例談單元教學(xué)設(shè)計(jì)下的變式教學(xué)探索

李 健

(江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 215104)

面對(duì)不再有考試大綱的“新”高考，深入解讀新課標(biāo)、優(yōu)化整合知識(shí)點(diǎn)成為了每個(gè)教育工作者所要研究的新課題．在達(dá)成“聚焦學(xué)科素養(yǎng)、優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”的同時(shí)，如何合理高效地規(guī)劃教學(xué)模塊，“單元教學(xué)設(shè)計(jì)”成為了一個(gè)學(xué)界認(rèn)可的重要著眼點(diǎn)．

高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的目的在于實(shí)現(xiàn)整體大于局部之和的教學(xué)效果，強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展的整體性[1]．這就需要在設(shè)計(jì)單元教學(xué)時(shí)，突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線，并對(duì)具有共同特征和較強(qiáng)關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行動(dòng)態(tài)地整合和重組．從教學(xué)系統(tǒng)論的角度來看，這本身就是一種結(jié)構(gòu)“變式”，其目的也與變式教學(xué)所主張的“在動(dòng)態(tài)教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”相得益彰．下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，圍繞“函數(shù)單調(diào)性”這一核心概念，例談在“單元教學(xué)設(shè)計(jì)”背景下如何有效開展變式教學(xué)．

1 重組單元結(jié)構(gòu)，構(gòu)建變式模塊

“函數(shù)單調(diào)性”是貫通高中數(shù)學(xué)課程的一條“大動(dòng)脈”，根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)，必修課程中的“函數(shù)的概念與性質(zhì)”、“指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)” 、“三角函數(shù)”以及選擇性必修課程中的“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”均對(duì)“函數(shù)單調(diào)性”的掌握提出了明確的要求．結(jié)合“數(shù)列”的函數(shù)背景以及“不等關(guān)系”的應(yīng)用需要，筆者對(duì)分布這些章節(jié)中與單調(diào)性相關(guān)的知識(shí)碎片進(jìn)行了統(tǒng)籌重組．

本著基于新課標(biāo)、定位“新”高考的初衷，針對(duì)教學(xué)實(shí)際，筆者以為高三復(fù)習(xí)課是最適合現(xiàn)階段研究的實(shí)踐落腳點(diǎn)．綜合高三學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與認(rèn)知能力，筆者設(shè)計(jì)了與上述單元結(jié)構(gòu)相匹配的變式教學(xué)模塊，結(jié)構(gòu)上采用了顧泠沅先生所提出的“過程性變式”，即“數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)”[2]：首先回顧并熟練掌握函數(shù)單調(diào)性相關(guān)概念，其次以初等函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列為載體對(duì)其加深理解，進(jìn)而從導(dǎo)數(shù)的視角剖析函數(shù)單調(diào)性并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，最后在綜合應(yīng)用中彰顯價(jià)值、突出本質(zhì)．同時(shí)，在教學(xué)活動(dòng)逐步推進(jìn)的過程中，根據(jù)每個(gè)層次和課時(shí)內(nèi)容特點(diǎn)，有針對(duì)性地滲透變式教學(xué)．

2 聚焦單元重點(diǎn)，設(shè)置變式問題

顯然，我們必須根據(jù)四個(gè)層次對(duì)“單調(diào)性”的具體教學(xué)要求，突出單元的重點(diǎn)內(nèi)容．例如《課標(biāo)》在“函數(shù)概念與性質(zhì)”單元要求學(xué)生“會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解它們的作用和實(shí)際意義”．因此，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用“符號(hào)語(yǔ)言”理解掌握函數(shù)單調(diào)性的定義及其內(nèi)涵是單元的重點(diǎn)內(nèi)容之一，筆者嘗試在“層次一”中設(shè)置變式問題，實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)．

生甲：可得出f(x)在D上是增函數(shù)；

師：甲同學(xué)的結(jié)論是正確的，但只能說明其充分性，你能否找出其充要條件呢？

師：乙同學(xué)的思路縝密，他緊扣函數(shù)單調(diào)性的定義，發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造了新的函數(shù)，并用符號(hào)語(yǔ)言完整展示了探究其單調(diào)性的過程，請(qǐng)大家課后據(jù)此探究下“減函數(shù)”的相關(guān)結(jié)論．

?f(x1)-f(x2)

?f(x1)-Mx1

?F(x)=f(x)-Mx在R上單調(diào)遞增,

由題意：F(x)=f(x)-cx=x3+(1-c)x+c在R上單調(diào)遞增,則F′(x)=3x2+1-c≥0恒成立?c≤(3x2+1)min?c≤1.

