）。

復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)眼化成如此簡單明了的圖形演示，讓學(xué)生明白，將問題轉(zhuǎn)化為形的劃分，解題會(huì)如此的快捷，創(chuàng)造思維得到開拓。對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識(shí)的探索更有趣味性，感覺解決數(shù)學(xué)問題是一件很奇妙的事情。

三、“數(shù)”“形”互譯，思維開花

數(shù)形結(jié)合是一種可行的問題解決策略，也是重要的數(shù)學(xué)思想。“數(shù)”“形”互譯，“數(shù)”可以利用圖形從抽象到直觀，“形”也可以利用數(shù)來詮釋它的結(jié)果。

案例：在北師大版五年級(jí)上冊(cè)《點(diǎn)陣中的規(guī)律》這一課時(shí)，利用正方形點(diǎn)陣圖，可以通過探究其中一組圖形規(guī)律的方式方法，滲透其間的數(shù)學(xué)思想和積累有效的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從發(fā)現(xiàn)的圖形規(guī)律去解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題。

由此，可以通過建立數(shù)、形、數(shù)的思維模型， 去解決更高難度的題目。

如：1+2+3+4+5 +…+49+50+49+…+5+4+3+2+1=（50×50 ）=2500

學(xué)生在經(jīng)歷一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)、生成、結(jié)論的過程中，充分發(fā)揮形中有數(shù)、數(shù)中有形，相輔相成的妙處，使學(xué)生能自由轉(zhuǎn)化。

四、結(jié)束語

有“數(shù)”就有“形”，有“形”就有“數(shù)”，二者互利共生，難以割舍，共同致力于數(shù)學(xué)問題的研究，功不可沒。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維”列入小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的。師者要學(xué)會(huì)把數(shù)學(xué)問題中的“隱藏于形”的數(shù)形結(jié)合思想方法“顯而易見”地傳遞給學(xué)生，使學(xué)生在學(xué)習(xí)日常中日積月累，達(dá)到提升更高層次思維能力的目的。教師借助以數(shù)解形、以形助數(shù)、數(shù)形互譯，幫助學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，展示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，協(xié)助學(xué)生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張雅芬.以“形”助“數(shù)”促發(fā)展——例談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2015（32）： 189-190.

[2]袁婷.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透研究[J].學(xué)周刊：下旬，2015（2 ）：60-61.

（責(zé)任編輯：張曉東）