開展研究性學習,培養數學建模素養*
——以“數列模型在房貸問題上的應用”教學實踐為例

廣東省梅州市教育局教學研究室(514021) 陳啟南 羅 裕

廣東省梅縣東山中學(514021) 謝婷婷

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出數學學科六大核心素養: 數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析,其中數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.數學建模過程主要包括: 在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題. 如何充分利用高中數學課程,培養數學核心素養? 如何充分利用高中數學課程中相關數學模型,培養學生善于發現和提出問題,用數學模型解決實際問題的意識? 如何設計數學建模研究性學習活動,讓學生感悟數學知識與現實世界的緊密聯系? 這些問題都是當前中學數學教育工作者熱議的話題. 筆者基于對課程標準的理解和認識,在高中數學課堂開展數學建模研究性學習活動,培養學生在現實生活情境中發現和提出問題,利用現有高中知識結構建立和求解模型,在小組研討分析和同伴互助下解決實際問題. 下面是以“數列模型在房貸問題上的應用”為例,在研究性學習活動中開展數學建模的教學實踐和感悟,供各位同仁研討.

1 立足教材內容,提出研究性學習教學內容

1.1 教材思考應用題,萌發教學實踐的想法

在蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書· 數學5(必修)》“2.3.3 等比數列前n項和”章節中,一道關于購房貸款的思考應用題如下:

例1某人2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20 萬元購買住房,月利率為3.375‰,按復利計算,每月等額還貸一次,并從貸款后的次月初開始還貸. 如果10年還清,那么每月應還貸多少元?

在教學的備課環節,筆者不禁思考,正如例5 所述,在我們現實生活的各方面都蘊涵著數學知識,數學在生活中的應用也處處可見,消費者在購買商品住房時,往往向銀行申請購房貸款,采取分期還款的方式來緩解資金的暫缺,消費者該如何選擇最優的還款方案? 我們不妨以此題為背景材料,設計研究性問題,組織學生開展基于數學建模的研究性學習活動.

1.2 從數學的視角發現問題,提出研究性問題

為方便學生研究性學習活動的開展,筆者將教材中的例題改編為研究性學習問題如下:

問題1: 張某計劃于2020年初向銀行申請商業貸款購買住房,請你以小組為單位調查我市各商業銀行貸款年利率、貸款期限等相關情況. 目前商業銀行主要提供兩種購房貸款的還款方式: 等額本息還款和等額本金還款,請你以小組為單位調查這兩種還款方式有何不同?

問題2: 若張某向銀行申請貸款100 萬元購買住房,貸款期限為20年或30年,銀行五年以上貸款年利率為4.9%,每月還款一次,張某可以選擇等額本息還款或等額本金還款方式,你能否建立不同還款方式的數學模型? 在不考慮其他因素的條件下,他該如何選擇哪種貸款期限和還款方式才更為劃算? 你能否得出有信服力的一般性結論?

2 立足學生學情,開展研究性學習教學實踐

2.11 第一階段: 學情分析,成立課題研究學習小組

研究性學習參與者是高中學生, 學生知識面已比較廣,對生活中的貸款問題有一定程度的了解,具有參與社會調查訪談的能力,已經學習并掌握等差數列和等比數列等相關數學知識,具有初步建立數學模型的能力. 教師遵循互補原則將學生分成若干組,成立課題研究學習小組,在教師指導下各小組選定組長,明確組員彼此分工,根據分工制定學習小組研究計劃,規劃研究時間,細分研究內容和預定成果等.

2.2 第二階段: 調查訪談,開展課題研究社會實踐

在教師指導下,課題研究學習小組開展對我市各商業銀行貸款年利率、貸款期限和還款方式等相關情況的社會調查實踐活動. 課題研究學習小組通過網絡搜索資源信息、咨詢家長與專業人士、走訪商業銀行采集數據等方式,了解和掌握目前購房貸款不同的還款方式、分期還款的年限、分期付款的方式以及利率等相關情況,調查訪談小組組員填寫調查記錄表,組長收集每次小組調查反饋的數據和信息.

2.33 第三階段: 建模活動,引入參數建立數學模型

(1)從數學的視角分析問題.

①等額本息還款: 又稱定期付息,貸款人每月按相等的金額償還貸款本息,其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結清. 即將按揭貸款的本金總額與利息總額相加,將總額平均分攤在還款期限的每個月中,每個月按照固定的金額數目進行還款.

②等額本金還款: 將貸款的本金平均分攤在還款期限的每個月中,同時付清上一交易日至本次還款日之間的利息,隨著還款次數的增加,每個月實際支付的還款金額逐月遞減.

(2)確定參數建立數學模型.