案例反思(1)原題中的“差商”結(jié)構(gòu)本身就是函數(shù)單調(diào)性定義的一種“變式”，這有助于學(xué)生在加深對(duì)概念理解的同時(shí)提升符號(hào)語(yǔ)言的認(rèn)知表達(dá)能力；(2)變題1對(duì)學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言的解讀能力提出了更高要求，通過辨析差商“>1”與“>0”的邏輯關(guān)系與異同之處，讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中回歸定義本源，在探究過程中學(xué)會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言完成單調(diào)性證明中“作差定號(hào)”的過程；(3)通過解決變題2實(shí)現(xiàn)了對(duì)變題1的學(xué)以致用，動(dòng)態(tài)達(dá)成了知行合一的目的．

3 整合單元知識(shí)，升華變式思維

單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維[3]，單元設(shè)計(jì)需要我們將原有知識(shí)進(jìn)行重組整合，從整體的高度系統(tǒng)地優(yōu)化教學(xué)過程，例如《課標(biāo)》在“數(shù)列”這一單元中要求“感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性”，我們可以有效利用“層次二”中“數(shù)列”這一載體，將其與函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)有機(jī)整合，通過變式教學(xué)達(dá)成兩者交融理解的“雙贏”效果．

案例2師：我們都知道，數(shù)列是一種“特殊的函數(shù)”，那么是否可以借助于與其通項(xiàng)公式相對(duì)應(yīng)的函數(shù)來研究其單調(diào)性呢？下面我們通過兩組變式問題來辨析和感悟．

變式題組1:

(2)已知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且其通項(xiàng)an=n2-kn，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

由(1)中結(jié)論，可得(2)中k≤2．

生乙：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，{an}為遞增數(shù)列?an0在n∈N*時(shí)恒成立?k<(2n+1)min?k<3．

師：兩位同學(xué)得出了不同結(jié)論，那么誰(shuí)的答案正確呢？

師：從中我們可以感悟到三點(diǎn)：一、要時(shí)刻關(guān)注數(shù)列“離散”這一特性，二、數(shù)列所對(duì)應(yīng)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)與該數(shù)列在區(qū)間D內(nèi)有相同單調(diào)性并非充要關(guān)系，三、利用單調(diào)性的定義是解決這類問題最可靠的方法．接下來請(qǐng)繼續(xù)思考：

變式題組2:

師：從題組2中，我們不難感悟到：合理利用數(shù)列的函數(shù)背景可以提高解題效率，與此同時(shí)還需考慮其“離散”特性，即轉(zhuǎn)化為研究相鄰項(xiàng)的關(guān)系來解決問題．

案例反思變式題組1旨在通過研究離散函數(shù)的“一階差分”(簡(jiǎn)稱“階差”)Δan與連續(xù)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，讓學(xué)生在“變”的過程中感受思維的碰撞，找出二者差異之處，題組2則是有目的地引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的單調(diào)性切入，自然感知兩者間的共性；且鑒于題組1的實(shí)踐經(jīng)歷，學(xué)生在面對(duì)變式題組2時(shí)，就會(huì)較為謹(jǐn)慎地將對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為階差Δan的正負(fù)來研究，自然感悟連續(xù)函數(shù)與離散函數(shù)的異同之處，這都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的類比思維與應(yīng)用思維．此外，筆者還從提升學(xué)生形象思維的角度探析了上述問題，本文將在隨后篇幅中闡述．

《課標(biāo)》要求“能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”，事實(shí)上，“感受導(dǎo)數(shù)在解決單調(diào)性問題時(shí)的工具作用”與“深化認(rèn)知單調(diào)性的相關(guān)概念”可以雙線并行，筆者有針對(duì)性地在“層次三”中設(shè)計(jì)了如下變式.

