反例在初中幾何教學中的應用:以全等三角形的判定為例*

哈爾濱工業大學(深圳)實驗學校(518000) 王 偉

香港教育大學數學與資訊科技學系 張僑平

廣東省深圳市教育科學研究院(518000) 林 煒

1 引言

在演繹幾何的教學當中,要說明一個結論的正確,需要嚴謹的證明;而要說明一個結論不正確,只需要舉出一個反例即可. 這兩個方面都體現了數學學科言必有據的特點. 不過在教學中,我們比較多重視前者,著重培養學生演繹推理的能力. 對于舉反例,我們強調的不多. 或許有人以為,舉反例只是用特殊實例取代一般的正規證明,比不上嚴謹的演繹推理. 事實上,在數學教學中,教師若能根據教學實際需要,舉出合適的反例, 不僅有助于幫助學生加深對概念的理解,也能培養學生的批判性思考能力[1]. 本文以初中平面幾何中全等三角形這一課題為例,來說明反例在數學教學中的運用及其教學意義.

全等三角形的學習是初中生從直觀認識幾何圖形到學會根據幾何圖形的性質進行演繹推理的重要階段,也是學生第一次比較全面的學習幾何的演繹證明. 在義務教育數學課程標準(2011 版)中,關于全等三角形的知識要求為:“理解全等三角形的概念,能識別全等三角形中的對應邊、對應角;掌握基本事實: 兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等. 掌握基本事實: 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等;掌握基本事實: 三邊分別相等的兩個三角形全等;證明定理: 兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等以及探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜邊,直角邊’定理”[2]. 對于這些基本要求,不同的教師會通過不同的方式教學,幫助學生將這些知識熟練掌握. 而考驗學生是否真正掌握和理解,他們能否接受這一系列的“基本事實”和“定理”等,從而在解題中熟練運用,一般都只能通過考試來檢驗.

從全等三角形概念入手,兩個“完全重合”的三角形是全等三角形,因此,全等三角形除了對應角相等,對應邊相等之外,跟圖形的度量相關的三角形的對應的周長和面積也相等.以北師大版(2015)初中數學為例[3],在常規的教學中,學生要理解全等三角形如上的所有性質,一開始是通過將兩個三角形進行重合的具體動手操作活動,形成對圖形全等的直觀認識,這樣的直觀操作后,學生也比較容易理解“全等”的概念. 接下來就是逐一介紹兩個三角形全等的種種性質,包括對應角相等,對應邊相等(對應周長,對應面積,對應邊上的中線,對應邊上的高,對應角的角平分線在之前的全等圖形章節中進行了學習). 最后,也是比較重要的一部分,需要向學生教授全等三角形的判定條件,滿足怎樣的條件兩個三角形才是“全等三角形”. 再利用尺規作圖驗證全等的幾個判定條件,最后利用全等三角形測量距離進行實際的運用,學生就算是學完了全等形這一課題. 整個教學流程圖可見圖1.

圖1

順著這樣的教學路徑,知識邏輯是清楚的,學生也應明白的. 然而在實際教學的反饋中,我們發現對于兩個三角形的全等判定定理的理解,學生掌握的情況并不是太好. 雖然學生也能夠熟練的將這五種判定方法“倒背如流”,但在具體運用中,會“張冠李戴”,將全等三角形的性質與判定弄混亂.特別在遇到條件復雜時(判定條件需要自行尋找判斷),不知如何選擇策略. 究其原因,主要還是因為學生對于判定定理的學習基本停留在表層的再現和復述,沒有深入理解幾種判定條件的實質,做不到靈活地分析和運用.

如果縱觀整個三角形全等的判定學習過程,我們會發現整個教學內容基本都是集中在對應角和對應邊的尋求(無論教科書還是練習題都是如此),留給學生自行探索和思考的空間都還比較窄. 那么,能否通過逆向思維,幫助學生更好的理解和掌握三角形的判定定理. 逆向的思考,對學生來說并非第一次經歷. 我們知道,定理的逆命題不一定成立,如“兩直線平行,內錯角相等”的逆命題“內錯角相等,兩直線平行”是成立的;而對于“對頂角相等”這個定理的逆命題“相等的角是對頂角”是不成立的. 因此,對于全等三角形如上的性質定理,學生也可以通過思考它們的逆命題是否成立,從而探究出全等三角形的判定: 只有哪些條件,并不能證明三角形全等.

2 全等三角形反例教學的過程

2.1 性質定理“全等三角形對應角相等”的逆命題:“對應角相等的兩個三角形全等”不一定成立. 具體分析過程如下:

(1)只有一組對應角相等的兩個三角形不全等. 通過展示出下圖的幾組反例均可證明該逆命題不成立, 如圖2 中反例,兩組三角形中均有對應相等的∠A, 但這兩組三角形也明顯不全等.

