從具體到抽象,讓思維螺旋上升
——一道中考試題的教學設計

江蘇省南通市海門區東洲國際學校(226100) 蔡 增

近期,讓學生訓練了武漢2018年數學中考第24 題,從批閱情況來看,第(3)問的失分較多,主要體現: (1)由于線段CO長含參數m,運算力的要求較高,無從下手; (2)對于符合條件的點有兩個無法理解;(3)理解了兩個點存在的情況,但只是考慮了當ΔAPD∽ΔBCP時,所得一元二次方程的根的判別式Δ = 0,當Δ＞0,根的存在情況未考慮. 針對以上問題,計劃評講時,考慮給予問題具體數據,逐步呈現能夠反映出p的不同個數的不同情況,通過學生比較與歸納發現此類問題的基本規律. 以此為基礎,再引入參數,順勢而為,讓學生經歷拓展與編題,進而完善學生知識發展的厚度.

1 原題呈現

拋物線L:y=-x2+bx+c經過點A(0,1),與它的對稱軸直線x=1 交于點B.

(1)直接寫出拋物線L的解析式

(2)如圖1,過定點的直線y=kx-k+4(k ＜0)與拋物線L交于點M、N. 若ΔBMN的面積等于1,求k的值

(3)如圖2,將拋物線L向上平移m(m ＞0)個單位長度得到拋物線L1,拋物線L1與y 軸交于點C,過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D.F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點,P為線段OC上一點. 若ΔPCD與ΔPOF相似,并且符合條件的點P恰有2 個,求m的值及相應點P的坐標

圖1

圖2

2 教學設計

2.1 題組訓練,方法提煉

(1)AD=2,BC=1,AB=4;

(2)AD=2,BC=1,AB=3;

(3)AD=2,BC=1,AB=

(4)AD=2,BC=1,AB=2;

圖3

解析: (1)設AP=x,則BP=4-x, 若ΔAPD∽ΔBPC; 則若ΔAPD∽ΔBCP,∴x=2±;∴AP=或

解析: (2) 設AP=x, 則BP= 3- x, 若ΔAPD∽ΔBPC,則;∴x= 2. 若ΔAPD∽ΔBCP,; ∴x1= 1,x2= 2,∴AP=1 或2.

解析: (3)設AP=x,則BP=-x,若ΔAPD∽ΔBPC, 則; ∴x=若ΔAPD∽ΔBCP,; ∴x1=

按：“虋”，涵芬樓、三家本原作“釁”。“虋”字誤錄。“虋”字罕覯，音mén，義為赤粱粟，乃谷的良種。《爾雅·釋草》：“虋，赤苗。”郭璞注：“今之赤粱粟。”明李時珍《本草綱目·谷二·黍》：“赤黍曰虋。”“兇釁”謂禍患、禍亂。《后漢書·隗囂傳論》：“夫功全則譽顯，業謝則釁生。”元紀君祥《趙氏孤兒》第三折：“如今削除了這點萌芽，方才是永無后釁。”

解析: (4) 設AP=x, 則BP= 2- x, 若ΔAPD∽ΔBPC, 則若ΔAPD∽ΔBCP,, ∴x無解;

思考: (1)當ΔAPD∽ΔBPC情況下,點P是否必存在? 當ΔAPD∽ΔBCP情況下,點P是否必存在?

(2)在ΔAPD與ΔBPC相似情況下,說說點P個數的變化取決于哪種相似的情況下.

設計說明: 在具體數據背景下, 體驗相似的分類及點P個數的變化, 從以上四種情況下, 可以發現當ΔAPD∽ΔBPC時,必存在一個點p,當ΔAPD∽ΔBCP時,點P的存在個數,由所對應的一元二次方程根的情況來決定,尤其對于(2)(3)兩種情況,雖然都存在兩個不同的點P,但情況是不一樣的,一是一元二次方程出現兩個等根,二是在一元二次方程出現兩個不等根時,出現與前一種情況雷同的位置. 因此當點P的位置有且只有兩個時,同樣需分兩種可能剖析. 在此基礎上也可追問學生,當P點位置有且只有一個時,情況有如何?

