從幾個問題談高三數學復習有效性 ①

羅建宇

(江蘇省張家港市沙洲中學 215600)

1 幾個問題

問題1：聽了不少高三復習課，大多數課的知識點呈現方式不一，主要有：課前填寫“導學案”中的有關概念、公式等；或通過一些基礎題讓學生進行課前熱身，以點帶面復習相關知識；或直接給出知識的框圖或思維導圖在PPT或黑板上呈現.那么，這些呈現方式能真正起到知識回顧的作用嗎？

問題2：調研發現，之前講過的原題過一段時間將其進行簡單改編甚至就是原題，讓學生重新訓練，錯誤率依舊非常高，這到底是教師講解不到位還是學生理解不到位？教師在解題教學中的有效性如何保證？

問題3：在一輪復習期間，有些教師就以“專題”的形式組織高三復習，在“專題”的選編上以“題型”為串聯路線，學生在這樣的組織方式下有沒有起到一輪復習的作用？一輪復習的有效性究竟如何？

問題4：在試卷講評時，很多老師是一講到底，講解過程中沒有主次輕重，也沒有錯因分析，更沒有變式和拓展，只是簡單的就題講題，導致會的學生不愿意聽，不會的學生被牽著鼻子走，學生的解題經驗始終維持在原有水平，解題能力在這樣的試卷講評課中能得到多少教益？

問題5：每年高考結束之后，總有師生感慨：平時講(練)了那么多題，花了那么多時間，感覺都白復習了.為何會出現這樣的境況？

這五個問題都共同指向于高三復習的有效性，在高三復習中還普遍存在高耗低效的現象，因此分析其中的問題很有必要.

2 現狀與分析

根據以上問題，通過調研與分析，可得出當前高三數學有效性偏低的現狀：

(1)重視知識梳理，忽視邏輯關聯

在復習時有些教師沒有重視知識間的邏輯關聯，在知識點梳理時采取一個一個地羅列知識點的做法.由于學生在高一高二習得的知識更多的是“碎片化”狀態，沒有系統性和邏輯性.沒有整體系統的知識是容易丟失的，沒有邏輯關聯的知識是容易偏離的，導致學生在解題時完全游離在整體的知識框架之外，導致知識點梳理與解題行為成了“兩張皮”.只有熟知數學知識的來龍去脈，理解知識的本質內涵，通曉知識的邏輯關系，才能在高三復習解題時真正“識貨”、“有貨”.

(2)重視題型教學，忽視思維暴露

上面的問題還反映了當前復習中急功近利的心態，為了追求教學的短期成績，有些老師在高三復習中以題型教學為主要的教學組織方式，忽視教學中的思維過程(思維起點的表征、思維方向的選擇以及思維節點的監控等)的暴露.學生的學習基本是機械模仿、生搬硬套，這樣的教學效果自然不高，對提高他們的解題能力和思維品質幾乎無益，不難解釋為何講過的問題過一段時間后還會出現問題.張乃達老師倡導數學教學要充分暴露數學的思維過程，這當然也包括高三復習在內，暴露數學思維過程是促使學生知識結構形成與發展的保證.

(3)重視技巧方法，忽視數學思想

有些教師特別重視解題技巧的教學，誤以為高考高分的獲得靠難題、綜合題，更誤認為難題、綜合題的解決靠所謂的“技巧”.通常情況下，技巧性越強，適用的范圍就越小，“特技”在新情境或新問題中不適用或失效，更何況在現今以能力、素養為立意的命題導向的高考形勢下，更無可能命制那種靠“技巧”的試題，高考命題一直秉持突出考查學科知識本質和通性通法的原則，只有體現數學本質的方法才能體現學生的數學素養，而體現學生數學素養的方法往往就是思想觀念層面的方法，這才具有基本性和普適性[1].

(4)重視教學進度，忽視認知基礎

分數的壓力往往促使師生在教學中或多或少存在急于求成的心態，特別是在一輪復習時很容易產生一步到位的激進做法.眾所周知，高三復習一般分一輪、二輪和三輪三個復習階段進行，遵循“點—塊—面”的復習路徑.但是，很多教師在一輪復習中不重視基礎知識、基本方法的梳理以及知識體系的建構，為此便出現了如前所述的以“專題”形式組織教學的現象，這是脫離學情和違背認知規律的做法，這就導致學生在沒有形成穩定的知識體系的情況下就進行解題活動，整個高三復習毫無側重，沒有主次，學生的學習似乎就在“題海”中漫無目的地折騰，這樣復習效率自然低下.