圖2

(2)兩組對應角相等的兩個三角形不全等. 通過三角形的內角和等于180°易知這兩個三角形的第三組內角一定也對應相等,通過展示如圖3 的反例可以得到證明. ΔABC和ΔAB′C′中,B′C′//BC, 因此兩個三角形三組對應角都相等,但這兩個三角形并不全等. (課堂上,教師也可以借助于教師用的大直角三角板和學生用的小直角三角板舉反例)

圖3

2.2 性質定理“全等三角形對應邊相等”的逆命題:“對應邊相等的兩個三角形全等”不一定成立. 具體分析過程如下:

(1)一組對應邊相等的兩個三角形不一定全等. 教學中可以展示如圖4 的反例: 在幾何畫板中,構造ΔABC和空間內不同于點A的另一點A′,連接A′B,A′C,構造出ΔA′BC,ΔABC和ΔA′BC有共同的BC邊, 但由于A′的隨意性,這兩個三角形不一定全等. (當且僅當A′為點A關于BC對稱點是,兩個三角形全等)

圖4

圖5

(2)兩組對應邊相等的兩個三角形也不一定全等,展示如圖5 反例: 在幾何畫板中,構造線段AB,以點B為圓心,任意長為半徑作圓,在圓周上任取兩點C、D,因為圓周上的點到圓心的距離相等, 即BC=BD. 連接AC,AD, 構造ΔABC與ΔABD, 這兩個三角形中,AB=AB(公共邊) ,BC=BD,滿足兩個對應邊相等,但明顯這兩個三角形不一定全等. (當且僅當C、D關于AB對稱時,兩個三角形全等)

(3)三組對應邊相等的兩個三角形一定全等(SSS).這是一個正確的結論,是教科書中的“基本事實”. 三條邊的長度確定了,這個三角形也就唯一確定,這也可以用來說明“三角形穩定性”. 教材的后續內容“用尺規作圖做三角形”一節中,會驗證這個結論的正確性.

在上述對性質定理的“逆命題”的學習研究中,通過恰當的反例,使學生能夠對“在兩個三角形中,如果只有一組,兩組對應角(對應邊)相等兩個三角形都不一定全等”這些不成立的逆命題的理解更為清晰明確,也對“三條對應邊兩個三角形全等”(SSS)的結論有了更直觀的認識.

2.3 對應邊和對應角組合相等的兩個三角形不一定全等. 具體分析如下:

(1)一組對應邊,一組對應角相等的兩個三角形不一定全等. 可以通過如圖6 反例得到證明: 在幾何畫板中, 構造ΔABC, 在AC邊上任取不與A、C重合的點D, 連接BD,構造ΔABD,在這兩個三角形中,∠A= ∠A(公共角),AB=AB(公共邊),但明顯這樣的兩個三角形不全等.

圖6

圖7

(2) 一組對應邊, 兩組對應角相等的兩個三角形一定全等. 這種組合分兩種情況, 兩組對應角和它們的夾邊相等(ASA)和兩組對應角和一個角的對邊相等(AAS),其中ASA 這種情況也是作為“基本事實”無須證明,而第二種情況(AAS),則可以通過三角形內角和,將其轉化為ASA 得以證明.

(3)兩組對應邊,一組對應角相等的兩個三角形不一定全等. 這種組合同樣分兩種情況. 其中兩組對應邊相等,并且這兩條對應邊所夾的角也對應相等的兩個三角形全等(SAS),作為“基本事實”無需證明;另一個兩組對應邊相等,并且其中一條對應邊所對的角也對應相等的兩個三角形不一定全等(SSA),可借助如下的反例進行說明.

在幾何畫板中,構造∠A,在∠A的一邊上固定一點B,以點B為圓心,大于點B到角的另一邊AD的距離為半徑作圓,交AD邊與點C與C′,這樣就構造了ΔABC和ΔABC′,這兩個三角形中,AB=AB(公共邊),BC=BC′(圓周上的點到圓心的距離相等),但明顯這兩個三角形不全等.

至此,教材中關于三角形全等的判定定理戛然而止,學生的逆向思維也到此被強硬的暫停. 其實,全等三角形的性質定理中,“全等三角形對應周長相等”,“全等三角形對應面積相等”這兩個的逆命題是否成立,教材中并沒有進行探究思考. 那么,能不能延續學生平行線性質定理學習的思維,繼續用反例來研究“全等三角形對應周長相等”,“全等三角形對應面積相等”這兩個逆定理是否成立. 接下來,我們繼續對這兩個性質定理的逆命題進行探討研究:

2.4 性質定理“全等三角形周長相等”的逆命題: 周長相等的兩個三角形全等不一定成立. 具體分析如下:

兩個三角形的周長相等,只要三邊之和相等即可,三邊的長度可以不一樣,這樣的三角形肯定不全等. 如圖8 的反例,兩個三角形的三邊長分別為3,4,5,和5,5,2,周長均為12,這兩個三角形不全等.

