教材分析從理解走向探究：尋找均值不等式鏈中的主線

葛慧敏 徐章韜

(華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 430079)

1 引言

下面是在教材深度分析中，通過探究來理解教材的一個案例.這個案例的作用不只是從另外一個角度理解均值不等式，而是為了闡明一種一線串通的思考路徑.

2 各種平均數(shù)的得來

2.1 算術(shù)平均數(shù)

2.2 調(diào)和平均數(shù)

(1)變常數(shù)

(2)分式變換

進(jìn)行倒數(shù)變換.倒數(shù)變換是代數(shù)變形中的一種常見技法.

2.3 幾何平均數(shù)

(1)常數(shù)變易

(2)變常數(shù)為未知數(shù)

(3)分式變換

2.4 平方平均數(shù)

(1)常數(shù)變易

(2)分式變換

3 各種平均數(shù)的統(tǒng)一

3.1 引出凸、凹函數(shù)的概念

3.2 得到大小關(guān)系鏈

再由比例的性質(zhì)有

故有Q>A>G>H.

3.3 從幾何上說明

古希臘人為了克服無理數(shù)的困擾，對線段比十分熱衷.平行線分線段成比例定理更是相似三角形的基礎(chǔ).由此，可以得到上述不等式鏈的幾何說明.

如圖1，四邊形ABCD為梯形，其中AB=a,DC=b(不妨設(shè)a

圖1

(1)分別計算線段EF,GH,KL,IJ的長度.

② 因為梯形ABLK∽梯形KLCD,

④ 如圖2計算IJ的長度，延長CB與DA交于點M.

圖2

(2)研究線段EF,GH,KL,IJ在梯形ABCD中的位置.

圖3

如圖3，設(shè)線段KL與線段BD交于點O1,線段GH與線段BD交于點O2,線段IJ與線段BD交于點O3.

4 分析與討論

在上述過程中能夠看到，采取的主體思路是：以定比分點公式為主線串通均值不等式鏈.通過算術(shù)平均數(shù)的定義引入定比分點公式的表示，猜想定比分點公式可以推導(dǎo)出調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和平方平均數(shù)；把握三種平均數(shù)的特點，利用常數(shù)變易和分式變換兩條變換路線進(jìn)行推導(dǎo)；說明均值不等式鏈中的各種平均數(shù)都可以通過定比分點公式而得到.最后從函數(shù)、幾何的角度再次認(rèn)識均值不等式鏈.

在這個過程中，體現(xiàn)了以“一線串通”的方式，多方向多維度對均值不等式進(jìn)行探索.在探索的過程中，從定比分點的角度，深刻理解四種平均數(shù)的概念以及平均數(shù)之間的不等關(guān)系，將定比分點與平均數(shù)的來源與概念融合，進(jìn)行層次性的變換；將不等關(guān)系從數(shù)過渡到線段中的定比分點，進(jìn)行維度的升華，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的漸變性與統(tǒng)一性；同時也建構(gòu)了幾何與代數(shù)、函數(shù)與不等式之間的橋梁，增添了課程的趣味性與深度.

對教材進(jìn)行深度分析是教師的基本功之一.有兩條基本路徑.其中一條是對已有的文本進(jìn)行多角度的理解，或者是從高觀點解讀、或者是從多角度解讀、或者是從橫向關(guān)聯(lián)的角度進(jìn)行解讀.其目的在于“理解數(shù)學(xué)”，把已有文本后面的數(shù)學(xué)的精神、思想、方法揭示出來，讓學(xué)生獲得不一樣的體會.第二種路徑是就通過探究來理解教材，就如進(jìn)攻是最好的防御一樣，做數(shù)學(xué)探究也是一種理解教材的好方式.

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由，數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的舞臺，在大學(xué)課堂教學(xué)中更應(yīng)如此.本課例是在課堂教學(xué)中，通過教基本知識，以一線串通相關(guān)知識，舉一反三思考問題而產(chǎn)生的一個思考結(jié)果.通過研究深化了學(xué)生對均值不等式鏈的理解，更為重要的是培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性的思維，導(dǎo)引了他們的思考.