上述種種現狀都是導致高三復習效率低下的根本原因，不僅使得學生失去了寶貴的復習時間，更別談發展學生的數學核心素養和關鍵能力了. 對現狀的分析有助于我們更好地開展理性的反思與重構，以期更好地開展有效的高三數學復習.

3 對策與建議

3.1 要制定適宜的復習目標

目標定位是教學實施的第一要素，高三復習同樣離不開目標定位，制定合理的復習目標就需要研究課程目標、高考導向以及學生的學情.為了把握好復習目標，復習時要根據課程標準、考試說明的要求與變化，將高考的所有考點列出來，對每個考點的命題方向作一個回顧梳理，從中找到命題規律，確定切實可行的復習目標[2].

首先，知識與技能的目標達成是教學的基本要求，特別是一輪復習，更要將基本知識與技能的復習與訓練放在首要地位，比如集合表示法、對象與集合關系等試題高考可能不會考，但學生在這些地方卻有可能因不能規范書寫而被扣分(如填空題的結果表示).再如運算技能也是需要特別重視，不僅課堂上要對運算技能進行示范，讓學生掌握算理，提高運算中的思維能力，還要強化對運算技術的訓練(常規的、常用的運算技巧要強化訓練，如變形中的組合技巧、整體觀點、減元策略、轉化策略等等，包括分解因式的技巧).除此之外，還應在學生發現并提出問題的能力、對數學本質的理解、對數學思想的感悟以及數學學習的情操體驗等方面有應然目標，特別要在教學中充分關注學生思維品質的訓練和核心素養的提升.

其次，目標定位應該是基于整個單元(主題)下的課時體現，在某些邏輯相關、前后關聯較大的知識復習時，應保持建構方式的一致性，將教學活動的每一步、每一個環節都置于整個單元的大系統中去復習，從更高的角度來審視復習內容，以單元知識塊進行教學組織，突出教學目標和內容的整體性，體現教學過程和方法的一致性，使得單元知識的教學是統一的生成系統.如“函數的性質”的復習，函數的單調性、最值、奇偶性、周期性等性質在建構的過程上、語言表述風格上以及思想方法和數學觀念上均保持著前后一致性，從整體的角度明確這些知識的前后邏輯的一致性，使復習是相同目標主線下的同構活動，確保學生認知觀念和知識體系形成的邏輯連貫性.

本題的信息主要有：

信息1：奇函數?f(0)=0,f(-x)=-f(x)；

信息2：x1≤x2時，f(x1)≤f(x2)?f(x)在[-1,1]上單調遞增；

信息4：f(x)=1-f(1-x).

由于平時教學中對函數單調性、奇偶性概念抽象的表征講得很多，學生頭腦中已經建立了相關的經驗去處理此類信息，因此，絕大多數學生的信息表征過程并無太大問題.但信息3和信息4則出現表征受阻現象，問題出自此類信息的抽象性過強，加之課堂教學的表征訓練不到位，導致學生認知中并未形成相關的表征經驗，當遇到陌生的抽象表達便缺乏合適的形式加以表征，從而影響了問題的解決.為了形成有效認知經驗的積累，在函數性質教學中可采用“同構”的方式加以表征訓練.初次接觸“函數單調性”，可按照“具體驗證(進行歸納)→直觀感知(抽象)→形成概念(概括)→二次驗證(理性認識)”的程式來進行，再在“函數奇偶性”的教學中加以應用，讓學生充分感受如何將抽象形式具體化的表征訓練，形成從特殊到一般的思維方式.以“奇函數”為例的表征訓練的具體行為如下：

3.2 要研究學生的學習基礎

在進入高三之初要通過適當方式(期初測試等)，了解學生的知識基礎、能力基礎和認知基礎，要根據學生的實際情況，合理設計層次漸進的發展過程[3].

