沿波討源悟算理

袁蘊聞

【摘 要】算理理解是開展小學計算教學的奠基石。算理是算法成立的原理，算法是算理深入的生成。教師應引導學生沿波討源，在學習計算的過程中透徹地領悟算理，悟“理”明“法”，以“理”表“法”，從而提升綜合計算能力。

【關鍵詞】算理 算理理解 小學計算教學

對于小學生來說，計算能力是學習數學基本而關鍵的能力，對其他數學板塊的學習有著直接的影響。新課程改革至今，數學教師的教學理念已經從反復教學算法得到正確計算結果，轉變為理解算理并生成表征化的算法。但何為算理？又如何基于算理理解展開計算教學呢？一線教師對這些層層遞進的問題仍存在疑惑，導致計算教學浮于表面，學生難以形成優質的計算技能。目前小學計算教學的重要任務即為厘清這些問題，并有針對性地實施有效策略，最終提升學生計算能力。

一、小學計算教學中算理的認知

在《現代漢語詞典》中，“算”有“計數”之義，“理”有道理;事理之義。由此可以界定小學數學計算教學中的算理為“計算的道理”。

算理是“計算的道理”，與算法有著緊密的聯系，要想生成出算法，需要根據對應的算理。正確計算的先決條件就是厘清算理，算理是直觀存在的定律，提供了準確的思考方式，確保計算準確。如果說算法是計算的方法，用來回答“怎么去計算”這一問題，那算理則是解決“為什么要這樣去算”的數學依據;如果說算法是四則運算的基本陳述性知識，那算理便是一種程序性知識;如果說算法是一種外在方法，那么算理便是隱性內涵。

在數學學習過程中，學生領悟與表達算理，不僅能形成并優化具體計算的算法，還從顯性層面反映了學生數學思維活動的過程，最終搭建出轉化數學思維方式的有效模型。進一步解讀學生獲取數學知識的步驟，以及對算理的深入探索與領悟，有助于提高學生解決不具象的數學問題的能力，并聚焦于弄清“為什么”這樣解決，在復雜的數學探索過程中優化出多種具象的算法，實現由表及里，內外合一。

二、小學計算教學中算理理解的整體分析

整數、小數、分數的計算是小學數學計算教學中的三大領域，而加、減、乘、除運算則是教學中的四種運算方式，即四則混合運算。其中“整數四則混合運算”是中低年級學生計算學習的重點，“小數四則混合運算”及“分數四則混合運算”則是中高年級學生計算學習的難點。筆者研究并全面解析小學數學蘇教版教材中計算單元的結構案例，從整體上分析小學計算教學中的算理理解，并著重分析下面三點內容：

1.呈現有利于算理理解的素材

算理是計算的依據，要想理解算理，自然要清晰地呈現計算的依據，即有利于“算理理解”的教學素材。教師呈現教學素材時，還需要考慮學生的學習特點、心理需求等。一般來說，小學低年級學生對具象的素材更感興趣，并需要在操作、交流、總結后才能理解算理。所以，低年級的計算課教學，教師會借助有趣的情境圖、貼近生活的實物及數學學具盒（小棒、圓片、計數器等）來讓學生展開探究。如一年級學生學習簡單的“10以內的加減法”時，可以借助小棒的分與合來理解算理。而中年級學生已經建立起了初步的抽象思維，教師則可以引導學生借助情境和已有的計算知識先自主探究算理，再歸納優化算法。高年級的學生已經具備一定的思考能力，教師可以調動學生已有的生活經驗，借助實際問題中的數量關系或用畫線段圖的方法等來幫助理解算理。教師在展開計算教學時，要結合學生的實際情況，呈現出有利于算理理解的學習素材。

2.引導有利于算理理解的方式

不同學段的學生由于認知水平不同，對于算理理解的方式也各不相同。基于算理理解的視角下，對低年級學生開展教學，教師要引導學生充分調動已有的與生活相關的數學經驗，如一年級學生初學10以內的加減法，就可以由學生已有數數的經驗，引申出在列豎式時要注意個位與個位相加、十位與十位相加，逐步抽象出算法。對中年級學生展開教學，教師要引導學生調動已有的計算學習經驗，再重新建構出新的算理。如學習“有余數的除法”時，學生先聯系回顧簡單的表內除法，再厘清有余數的除法的算理，最后再建構出相應的算理。對高年級學生展開教學，教師要引導學生整體探究、融會貫通、由淺入深，從已有的整數四則混合運算類比到小數、分數的四則混合運算，建立起小學階段對于已學算理的整體性感悟。如學習“分數乘法”，探究算理時想到學習整數的混合運算，乘法的含義是幾個幾相加，那分數的乘法含義只是變成了幾個幾分之一相加，透徹理解了算理，算法的生成不再是難題。教師對低年級、中年級學生的引導要更注重“點”，而對于高年級的引導則要更注重“面”，這樣才能幫助學生理解算理實現從“形”到“質”的跨越。

