器、術(shù)、道：再談?wù)n堂教學(xué)目標(biāo) ①

胡云飛

(江蘇省溧陽(yáng)市教師發(fā)展中心 213300)

1 從一道高考題說(shuō)起

圖1-1

圖1-2

圖1-3

這是填空題的壓軸題.此題的解決，需要學(xué)生在“直觀想象”素養(yǎng)的引領(lǐng)下，借助“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，抽象出基本模型(如圖1-2)，確定“尋找小圓圓心”的解題思路：過(guò)點(diǎn)D1作平面BCC1B1的垂線，垂足就是所要尋找的小圓的圓心.這其實(shí)是一個(gè)面面垂直背景下的計(jì)算問(wèn)題(如圖1-3).

當(dāng)前的課堂教學(xué)，教學(xué)目標(biāo)低位是一個(gè)普遍存在的突出問(wèn)題.教師的關(guān)注點(diǎn)是知識(shí)和技能，通過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練來(lái)提高學(xué)生的解題能力.高考考查的不僅僅是知識(shí)和技能，而是“知識(shí)、能力和素養(yǎng)”的綜合.解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵并不是“平行、垂直的判定與性質(zhì)”這些知識(shí)，而是“空間想象能力”.立體幾何的教學(xué)，不能僅僅是“平行、垂直的判定與性質(zhì)”這些知識(shí)的掌握，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，提升直觀想象核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生形成空間觀念，這才是立體幾何教學(xué)的高位目標(biāo).

問(wèn)題出在考試，根子卻在課堂.只注重傳授知識(shí)的課堂，學(xué)生難有好的能力和素養(yǎng)發(fā)展.新的高考評(píng)價(jià)下，確立高位的課堂教學(xué)目標(biāo)愈發(fā)重要.

2 追求高位的課堂教學(xué)目標(biāo)

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出的“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”四層考查內(nèi)容，具有內(nèi)在的邏輯關(guān)系，是不可分割的整體.確定課堂教學(xué)目標(biāo)和組織課堂教學(xué)時(shí)，既要重視知識(shí)的理解，也要重視方法的掌握，更要注重解決問(wèn)題所蘊(yùn)含的思想觀念的滲透和形成，這是“四層”考查內(nèi)容在課堂教學(xué)目標(biāo)中具體體現(xiàn).

“工欲善其事必先利其器”，知識(shí)是“器”；“臣有百勝之術(shù)”，方法是“術(shù)”；“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”，思想是“道”.課堂教學(xué)要教“器”，教“術(shù)”，更要教“道”.

2.1 高位的課堂教學(xué)目標(biāo)是“器、術(shù)、道”的融合

2.1.1 課堂教學(xué)要注重“器”的深刻理解

例12020年新高考Ⅰ卷第7題：

A．(-2,6) B．(-6,2)

C．(-2,4) D．(-4,6)

例1圖

例2圖

不少學(xué)生通過(guò)建立直角坐標(biāo)系來(lái)解決本題，這不是最好的解題方法，這是對(duì)向量的數(shù)量積這個(gè)“器”理解不夠的表現(xiàn).如果理解了向量的數(shù)量積，能用“投影”來(lái)解決就快捷多了.有的教材對(duì)“投影”不作介紹，有教師有疑慮：“投影”要教嗎？投影要教，無(wú)論是基于向量運(yùn)算知識(shí)體系的完備性還是特殊化處理的方法的重要性，都應(yīng)該把“投影”納入向量的數(shù)量積的運(yùn)算中去，“投影”是向量的數(shù)量積的內(nèi)涵理解.這是知識(shí)內(nèi)涵的理解，是“器”的深刻理解.

例22020年江蘇卷第13題：

這是填空題的倒數(shù)第二題，一道重要的區(qū)分題.如果學(xué)生掌握了“等和線”的知識(shí)，此題可以快速地得到PD=6，從而得到AD=3，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成熟悉的解三角形問(wèn)題了.教材上并沒(méi)有等和線，等和線要教嗎？要教，“等和線”不是突然而來(lái)的新知識(shí)，不過(guò)是向量共線定理與“三點(diǎn)共線”的三角形向量表達(dá)式的應(yīng)用而已.

課堂教學(xué)要注重“器”的深刻理解.