一方面，要考慮義務教育階段教學內容與高中數學教學內容的脫節帶來的學生數學知識結構的缺漏.如高考解析幾何題對二元二次方程組側重考查的基礎知識，初中幾乎沒有學習，高中教學內容中也沒有涉及；繁分式在近幾年高考試題解答過程中也會出現(至少部分學生的解題過程中會出現)，但初中與高中都不講，這樣的知識內容還較多.在技能與能力方面落差同樣很大，如高考對運算能力要求較高，而初中教學要求卻很低，高中教師又認為這是學生應該具備的.更值得重視的是，對于初、高中銜接內容，如果我們認為用到時補充一下就行了，將會是災難性的后果，因為技能是需要訓練的，沒有足夠的訓練和多角度的訓練，不可能形成熟練的技能.

另一方面，高一、高二的學習狀況也是必須重視的方面.過難或過易地教學定位都是低效甚至是無效教學，全面、準確地了解學生的學習現狀，并將教學的起點基于學生的認知起點、教學的定位基于學生的能力基礎，使學生得到其能夠達到的發展水平是教學中非常值得重視的一個問題，比如實施“課前預習案、課上教學案、課后鞏固案”有著較強的實用性，對學生把握教材基礎知識、基本技能，做好上課準備，對教師了解學習狀況，進行有針對性的教學都很有利.

3.3 要暴露學生思維訓練的指向

經常看到有些老師在組織解題教學時，并不能從學生認知的實際情況出發，講解中有些方法已經超過了學生的認知基礎與能力范疇，學生聽起來非常吃力.究其原因，就是缺少對思維訓練的指向進行合理定位，沒有分析訓練過程中哪些符合當前學生的認知需求(包括知識技能以及思想方法)，哪些是能促進或改善學生的認知水平和思維品質的.

案例22017年江蘇卷20(2)：已知函數f(x)=x3+ax3+bx+1(a>0,b∈R)有極值，記導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點.證明：b2>3a.

實踐表明，解題教學的有效性體現在講評中思維訓練指向的目標達成，應根據不同思維基礎的學生的實際情況(思維起點，認知需求，知識結構等)設定思維訓練所要達成的目標.具體操作時，可通過對思維對象的分析、思維過程的解剖以及思維活動的暴露[4]，將思維訓練的目標指向更加清晰化，訓練的側重點更有針對性，這樣才能確保學生在解題活動中真正地進行有效的活動體驗，從而形成有效的活動經驗.

3.4 要構建適合校情的復習模式

高三復習是在學生已經學習過相關知識的基礎上的教學，因此，充分運用好學生的學習基礎，以學生為學習主體，在此基礎上建構一套適合學校的相對穩定的課堂教學模式，能夠促進學生主動學習，幫助學生學會學習，促進學生深度學習.比如，對于中等的學校可嘗試一下復習的基本步驟(程序)：課前練習——課上檢查——建構體系——拓展延伸——總結提煉——鞏固發展.具體而言，就是布置預習任務，通過閱讀教材復習相關知識內容，并在此基礎上解決幾個最基本的問題.上課時，讓學生分組交流、相互檢驗課前練習，并互相釋疑.然后讓學生報告各個練習的解決過程與所得結果，在匯報的過程中不斷地將相關的知識、方法提煉出來.當練習都解決后，一張知識結構網絡圖就形成了(這要求設計練習題時要精心，題目不能難，要讓所有學生通過閱讀教材都能解決；題目還要全面覆蓋本節課學習的知識和方法).接著通過幾個具有綜合性、拓展性的變式問題發展學生對知識、方法的認識，促使其更加深刻地理解和認識、更加熟練和靈活地運用相應的知識與方法.再通過對前面內容的總結、概括，提煉出本節課的知識要點、思想方法，最后適當鞏固(也可以課后進行).

當然，教學模式的選擇與教學內容、學生狀況有著密切關系，教無定法，沒有一種萬能通適的教學模式直接套用，只有適合自己學校和班級的教學模式才是最好的.

總之，筆者認為有效的高三數學復習課要制定適宜的復習目標，要充分研究學生的學習基礎，要在課中充分暴露學生思維訓練的指向，逐步的構建適合校情的復習模式. 高三復習是關鍵階段，我們必須不斷加強研究、加強思考，努力提高高三復習課的有效性，以期更好地促進學生知識結構與認知結構的完善與發展，進一步地提升學生的數學核心素養與關鍵能力，為學生高三復習與高考助力.