變易圖式在抽象函數性質教學上的應用研究

廣東省廣州市大同中學(510545) 袁 安

抽象函數的對稱性、周期性對學生的抽象能力、推理能力、觀察分析能力及解決問題能力有較高的要求,同時也是抽象函數綜合應用的基礎,是綜合解決函數問題的一個重要內容. 本文通過設計變易圖式,利用變易圖式的四個功能: 對照、區(qū)分、類合、融合,強化教學的目的性,更好的引導學生探究發(fā)現(xiàn)抽象函數的對稱性和周期性.

1 利用變易圖式的“對照”功能,初識抽象函數的對稱性

對照(contrast),是為了獲得對某事物的經驗,必須使用其他事物和它形成對比,對照有助于識別關鍵特征,學生才能直觀地意識到事物之間的不同和聯(lián)系. 所以在研究函數的對稱性之前,要與學生原有的對稱知識進行對照.

對于數軸上的兩實數,x與-x關于實數0 對稱,a+x與a-x關于實數a對稱,x+a與b-x關于實數對稱. 對于函數f(x),若定義域關于原點對稱,且對任意x,都有f(-x)=f(x),則我們說函數f(x)是偶函數,且函數圖像關于y軸對稱,是軸對稱圖形. 這些都是學生原有的對稱知識,為了引導學生進一步去探究出f(a-x)=f(a+x)的性質,設計變易圖式1:

變不變審辨關鍵特征函數關系由f(-x)=f(x)變?yōu)閒(1-x)=f(1+x)1、自變量x 系數互為相反數不變2、等式左右函數值相等保持不變函數是否仍為軸對稱圖形? 若是,對稱軸是什么?

根據圖式要審辨的關鍵特征,首先引導學生從圖形理解,由于1-x與1+x關于實數1 對稱,而f(1-x) =f(1+x),顯然f(x)關于直線x= 1 對稱;其次,引導學生用整體換元的數學思想進行思考,變式后,只是在原來的式子中增加了1個單位,相當于原函數圖像向右平移了1 個單位,從而對稱軸也平移了1 個單位,由x=0 變?yōu)榱藊=1.

為了進一步探究,給出圖式2:

變不變審辨關鍵特征函數關系由f(1-x)=f(1+x)變?yōu)閒(a-x)=f(a+x)1、自變量x 系數互為相反數2、等式左右函數值相等保持不變函數是否仍為軸對稱圖形? 若是,對稱軸是什么?

從上面的兩種方法,學生很容易就分析得到f(a-x) =f(a+x)的對稱軸為x=a. 還可以繼續(xù)把上面圖式的函數關系換為f(x) =f(2a-x),引導學生可以用整體換元的數學思想進行思考,只需令f(a-x)=f(a+x)中的a+x=t,從而有f(t) =f[a-(t-a)] =f(2a-t),由同一函數定義知f(x)=f(2a-x)與f(a-x)=f(a+x)是等價表達式,也相當于是原函數圖像向右平移了a個單位,從而對稱軸也平移了a個單位.

通過設計變易圖式, 從學生已有的知識入手, 讓學生更有目的性地進行思考, 引導學生對照得到新的結論, 通過兩個圖式探究知: 若f(x) 滿足f(a-x) =f(a+x) 或f(x)=f(2a-x),函數f(x)的對稱軸均為x=a,在這個過程中,要注意把握圖式中的不變的關系: 自變量x系數互為相反數,等式左右函數值相等保持不變.

2 利用變易圖式的“類合”功能,總結抽象函數的對稱軸

“類合”(generalization)指的是如果不同的事物或情況,都出現(xiàn)某種類似或相同的特征(即不變的部分),那么這一特征便會成為所觀察事物的一個具有普遍性的維度,會從其他無關的特征中被審辨出來,成為這幾類事物的共同特征. 我們在進行抽象的概念教學時要抓住概念的本質特征,可以采用類合這種方式進行教學, 通過找出數學關系的關鍵特征,使學習內容由多變少,由繁變簡,由難變易,達到簡化知識形式,提升課堂教學效果.

為了讓學生繼續(xù)深入理解抽象函數的對稱軸,設計圖式3:

變不變審辨關鍵特征函數關系變?yōu)閒(a+x)=f(b-x)1、自變量x 系數互為相反數2、等式左右函數值相等保持不變函數是否仍為軸對稱圖形? 若是,對稱軸是什么?

學生根據以上圖式,小組討論,同學們可以隨意改變關系中的a,b的值來進行小組探討,通過前面的教學,引導學生通過列表代入特殊值觀察,再從圖像進行歸納總結. 學生根據圖式觀察猜想得到對稱軸教師再引導學生對其進行證明.

證明方法1: 令x=t+得到化簡得到所以得到函數f(x)的函數圖像關于x=軸對稱.