2.1.2 課堂教學(xué)要注重“術(shù)”的真實(shí)掌握

例32020年全國(guó)高考Ⅲ卷(理科)第17題：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n．

(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

此題第(1)題是構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題，第(2)題是采取“錯(cuò)位相減法”來(lái)解決問(wèn)題，這些方法都是重要的解題方法，不能僅僅依靠題型訓(xùn)練，應(yīng)該在新授課中獲得，再在訓(xùn)練中得以強(qiáng)化.比如“錯(cuò)位相減法”，是從“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)中獲得.在教學(xué)時(shí)，要充分展開(kāi)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生積極思考主動(dòng)參與，不能為了課堂的“順利”就采取“告之”的教學(xué)方式，這樣的教學(xué)方式不真實(shí)，不利于學(xué)生掌握“錯(cuò)位相減法”.因此，“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”這一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，絕非僅僅是公式的熟練運(yùn)用，而應(yīng)該是公式推導(dǎo)過(guò)程中的方法理解，以及領(lǐng)悟支撐這種方法的轉(zhuǎn)化思想：化無(wú)限為有限.這與等差數(shù)列的求和思想，以及其他一些特殊數(shù)列的求和思想是一脈相承的.

例4全國(guó)高考Ⅲ卷(文科)第21題：

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積.

第(2)題，對(duì)條件|BP|=|BQ|的處理，如果能用斜率和橫坐標(biāo)來(lái)表示線段長(zhǎng)，就可以減少運(yùn)算量.

設(shè)直線BP的斜率為k，

得到點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出面積就不困難了.

對(duì)于兩點(diǎn)之間的距離，轉(zhuǎn)化成橫向距離或縱向距離來(lái)求解是重要的解決問(wèn)題的方法，對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算意義重大.這一種“化斜為直”的方法來(lái)自于教材中推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，因此，“點(diǎn)到直線的距離”這一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)就不僅僅是距離公式這一顯性知識(shí)，應(yīng)該把這種“化斜為直”的方法作為重要的課堂教學(xué)目標(biāo).

課堂教學(xué)要注重“術(shù)”的真實(shí)掌握.

2.1.3 課堂教學(xué)要注重“道”的感悟生成

例5新高考Ⅰ卷第22題：

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足. 證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

為方便敘述，先把(2)簡(jiǎn)解如下：

設(shè)直線MN的方程為y=kx+t，

點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

(1+2k2)x2+4ktx+2t2-6=0.

由條件AM⊥AN可得

x1x2-2(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+5

=0，

得(2k+3t+1)(2k+t-1)=0，

得2k+3t+1=0或2k+t-1=0，

得直線MN的方程為

直線MN斜率不存在等細(xì)節(jié)情況不再敘述.

此題是試卷的最后一題，屬于難題.用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是解析幾何的精髓，而“方程的思想”是根本.無(wú)論設(shè)哪條直線(事實(shí)上，本題設(shè)直線AM或AN的斜率也是可以解決的)哪個(gè)點(diǎn)，都是可以解決問(wèn)題的，不用擔(dān)心參數(shù)多，重點(diǎn)是利用題目條件建立方程，關(guān)鍵是合理消元.解析幾何的難還在于運(yùn)算，往往思路很簡(jiǎn)單，運(yùn)算卻很復(fù)雜，簡(jiǎn)化運(yùn)算就十分重要.“數(shù)形結(jié)合”是解析幾何重要的數(shù)學(xué)思想，“解析”是方法，“幾何”是對(duì)象，運(yùn)用幾何性質(zhì)是重要的簡(jiǎn)化運(yùn)算的策略.點(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn)，|DQ|為定值，則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以定點(diǎn)Q為圓心的圓，又因?yàn)锳D⊥MN，那么直線MN必然要過(guò)定點(diǎn).這樣從幾何角度去思考，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了判斷直線MN過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題了，這是“代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題”不難解決的：雙參數(shù)設(shè)直線MN的方程，利用AM⊥AN的關(guān)系消元，把雙參數(shù)轉(zhuǎn)化成單個(gè)參數(shù)，定點(diǎn)問(wèn)題自然不難了.

運(yùn)算能力是解析幾何考查的重要能力，運(yùn)算能力不是“死算能力”，很大程度上是一種思維能力，提高運(yùn)算能力的著力點(diǎn)應(yīng)該體現(xiàn)在“算理”上：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果[1].直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算是解析幾何重點(diǎn)提升的素養(yǎng)，在解析幾何的教學(xué)中，要突出方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，這是解析幾何的“道”，是解析幾何教學(xué)的重要目標(biāo).

課堂教學(xué)要注重“道”的感悟生成.