①理清變量關系,確定模型參數:

設銀行貸款本金為m萬元,還款期限為n個月,貸款月利率為r. 若采用等額本息還款方式,每月還款金額為a萬元,每次還款后剩余貸款本金為mn萬元,貸款需支付的總還款額為Sa萬元;若采用等額本金還款方式,每月還款金額為bn萬元,每月還款利息為Cn萬元,貸款需支付的總還款額為Sb萬元.

②利用數學方法,構建數學模型:

若采用等額本息還款方式:

數學模型構建思路1: 從還款剩余本金的角度建立數學模型,即計算出逐月還款后所剩本金數額(所剩本金數額=上次剩余本金-當次還款金額中所占的本金部分),還款期限結束時,貸款還清,貸款所剩本金數額為0. 數學模型1 構建過程如下:

第一次還款a后,剩余貸款本金為

第二次還款a后,剩余貸款本金為

第三次還款a后,剩余貸款本金為

第n次還款a后,剩余貸款本金為

當房貸還清時, 剩余貸款本金mn= 0, 可求每月等額本息還款金額a=;購房需支付的總還款額為Sa=a·n=

若采用等額本金還款方式:

數學模型構建思路2: 從每月還款金額的角度建立數學模型,即計算出每月所需還款金額,其由兩部分組成,第一部分是: 貸款的本金平均分攤在還款期限的每個月部分為第二部分是: 付清上一交易日至本次還款日的利息. 數學模型2 構建過程如下:

第二次還款金額為b2=

第三次還款金額為b3==

……

第n次還款金額為

由等差數列定義得: 每月還款金額bn為等差數列,公差為

運用等差數列求和公式, 可求出貸款需支付的總還款額為:

2.4 第四階段: 檢驗改進,小組同伴互助改進模型

(1)若采用等額本息還款方式.

數學模型1 檢驗改進思路: 可考慮從每月還款金額的本利和角度建立數學模型,即每次還款金額及其本利和的總額等于貸款的本金及其本利和的總額(銀行貸款本金為m,還款期限結束時,貸款的本金及其利息的總額為m(1+r)n,若每月等額本息還款為a,那么每次還款金額及其本利和的總額等于貸款的本金及其利息的總額). 數學模型1 檢驗改進過程如下:

第一次還款a, 至還款期限結束時, 其本利和為a(1+r)n-1;

第二次還款a, 至還款期限結束時, 其本利和為a(1+r)n-2;

第三次還款a, 至還款期限結束時, 其本利和為a(1+r)n-3;

……

第n -1 次還款a, 至還款期限結束時, 其本利和為a(1+r);

第n次還款a,其本利和為a.

從而有:a(1+r)n-1+a(1+r)n-2+a(1+r)n-3+···+a(1 +r) +a=m(1 +r)n, 運用等比數列求和公式, 化簡a=購房需支付的總還款額為Sa=a·n=

(2)若采用等額本金還款方式.

數學模型2 檢驗改進思路: 可考慮從每月還款利息的角度建立數學模型,即計算出每月還款利息金額. 由于等額本金還款每個月的本金還款額是固定金額為每月還款利息=上月剩余本金×月利率=總貸款數×[1-(還款月數-1)÷還款次數]×月利率. 貸款需支付的總還款額=各月還款利息總和+貸款的本金. 數學模型2 檢驗改進過程如下:

第一次還款利息為C1=mr;

第二次還款利息為C2=

第三次還款利息為C3=

……

第n次還款利息為Cn=

由等差數列定義得: 每月還款利息Cn為等差數列,公差為運用等差數列求和公式, 可求出各月還款利息總和為因為貸款需支付的總還款額=各月還款利息總和+貸款的本金,可得Sb=+m=

同理, 每月還款金額bn也為等差數列, 公差為

2.5 第五階段: 成果匯報,學習小組提交研究成果

(1)利用構建數學模型,計算解決研究性問題.

由研究性學習問題可知,銀行貸款本金為100 萬元,銀行五年以上貸款年利率為4.9%,可求得模型相應參數: 貸款月利率為r= 0.40833%,m= 100,代入上述構建數學模型中:

①當還款期限n=240 時,采用等額本息還款: 購房需支付的總還款額Sa=a·n=≈157.0666(萬元) ; 每月還款金額為a=≈0.6544(萬元) ; 采用等額本金還款: 購房需支付的總還款額Sb=≈149.2042(萬元) ; 每月還款金額為bn=(1+r)(萬元)(略).

②當還款期限n=360 時,采用等額本息還款: 購房需支付的總還款額Sa=a·n=≈191.0616(萬元) ; 每月還款金額為a=≈0.5307(萬元) . 采用等額本金還款: 購房需支付的總還款額Sb=≈173.7042(萬元) ; 每月還款金額為bn=(1+r)(萬元)(略).

(2)利用構建數學模型,作出最優化支出選擇.