證明方法2: 令x+a=t得到f(t) =f[b-(t-a)]化簡得到f(t) =f[(a+b)-t],所以得到函數f(x)的函數圖像關于x=軸對稱.

由此可知,f(-x) =f(x),f(a - x) =f(a+x),f(x) =f(2a-x) 等都是f(a+x) =f(b-x) 的特殊形式,特點是自變量中的x系數互為相反數,函數值卻是相等的,則f(x)的函數圖像關于x=軸對稱. 圖式可以讓學生更加明確自己的研究對象和目的,使學生的討論有明確的方向,提高課堂的效率.

3 利用變易圖式的“區(qū)分”功能,區(qū)分對稱軸、對稱中心和周期

區(qū)分(separation),與“類合”相反,“區(qū)分”是指讓學生關注變化的方面, 從整體中把握事物的關鍵屬性和關鍵特征,從而加深學生對事物的深刻認識. 中心對稱函數及周期函數都是學生易混,易錯的內容,所以在教學中要充分應用圖式的區(qū)分功能讓學生進行區(qū)分學習,從而達到真正的理解.

(1)抽象函數的對稱中心

若f(x)的定義域關于原點對稱,對定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),則函數為偶函數,關于x=0 成軸對稱,若改為f(-x) =-f(x),函數從偶函數變成了奇函數,圖像從有對稱軸變成了有對稱中心. 函數是軸對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應函數值相同,函數是中心對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應函數值相反.

為了區(qū)分函數是軸對稱還是中心對稱,給出下面圖式4:

變不變審辨關鍵特征f(x)=-f(-x)變?yōu)閒(a+x)=-f(a-x)1、自變量x 系數互為相反數不變2、等式左右函數值互為相反數保持不變函數是否仍為中心對稱圖形? 若是,對稱中心是什么?

學生根據圖式4,類比上面的方法,通過列表代入特殊值觀察, 讓學生從圖形理解, 若f(a+x) =-f(a-x),a+x與a-x關于a對稱,而函數值互為相反數,則f(x)關于點(a,0)對稱,是中心對稱圖形. 通過區(qū)分,雖然函數關系中只多了一個“-”號,函數值互為相反數,但對稱性就由軸對稱變?yōu)榱酥行膶ΨQ. 同理,若f(a+x)=-f(b-x),則f(x)關于點對稱;若f(a+x)+f(b-x)=c,則f(x)關于點對稱. 由軸對稱變?yōu)橹行膶ΨQ,主要變化就是函數值由原來的相等關系變?yōu)榱讼喾搓P系,其中自變量系數互為相反數是沒有改變的.

(2)抽象函數的周期性

為了區(qū)分函數的對稱性和周期性,給出圖式5:

變不變審辨關鍵特征f(a+x)=f(b-x)關系式變?yōu)閒(a+x)=f(b+x),即x 的系數由相反變?yōu)橄嗟鹊仁阶笥液瘮抵迪嗟缺３植蛔兊染嚯x寬度|a-b|的函數值保持相等,函數有什么性質?

由函數周期的定義知: 若函數f(x) 滿足f(x) =f(x+a), 則f(x) 的最小正周期T=|a|. 根據圖式, 引導學生思考,函數關系變?yōu)閒(a+x)=f(b+x),由于x的系數不再是互為相反數,不再具有對稱區(qū)間相對應函數值相等了,而是等距區(qū)間函數值相等,顯然函數是具有周期性. 再進一步引導學生根據周期的定義進行換元,找出周期. 把x變?yōu)閤-b后可變?yōu)閒(a+x-b)=f(b+x-b)=f(x),根據周期的定義可知f(x)的周期為T=|a-b|. 為了引導學生繼續(xù)探究函數周期性,根據圖式5 繼續(xù)給出圖式6:

變不變審辨關鍵特征f(a+x)=-f(b+x)函數值由相等變相反自變量的系數相等保持不變等距離寬度|a-b|的函數值互為相反數,函數是否有用周期性?

學生根據圖式, 由于x的系數相等, 可知等距離寬度|a-b|的函數值互為相反數,引導學生思考,相反數的相反數就是自身,寬度為2|a-b|的兩個函數值就保持相等了. 再次引導學生通過換元找出函數的周期,f(a+x) =-f(b+x),得f(x) =-f(x+b - a), 再次使用-f(x+b - a) =-[-f(x+b - a+b - a)] =f(x+ 2b -2a) =f(x), 所以函數是周期函數,并且周期T= 2|a-b|. 通過圖式,讓學生區(qū)分具有對稱性和具有周期性的特點,關鍵是看x的系數是相反還是相等.