2.2 課堂教學(xué)案例

課堂教學(xué)要有高位的教學(xué)目標(biāo)，要有知識(shí)之“器”、方法之“術(shù)”和思想之“道”，切實(shí)關(guān)注“四基四能”.

下面以“函數(shù)的單調(diào)性”為課例具體說(shuō)明.

問(wèn)題1-1這是我市某一天24小時(shí)的氣溫變化圖，你能描述這一天內(nèi)氣溫變化情況嗎？

學(xué)生1：從0點(diǎn)到4點(diǎn)氣溫下降，從4點(diǎn)到14點(diǎn)氣溫上升，從14點(diǎn)到24點(diǎn)氣溫下降.

問(wèn)題1-2怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)“隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高”？

(給學(xué)生思考和交流的時(shí)間，教師巡視了解情況)

發(fā)現(xiàn)學(xué)生有困難，教師開(kāi)始“搭梯子”：

函數(shù)y=-2x+2與y=x2+2x-3(在發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決問(wèn)題1-2有困難的時(shí)候在黑板上畫(huà)了這兩個(gè)函數(shù)的草圖)是我們初中學(xué)習(xí)的兩種常見(jiàn)函數(shù)，它們也呈現(xiàn)這樣的上升下降的趨勢(shì)：函數(shù)y=-2x+2的圖象從左往右逐漸下降，函數(shù)y=x2+2x-3的圖象在對(duì)稱軸左側(cè)從左往右是逐漸下降的，右側(cè)圖象是逐漸上升的.初中是怎樣描述這種性質(zhì)的？

學(xué)生2：函數(shù)值隨自變量的增大而減小，函數(shù)值隨自變量的增大而增大.

追問(wèn)1：如何用符號(hào)來(lái)刻畫(huà)“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”呢？

(給學(xué)生思考和交流的時(shí)間，教師巡視，參與學(xué)生間的交流，一定時(shí)間后組織全班交流)

學(xué)生3：函數(shù)圖象是點(diǎn)構(gòu)成的，用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)：

點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1

(教師在黑板上寫(xiě)下兩點(diǎn)的坐標(biāo)及式子，以備形成規(guī)范的單調(diào)性定義)

追問(wèn)2：你是否同意他的觀點(diǎn)？有沒(méi)有要補(bǔ)充的？

部分學(xué)生點(diǎn)頭表示同意，提不出異議，又流露出疑慮，教師再“搭梯子”：

我們還是來(lái)看氣溫函數(shù)圖象，取點(diǎn)A為t=6時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B為t=18時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，顯然滿足“x1

學(xué)生：不能，中間還有下降部分.

教師：看來(lái)用圖象上的兩個(gè)點(diǎn)來(lái)刻畫(huà)“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”不行，那怎么辦呢？

學(xué)生：要無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)都滿足這種情況.

教師：無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)嗎？

有少許學(xué)生搖頭，教師讓學(xué)生代表講述.

學(xué)生4：應(yīng)該是這一段上所有的點(diǎn).

教師：同意嗎？

學(xué)生：同意.

教師：那怎么表達(dá)“所有的”呢？

學(xué)生思考，小聲交流，有學(xué)生喊出了“任意的”，教師讓這個(gè)學(xué)生具體說(shuō).

學(xué)生5：還是用兩個(gè)點(diǎn)，不過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)該是動(dòng)點(diǎn)，任意的兩個(gè)點(diǎn)，可以表示所有的點(diǎn).

教師：你具體說(shuō)一下.

學(xué)生5：圖象上的任意兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1

教師在黑板上之前寫(xiě)的基礎(chǔ)上加上“任意兩個(gè)點(diǎn)”.

教師：同意嗎？

學(xué)生：同意.

教師：很好，用“任意的”兩個(gè)點(diǎn)可以表示所有的點(diǎn)，這樣就可以表示“函數(shù)值隨著自變量的增加而增加”，那么，怎樣表示“函數(shù)值隨自變量的增加而減小”呢？

學(xué)生6：當(dāng)x1y2.

教師：很好，這樣我們就可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)圖象的“上升”或“下降”了.但是，不是所有的函數(shù)圖象都是上升，可能會(huì)在某一段上上升，在某一段上下降，這個(gè)怎么表達(dá)呢？

學(xué)生：加一個(gè)區(qū)間.

教師：誰(shuí)來(lái)具體說(shuō)說(shuō)？

學(xué)生7：圖象上的任意兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在區(qū)間I上，當(dāng)x1

教師：我怎么覺(jué)得有點(diǎn)別扭呢，區(qū)間上的應(yīng)該是數(shù)，不是點(diǎn)吧？

學(xué)生7：……確實(shí)是的，但我不知道怎么改.