圖8

圖9

2.5 性質定理“全等三角形面積相等”的逆定理:“面積相等兩個三角形全等”不一定成立. 具體分析如下:

三角形的面積是三角形的底和高乘積的一半,只要底和高的乘積一定,面積一定相等,但乘積一定的底和高可以不相同. 如圖9 的反例,在幾何畫板中,構造ΔABC,過點A做BC邊的平行線,在平行線上任取不同于點A的點D,連接BD,BC,構造ΔABD,由于平行線間的距離相等,即這兩個三角形的高相同,BC=BC(公共邊),因此這兩個三角形的面積相同,但明顯這兩個三角形不全等.

2.6 命題:“周長和面積都相等的兩個三角形全等”不一定成立. 具體分析如下:

(1)固定周長,調整面積.

在幾何畫板中, 先構造等邊三角形ABC, 若邊長為a,ΔABC的周長為3a,在BC邊所在的直線上確定一點C′.做C′關于線段BC中點O的對稱點B′,若C′O=x,分別以B′,C′為圓心,以(1.5a-x)為半徑畫圓,兩圓的交點記為A′,在C′點的移動過程中,始終保持A′C′=A′B′= 1.5a-x,所以ΔA′B′C′的周長為2x+(1.5a-x)+(1.5a-x)=3a,因此ΔABC和ΔA′B′C′的周長相等. 在C′點的移動過程中,ΔA′B′C′的面積也是從0 變大到變到0,在這個過程中,一定存在一個定點C′′,使得ΔA′B′C′與ΔA′′B′′C′′的面積相等,但很明顯這兩個三角形不全等.

圖10

圖11

(2)固定面積,調整周長.

在幾何畫板中,先構造等邊三角形ABC,假設邊長為a,E為BC邊上的中點,設定參數k,以E為圓心,以為半徑畫圓,交BC所在的直線與B′,C′,則B′C′=k·a(放大或縮小均可). 以E為圓心,k·AE為半徑畫圓,交AE所在的直線于點A′,連接A′B′,A′C′,容易計算出ΔABC的面積與ΔA′B′C′的面積相等. 利用幾何畫板度量出ΔA′B′C′的周長.

過點A做BC邊的平行線, 在其上取一點A′′, 因為ΔABC和ΔA′′BC等底等高,所以這兩個三角形面積相等.可以通過幾何畫板度量出ΔA′′BC的周長. 拖動A′′在平行線上運動,ΔA′′BC的周長也隨之發生變化,在這個過程中,一定存在某一點,使得ΔA′′BC和ΔA′B′C′的周長相等. 但是,很明顯這兩個三角形不全等.

因此,通過如上兩個反例,周長和面積相等的兩個三角形也不一定全等.

3 結論

上面的舉例中,運用適當的反例,我們依次介紹了在只有對應角、對應邊、對應周長和對應面積相等的情況下,兩個三角形全等的判定情況. 反例除了能說明我們要回答的問題,還能加深學生對數學概念(全等形)的理解. 在舉出反例和對反例的分析過程中,學生的問題探究意識得以增強. 相對正規的演繹幾何證明來說,在教學中運用反例并不為教師常用,也并非如人們所認為只是舉出一個特殊例子那么簡單. 這樣的理解是比較片面的. 能夠舉出恰當的反例,它需要先做出猜想和假設,并對假設進行驗證,是一個復雜的過程,其重要性不亞于正面的實例講解[4]. 一個反例并非只是說明一個問題,舉得恰當,解釋合理,可以是解決一組或一類問題. 教師在舉反例的過程中,也需要借助一定的工具(本文中運用了幾何畫板,也可以用實物教具展示),讓學生能體會到從直觀認識到演繹推理分析的過程.

不同類型的反例具備不同程度的解釋力(explanation power). 在Peled 和Zaslavsky 的研究中[5],提出兩個錯誤的判斷四邊形全等的命題(若兩個長方形的對角線相等,那么它們是全等的;兩個平行四邊形有一組對邊相等,一條對角線對應相等,那么它們是全等的),請在職教師和職前教師舉反例說明. 結果發現,在職教師比職前教師更富有經驗,舉出的例子也更多. 教師們的反例存在不同的水平. 有的教師的例子只能用來說明這個命題是錯誤的,卻無法給出一般性的解釋;有的教師能提供一些例子和方法但不夠全面;有的教師給出的反例概括出了一般性原理,亦即不單說明命題是錯誤的,還指出了這一類反例符合的一般性條件. 反例所具備的這種從特殊(只能說明問題是錯誤的)到一般(還能說明錯誤的一般原理)的漸變過程,正是波利亞(Polya)在數學問題解決中所提出的,教師需要鼓勵學生在特殊和具體的事例中,能夠尋找和發現一般的模式和規律[6]. 當然,作為教師,我們不是為了反例而“反”,任何教學內容的組織和設計,都需要根植于具體的問題和情景,基于學生的已有知識和困惑,恰當地在教學中運用反例,有其教學意義,能夠促進學生的學習,這也是教師專業知識和能力的體現,在教師的教學和教師教育中需要引起重視.