2.2 參數引入,夯實經驗

(5)如圖3, 在梯形ABCD中,AD//BC, ∠A= ∠B=90°,AD= 2,BC= 1,AB=m. 點P是AB上一動點,若ΔAPD與ΔBPC相似,符合條件的點p,恰好只有2 個,求m的值.

解析: 設AP=x,則BP=m-x

①若ΔAPD∽ΔBPC,則. ∴必存在一個點P.

②若ΔAPD∽ΔBCP,∴x2-m+2 =0;當Δ=m2-8 = 0 時,則m=(負值已舍)

此時x=與①中x的值不等, 符合題意. 當Δ =m2-8＞0 時, 若滿足題意, 則一元二次方程x2-m+2 = 0 的兩根中, 必有一根為x=, 代入方程,可求m=3(負值已舍).

綜上所述,m=或3.

2.3 類比研究,水到渠成

對于原題中的第(3)問,可以轉化為以下問題:

(6) 在梯形ABCD中,AD//BC, ∠A= ∠B= 90°,AD= 2,BC= 1,AB=m+1. 點P是AB上一動點,若ΔAPD與ΔBPC相似,符合條件的點p,恰好只有2 個,求m的值. (過程同上,不再敘述)

2.4 變式拓展,提升思維

(7)如圖3, 在梯形ABCD中,AD//BC, ∠A= ∠B=90°,AD= 3BC, 點P是AB上一動點, 若ΔAPD與ΔBPC相似, 符合條件的點p, 恰好只有2 個, 求的值.

設計說明: 把(2)(3)問題中的上下底長由具體數據轉化為線段之間的比值,關鍵考察學生的設參意識及含參一元二次方程的運算能力,進一步提升學生思考問題與解決問題的能力.

2.5 自主編題,動態生成

(8) 如圖4, 在矩形ABCD中, 點E,F分別在邊AB,BC上,且AE=AB,將矩形沿直線EF折疊,點B恰好落在AD邊上的點P處,連接BP交EF于點Q.

①求∠ABP的度數;

③若CD邊上有且只有2 個點G, 使ΔGPD與ΔGFC相似,請直接寫出的值.

圖4

設計說明: 在問題(7)的背景下,以矩形為背景,滲透折疊及面積表示,進而形成梯形中相似存在性問題,讓知識得到進一步的綜合,形成中檔題型,讓學生的學會再復雜圖形中尋找基本模型.

3 教學感悟

3.1 難點突破需要層層推進

難點問題如何讓學生快速內化? 這是每一個教師在教學過程中存在的困惑. 如何把問題知識點靠近學生思維的最近發展區,如何讓熟悉知識得到生長,就需要教師精心設計出問題鏈,讓課堂中的每一個學生經歷探究、歸納、升華的過程,讓每一個學生明白問題的本質,從而達到讓每一個學生腦子留痕的效果.

3.2 一題多變,激發學生學習動力

問題的層次性,讓不同的學生在學力上得到不同的發展,問題的延續性,易于激發學生探究的熱情,在探究過程中,經驗積累得到很好的落實. 如本節課中,問題(7)(8)的設置,就能很好地拓展學生思維,讓優秀的學生更加優秀. 同時,這樣的一題多變體驗,更是鼓勵學生自主編題,創造性發現問題的最佳時機. 當然,課堂效率的提高、學生自我的成就感、學生學習數學的積極性也就應運而生.

3.3 一題一課的踐行

受本節課啟發,我們平時的教學過程中,不妨選擇一道有價值的題目或材料與學生一起研究,一起挖掘其中的學習線索,一起發現問題的本質. 對于學生來講,何嘗不是一次頭腦風暴. 反道而行之,我們也可讓問題開放設計,一起體會數學知識的生成與組合,一起欣賞同學應答的精彩,真正讓我們的數學課堂充滿數學味.