(3)抽象函數的對稱軸、對稱中心和周期的區(qū)分

為了幫助學生區(qū)分這三個性質,我們通過下面圖式幫助學生理解和記憶,理清知識網.

變不變審辨關鍵特征函數關系由f(x)=f(-x)變?yōu)?f(a+x)=f(a-x),f(a+x)=f(b-x)1、等式左右函數值相等,2、x 的系數互為相反數函數是軸對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應函數值相同,對稱軸為x= 左+右2

函數關系由f(x)=-f(-x)變?yōu)?f(a+x)=-f(a-x),f(a+x)=-f(b-x)1、等式左右函數值相反,2、x 的系數互為相反數函數是中心對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應函數值相同,對稱中心為(左+右2 ,0)(其中的“左、右”為等式兩邊函數關系中的括號內的整體)函數關系由f(x)=f(a+x)變?yōu)閒(a+x)=f(b+x)1、等式左右函數值相等,2、x 的系數相等函數周期為T =|左-右|函數關系由f(x)=f(a+x)變?yōu)閒(x)=-f(a+x)f(a+x)=-f(b+x)1、等式左右函數值相反,2、x 的系數相等函數周期為T =2|左-右|

通過圖式可以清晰明了地幫助學生區(qū)分和理解抽象函數的對稱性和周期性,讓學生理清知識點,連成知識線,織成知識網,提高學習的效率.

4 利用變易圖式的“融合”功能,綜合應用并拓展思維

“融合”(fusion)是指“當學習者需要同時理解事物的幾個關鍵特征時,就應該同時體驗這幾個關鍵特征的變化”. 通過這個過程,學生能夠意識到“變化的這幾個方面之間的關系, 以及這些方面與作為整體的學習內容之間的關系”. 解決抽象函數的某些問題時,常常需要根據“對稱性”、“周期性”、“奇偶性”中的一個或兩個推出另一個. 許多同學望而生畏、一籌莫展,甚至錯誤地認為三者之間沒有必然的聯(lián)系,為了探究這三者的聯(lián)系,下面應用變易圖式進行學習.

例: 函數f(x)關于x=a對稱,同時也關于點(b,0)中心對稱,則函數f(x)是否有周期? 若有,周期是多少?

為了更好找出這三者的聯(lián)系,讓學生自己深入探究,引導學生自己設計如下圖式,讓學生獨立思考,相互交流.

圖式7:

變不變審辨關鍵特征有對稱中心變?yōu)橛袑ΨQ軸原來函數的一條對稱軸不變函數圖像具兩條對稱軸,函數是否有周期?

題目變?yōu)? 如果函數f(x)有兩條對稱軸,分別為x=a和x=b,則函數f(x)有周期嗎?

圖式8:

變不變審辨關鍵特征有對稱軸變?yōu)橛袑ΨQ中心原來函數的一個對稱中心不變函數具兩對稱中心,函數是否是有周期?

題目變?yōu)? 如果函數f(x)有兩對稱中心,對稱中心分別為(a,0),(b,0),則函數f(x)是否有周期性?

圖式9:

變不變審辨關鍵特征有對稱中心變有周期函數原有對稱軸不變函數具有一條對稱軸和周期,對稱軸是否唯一? 有多少條?

題目變?yōu)? 如果函數f(x)有一對稱軸為x=a和周期T=c(c ＞0),則函數f(x)有哪些性質?

圖式10:

變不變審辨關鍵特征有對稱軸變有周期函數原有對稱中心不變函數具有一條對稱軸和周期,對稱中心是否唯一? 有多少個?

題目變?yōu)? 如果函數f(x) 對稱中心為(a,0) 和周期T=c(c ＞0),則函數f(x)有哪些性質?

利用圖式,把抽象函數的對稱軸、對稱中心和周期三個性質進行組合,有目的地讓學生深入探究并進行系統(tǒng)和全面的理解,明確各性質的主要特征和性質之間的相互聯(lián)系,構建知識網絡,對抽象函數的對稱性和周期性融合理解,同時又會對照區(qū)分,讓教學達到事半功倍的效果.

5 教學反思

變易圖式的四種功能: 對照、區(qū)分、類合、融合,可以幫助學生關注事物“變”或“不變”的部分,審辨事物的關鍵特征,讓學生在復雜的學習環(huán)境中理解這幾個關鍵特征之間的關系,以及關鍵特征與整體之間的關系. 教師通過圖式,一步步引導學生對所學知識建立知識網絡,形成核心概念圖等方式,顯示出知識結構和關鍵特征的變易圖式,引導學生對教學過程、呈現(xiàn)過程和思維方式進行反思,提升思維和認知能力,形成自己的學習策略. 將變易圖式恰當地運用于高中數學課堂教學,有利于促進學生的有效學習和優(yōu)化高中數學課堂教學.