高中數學“微專題”的教學實踐

伍亦亦

【摘要】本文介紹了微專題教學的特點，并以復合函數零點問題的微專題教學設計為例，介紹如何在日常高中數學教學中開展微專題教學。

【關鍵詞】微專題;復合函數

高中數學的教學，不只是簡單地知識講授和方法介紹，更是一個讓學生理解數學知識的本質、經歷深度學習、提升數學學科核心素養的過程。

1微專題教學的特點

如何在平時教學中開展深度學習？筆者認為微專題教學是一種非常適合且有效的方式。波利亞曾指出：“良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要。”微專題教學以切口小、針對性強、探究深為特點，以核心知識點為節點，靈活、巧妙、有效地組織課堂教學。不求“大而全”，但求“微而深”，旨在加深學生對數學本質的領悟，提高學生的數學核心素養。微專題教學一面能提供深度學習所需的大環境，另一面有助于學生形成清晰的知識網絡、獲得系統的研究方法。

2復合函數零點問題的教學設計

微專題設計架構大致可以分成兩類：第一類是以知識為線索，附以能力培養;第二類是以方法為主，附以知識應用和能力培養[2].本課的教學設計屬于前者，以復合函數的零點為節點，以概念和性質為載體，滲透轉化化歸、數形結合等數學思想，通過一系列的問題層層遞進、螺旋上升，幫助學生克服對復合函數零點問題的恐懼，培養學生解決此類問題的能力。

2.1創設情境，建構概念

例1：判斷下列方程根的個數

設計意圖：通過解決這類方程，讓學生掌握基本解法：換元法，同時讓學生從函數的角度，去歸納判斷這類方程根個數問題的策略。

問題1：這類方程可以抽象統一為怎樣的形式？

問題2：處理上面方程的基本方法是什么？

問題3：決定復合函數零點個數有哪些因素？

問題4：從函數角度，分析確定復合函數零點個數的基本流程。

設計意圖：通過問題1-4構成的問題串引導學生開展深度學習，幫助學生從函數概念的角度來看待換元求解的過程，為學生自主生成解決復合函數零點的方法做鋪墊。

2.2深入探究，建構流程

在前面的基礎上，師生共同概括判斷復合函數y=f（u（x））零點個數的一般步驟即“流程圖”：

（1）設t=u（x），將復合函數y=f（u（x））看成由函數y=f（t）和t=u（x）復合而成;

（2）由f（t）=0，得到零點t1，t2，...;

（3）由t1=u（x），t2=u（x），...得到y=f（u（x））的零點情況。

例2：已知函數 求函數的零點個數.

設計意圖：此題由學生自主完成，教師巡視。學生會從兩個角度去解決，即代數角度和幾何角度。代數角度直接用換元法計算得出零點的具體值，而幾何角度則是畫出兩個函數的圖象，再根據圖象得出零點個數。就著此題而言，幾何角度顯然優于代數角度，因為運算量前者明顯少于后者。師生通過比較，得出上面歸納的“流程圖”中的第（2）、（3）步選擇從幾何角度來處理更合理些，因為有時方程f（t）=0和ti=u（x）（i=1，2，...，k）的根不一定求解得出來。通過例2對上面“流程圖”中的第（2）、（3）步中如何零點的策略增加了個幾何角度。

2.3遷移訓練，深度理解

例3：已知函數f（x）=x2-2|x|，求函數g（x）=f（f（x））+的零點個數。

設計意圖：區別于例2，例3中將y=f（u（x））結構變成y=f（u（x））+a的形式。首先要進行轉化化歸，將求函數g（x）的零點個數轉化成求f（f（x））=-的根的個數。令t=f（x），由f（t）=-，根據y=f（t）的圖象得到四個根t1，t2，t3，t4，且估算出它們的取值范圍。最后根據t=f（x）的圖象，由ti=f（x）（i=1，2，3，4）得出最后的結果。通過例3更是強調了第（2）、（3）步中采用幾何角度處理的簡潔性。

例4：已知函數f（x）=x2-2x，g（x）=若方程g（f（x））-a=0

的實數根的個數有4個，求a的取值范圍。

設計意圖：例4是例3的逆過程，已知交點個數求a的取值范圍。處理策略仍舊類似，畫出y=g（t）和t=f（x）兩個圖象，數形結合進行分析。此題較前面的例題要求更高，促使學生更深入思考和領悟復合函數零點問題的本質，提高學生數學核心素養的培養。

3.“微專題”教學的一點體會

（1）微專題教學有助于加深學生的參與度

微專題切入口小，涉及面不廣，課堂知識點集中，而且在教學設計中往往都是從易往難，便于各層次的學生參與學習，讓每個學生在課堂都有不同程度的收獲和進步，同時激發學生的學習興趣，增強學生學習的自信心。

（2）微專題教學有助于加深學生的理解度

微專題的特點是以小見大，見微知著。教師設計問題往往是由淺入深，由表及里，富有梯度感和層次感。學生在解決問題過程不知不覺中深化認知，提升數學學科的核心素養，達到舉一反三、融會貫通的目的。

（3）微專題教學有助于提升教師的專業素養

微專題教學不僅對學生進行深度學習大有幫助，同時對教師的深度教學也頗有促進。打鐵還需自身硬，教師個人或者教師團隊常常進行類似的教學設計，有助于提升自身的專業素養能力，提高教學教育水平。

參考文獻：

[1]吳永軍. 關于深度學習的再認識[J].課程·教材·教法，2019，39（2）：54.

[2]錢建良，曹鋼.微專題“含有|x-a|的一類函數問題”的教學設計[J].中學數學月刊，2016（11）：16-18.

[3]曾榮.“微專題”復習：促進深度學習的有效方式[J].教育研究與評論，2016（4）：28-34.