3.構建有利于算理理解的結構

算理理解和算法掌握是小學計算教學的兩大使命，并駕齊驅方能有效促進計算教學的進步。算理理解是算法合理的關鍵原理，而掌握算法是計算時能快速計算的關鍵，兩者內在統一，不能割裂。低年級學生理解算理以操作為主，學生會擺小棒，即為初步理解算理，這時算理和算法的呈現比較相似，學生具備了初步的計算能力。中年級學生理解算理的過程是半抽象的，以低年級學的“十進制”為基石，結合數學思維中已有的計算原理，衍生出比較便捷的列豎式的計算方法，或是估算的快捷方法等，算理和算法不再是相似的，而是演化成了建立在算理認知基礎上的再建造出的算法。高年級學生理解算理的過程要調動已經掌握的數學思想及一些基本概念，從已建構的知識結構中，遷移出適合自己的算法，算理與算法呈螺旋狀上升趨勢，交互共進，密不可分。不同學段的學生，對于算理理解的結構也不相同，但結構的構建是慢慢遞進和系統化的，教師在教學中要注重構建有利于算理理解的結構。

三、小學計算教學基于算理理解的有效策略

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確提出：“教師要注重學生理解和掌握計算基礎知識、技能，不僅要讓學生掌握技能操作的程序與步驟，還要學生理解程序和步驟的道理。”在計算教學中，學生要基于算理理解再優化計算方法，這樣學生才能體會到算法的合理性及科學性，而不是死記硬背，教師授人以“漁”的重要性也體現在此。

1.借助經驗，尋找算理理解突破口

學生已有的數學經驗，就是學生學習數學的興趣所在、源頭所在，學習是利用原有認知和經驗主動建構來理解新知，在已有經驗基礎上再加工，找到算理理解的突破口。教學不能忽視已有經驗，應該借助經驗順勢而上，許多算理都若隱若現地藏在學生的生活中。如在蘇教版數學三年級下冊“混合運算”一課的情境圖中，小明買2盒水彩筆，付出50元，問題是：應找回多少元？學生根據生活經驗，討論后都提出要先算出2盒水彩筆花了多少元，才能算出找回的錢。由此可見，學生對這一類型題目的算理已經理解了。學生借助已有經驗，敲開了學習計算新知的算理大門，輕松地尋找到了算理理解的突破口。

2.巧用直觀，構建算理理解支撐點

課堂上常出現學生表述不清楚算理的情況，但學生的思維卻是直觀的，這是深入構建算理理解的關鍵抓手。直觀的方式有很多，學生面對模型直觀、幾何直觀、實物直觀、操作直觀等都能很具體地進行思維創造，從而深化算理理解。如蘇教版數學二年級上冊“表內除法”一課中的例題借助“分桃子”“分小棒”這種直觀操作，讓學生在動手中建構平均分的概念，從而引出除法算式的算理。基于算理理解的小學計算教學，教師要注重巧用直觀的方式，引導學生在直觀中探索數學計算知識，經歷觀察、討論、探索、歸納等過程，這樣既能培養學生在直觀后的思維能力，又能促動學生對算理理解有深度感悟。

3.合理遷移，促進算理理解再創造

在計算教學中，隨著年級的提高，學生通過對算理理解的深化，會創造出多樣化的算法，教師就要把握好結構上的聯結點，引導學生經歷從已有經驗到直觀認知，再遷移出新的算理，最后創造出最優化算法的過程。如在學習蘇教版數學三年級上冊“同分母分數的加減法”一課時，學生發現分母表示的都是幾分之一，只要看分子加起來一共有幾個幾分之一。這就關聯了整數加減法，找到了它們的相同之處。在明晰算理后，學生自然也就討論出了同分母分數加減法的運算法則，即分母不變分子相加減。原本不會的數學知識，在合理遷移下，學生對新知識對應的算理有了不一樣的解讀。

計算教學是小學數學教學中的重中之重，算理理解這一奠基石，對培養學生的思維能力、提高學生的計算能力、改善學生的答題習慣有著至關重要的作用。作為教師，要利用策略引導學生深層理解算理，扎實把握算法，雙管齊下為學生學習計算提供有效保障。悟“理”明“法”，以“理”表“法”，提升學生綜合計算能力，發揮算理理解在計算教學中的育人價值。

注：本文系江蘇省教育學會“十三五”規劃重點課題“基于算理理解的小學計算教學策略研究”（課題編號：18B4J3SZ45）的研究成果之一。