案例3已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在[1,3]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

師：通過導(dǎo)數(shù)這一“犀利”的工具，我們可以很方便的將“在區(qū)間D上單調(diào)”的問題轉(zhuǎn)化為 “導(dǎo)函數(shù)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在區(qū)間D上恒成立”問題，從而再轉(zhuǎn)化為更利于解題的最值問題來處理，其中“參變分離”是我們解決這類問題的重要手段．

變題：若f(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在[1,3]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

師：“在區(qū)間D上存在單調(diào)區(qū)間”本質(zhì)上是“能成立”問題，即“當(dāng)x∈D時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0(或f′(x)<0)能夠成立(有解)”，同樣可以化歸為最值問題來處理．

案例反思該變式實(shí)際是利用“一題多變”來鋪設(shè)教學(xué)思路，通過整合單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為 “恒成立”、“能成立”問題，動(dòng)態(tài)辨析了其中“充分和必要”的邏輯關(guān)系，最終再化歸為函數(shù)的最值的問題來處理，在滲透“轉(zhuǎn)化和化歸”的思想的同時(shí)，有效提升了學(xué)生的邏輯思維能力．

4 貫穿單元體系，把握變式本質(zhì)

《課標(biāo)》中，“函數(shù)概念與性質(zhì)”、 “指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”這兩個(gè)單元都提出了“借助圖像”來研究單調(diào)性的要求；“三角函數(shù)”單元要求“用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)” ；“導(dǎo)數(shù)”單元?jiǎng)t明確了“借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系”的要求[4]．針對(duì)其共同要求，可以在“層次四”中利用變式，從幾何角度重新審視上文中的部分案例．

以案例1原題為例，根據(jù)高三學(xué)生的認(rèn)知程度，可以引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度思考．

生：斜率，具體來講就是“函數(shù)f(x)圖像上兩點(diǎn)所連割線的斜率”；

師：請(qǐng)結(jié)合“割線斜率”的概念，從“形”的角度理解并描述該問題你所得到的結(jié)論；

生：函數(shù)在區(qū)間D上任意兩點(diǎn)所成割線的斜率為正?函數(shù)在D上單調(diào)遞增；

師：實(shí)際上，我們從“數(shù)”的角度出發(fā)，可以進(jìn)一步理解為“區(qū)間D上任意兩點(diǎn)的平均變化率的正負(fù)決定了其在區(qū)間D上單調(diào)性”．大家可以將問題中的“任意性”和“瞬時(shí)變化率”的概念相結(jié)合，從導(dǎo)數(shù)幾何意義的角度深入理解其和單調(diào)性間的關(guān)系．

同樣在案例2變式題組1(2)中，我們?nèi)绻x擇延續(xù)生甲的思路，通過剖析對(duì)比f(wàn)(x)=x2-kx，x∈[1,+)和an=n2-kn，(n∈N*)的圖像，就會(huì)發(fā)現(xiàn)甲同學(xué)是因忽略了數(shù)列離散的特點(diǎn)而忽視了a1

圖1

圖2

圖3

直觀想象的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程[5]，針對(duì)理解“單調(diào)性”概念對(duì)幾何直觀的依賴程度，在組織單元教學(xué)時(shí)更需要把握這一點(diǎn)．上述使用的“一題多解”、“一題多變”及“多題一解”等變式手段，本質(zhì)上都是服務(wù)于“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法，是提高學(xué)生發(fā)散思維與形象思維的有效途徑．

核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育注重?cái)?shù)學(xué)的整體性、思想的一致性、邏輯的連貫性和思維的系統(tǒng)性[6]，單元教學(xué)設(shè)計(jì)的初衷正在于此．今后，怎樣融入變式元素以更好地體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的方式”，如何規(guī)劃變式設(shè)計(jì)更有利于把握“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”，還需要我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中不斷求索．