通過構建的數學模型計算求解, 若選擇貸款期限為20年時, 等額本息還款方式需支付的總還款額為157.0666 萬元; 等額本金還款方式需支付的總還款額為149.2042 萬元;若選擇貸款期限為30年時,等額本息還款方式需支付的總還款額為191.0616 萬元;等額本金還款方式需支付的總還款額為173.7042 萬元;在不考慮其他因素的條件下,張某可選擇貸款期限為20年的等額本金還款方式更為劃算.

(3)利用構建數學模型,對比兩種方式的優劣.

通過構建的數學模型計算求解,不僅可以解決實際的生活問題,供購房貸款者根據自身家庭的經濟實力選擇最適合家庭支出的貸款期限和還款方式,而且得出有信服力的結論,供購房貸款者參考依據:

結論①: 貸款期限長短: 貸款期限短,每月還款金額多,支付的總還款額少;貸款期限長,每月還款金額少,支付的總還款額多,不同的貸款期限各有優勢,互有利弊.

結論②: 等額本息還款: 每月的還款額相等, 在貸款初期每月的還款中,剔除按月結清的利息后,所還的貸款本金就較少;而在貸款后期因貸款本金不斷減少、每月的還款額中貸款利息也不斷減少,每月所還的貸款本金就較多. 這種還款方式,實際占用銀行貸款的數量更多、占用的時間更長,這種還款方式適合預計收入穩定的人使用.

結論③: 等額本金還款: 每月所還本金固定, 而每月貸款利息隨著本金余額的減少而逐月遞減,等額本金還款法在貸款初期月還款金額大,此后逐月遞減(月遞減額=月還本金×月利率). 這種還款方式適合預計收入會逐步減少的人使用.

3 在研究性學習中開展數學建模教學實踐感悟

3.1 真實的生活情境是培養數學建模素養的“天然土壤”

數學建模是新課程改革提出的數學學科的核心素養之一,是數學知識應用的重要形式,是聯系數學知識與現實世界的重要橋梁, 是應用數學知識解決實際問題的重要途徑,課程標準對數學建模素養的不同水平劃分提及從實際背景、熟悉情境和綜合情境三個層面,發現情境中的數學關系. 因此,教師在開展數學建模活動教學過程中,應發揮“真實的生活情境”是培養數學建模素養的“天然土壤”的作用,從兩個視角出發,一是從現實的生活情境中出發,從情境中去發現其蘊藏的數學知識,如: 人口增長問題和投資回報問題中所蘊藏的函數知識,貸款利息問題中所蘊藏的等比數列和等差數列知識等;二是從數學知識出發,尋求數學知識在現實生活情境的應用,如: 解三角形知識在生活中測量問題的應用,三角函數知識在港口水深與貨船進港時間問題的應用等;通過兩個視角相結合,引導學生深入細致的觀察和分析現實生活的情境,培養學生學會用數學的眼光觀看世界,用數學的思維思考世界,用數學的語言表達世界.

3.2 多元化學習方式是培養數學建模素養的“發展途徑”

數學建模是學生應用數學知識解決現實生活問題的重要途徑,學生數學建模素養的形成和發展僅僅靠單一的課堂教學方式難于實現,尤其是在高考指揮棒作用下,雖然教師在數學建模有利于學生能力發展的觀點上均有一致共識,但在高中教學任務緊,升學壓力大的背景下,數學建模活動的開展往往流于形式,難成規模,不成氣候,更缺乏可以參考和借鑒的成熟案例和活動經驗. 筆者認為多元化學習方式是培養數學建模素養的“發展途徑”,一是立足課堂教學,圍繞主題單元教學中應用題專題,開展數學建模教學實踐,如: 必修一函數模型及其應用;必修3 算法案例、統計案例;必修4 三角函數的應用等等, 發揮應用題專題教學的生活情境問題,教給學生數學建模的程序和方法. 二是開展研究性學習活動,利用空余時間,讓學生打開課堂的柵欄,走進生活,奔向社會,以小組同伴互助的形式開展調查問卷、訪談研究、數據采集,在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題.

3.3 創新意識和科學精神是培養數學建模素養的“成果定位”

教育的核心本質是育人,開展數學建模活動實踐,培養學生數學建模素養是實現數學學科“學科育人”的途徑,數學建模活動應發揮其獨特的學科育人功能,將培養數學建模素養的“成果定位”在創新意識和科學精神上. 數學建模活動搭建了數學與外部世界的橋梁,學生將掌握的數學知識從紙面解題應用于生活實際,將數學方法、數學思想應用于解決生活實際的問題;學生在數學建模活動中,加深了對數學知識、數學方法、數學思想的理解,積累了數學實踐和應用的經驗,認識了數學知識在解決工程技術、經濟發展、社會生活等方面的廣泛應用;學生在建模實踐中使用數學的語言表達和交流,使用數學的思維創造性解決問題;在同伴互助中學會了交流與合作,激發了學生學習數學、應用數學的興趣,培養了學生創造性解決問題的能力,增強了學生的創新意識和科學精神.