學(xué)生8：因?yàn)橐脜^(qū)間來(lái)定范圍，我覺(jué)得不能用點(diǎn)了，用自變量和函數(shù)值可以表達(dá).任意兩個(gè)x1，x2∈I，當(dāng)x1y2，則函數(shù)圖象是下降.

教師：可以嗎？

學(xué)生認(rèn)可了.

教師：很好，象這種上升的，我們稱為單調(diào)增函數(shù)，這個(gè)區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間(邊講邊完善之前的板書(shū))，這種下降的呢？

學(xué)生：?jiǎn)握{(diào)減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間.

教師完善黑板上的板書(shū)，形成規(guī)范的定義.

教師：好了，我們來(lái)小結(jié)一下(通過(guò)投影展示如下表格從數(shù)與形兩個(gè)方面理解單調(diào)性).

在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象圖象特征從左至右圖象上升從左至右圖象下降數(shù)量特征函數(shù)值隨自變量的增大而增大,當(dāng)x1f(x2)

問(wèn)題2畫(huà)出下列函數(shù)圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間：

處理：投影展示，學(xué)生試解，教師巡視了解情況，一定時(shí)間后展示學(xué)生解答并組織交流，教師追問(wèn)學(xué)生解題依據(jù)并規(guī)范解題過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，解題完成后進(jìn)行題后小結(jié)，強(qiáng)化定義.此題的功能是讓學(xué)生從“形”的角度理解單調(diào)性.

處理：方式同上，用定義來(lái)進(jìn)行代數(shù)證明有一定的困難，教師作了引導(dǎo).

此題的功能是讓學(xué)生從“數(shù)”的角度理解單調(diào)性，與上一題形成從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面來(lái)理解單調(diào)性.處理過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生從圖象直觀觀察、定義嚴(yán)格證明兩個(gè)方面理解單調(diào)性，體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的重要意義，提高數(shù)學(xué)表達(dá)的能力和意識(shí)，培養(yǎng)理性思維的習(xí)慣.

問(wèn)題4通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)又多了哪些認(rèn)識(shí)？

這是課堂小結(jié)，學(xué)生能小結(jié)到“單調(diào)性定義”的知識(shí)，也能小結(jié)到“數(shù)形結(jié)合”的思想，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上從知識(shí)、方法和思想層面進(jìn)行提煉強(qiáng)調(diào)，突顯數(shù)學(xué)的理性思維.課堂結(jié)束.

“函數(shù)的單調(diào)性”是“函數(shù)概念與性質(zhì)”這一章的重要內(nèi)容，從“圖象升降的直觀表現(xiàn)”和“函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)的自然語(yǔ)言”到“用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出函數(shù)的單調(diào)性”，這既是思維方式的飛躍，也是語(yǔ)言表達(dá)的創(chuàng)新.教師要引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)走向從代數(shù)角度來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì).從形和數(shù)兩個(gè)方面來(lái)理解單調(diào)性，是本節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)；掌握“觀察、比較、歸納、抽象”等研究函數(shù)的一般科學(xué)方法，是本節(jié)課的方法目標(biāo)；感悟數(shù)形結(jié)合、體會(huì)符號(hào)化和形式化、培養(yǎng)理性思維，是本節(jié)課的思想目標(biāo).“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”[1]是本節(jié)課應(yīng)該關(guān)注的“道”.

高品位的課堂教學(xué)需要高位的教學(xué)目標(biāo)：注重“器”的理解，注重“術(shù)”的掌握，注重“道”的生成.

3 結(jié)束語(yǔ)

課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與開(kāi)展，關(guān)鍵是教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定和教學(xué)過(guò)程的實(shí)施，也就是“教什么”和“怎么教”的問(wèn)題.[2]其中，教學(xué)目標(biāo)是第一要素，決定著課堂教學(xué)的價(jià)值追求，在以“立德樹(shù)人”為育人目標(biāo)和“核心素養(yǎng)”為課程目標(biāo)的課程改革新時(shí)代尤為重要.高位的課堂教學(xué)目標(biāo)要基于課程目標(biāo)和單元目標(biāo)，在理解教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，既關(guān)注知識(shí)方法，又關(guān)注思想觀念，構(gòu)建“器、術(shù)、道”融合的高品位的課堂教學(xué)，著力提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.