復數的歷史與教學思考

華南師范大學(510631) 邱 勇 何小亞

1 復數發展史的概述

1.1 初露端倪

復數產生的最初緣由在于數學家們遇到了負數開平方的問題. 最早記載負數開方的文獻是公元1 世紀古希臘數學家海倫所著的《度量論》,他在書中討論了“平頂金字塔不可能問題”. 這個問題描述如下:

如圖1 所示的正棱臺, 上下底面分別是邊長為b和a的正方形,側棱長為c,求此時的高h?海倫推導出h可以由一個漂亮的式子給出(推導過程已由圖中給出提示,感興趣的讀者可以自行嘗試),即

圖1

海倫還給a,b,c賦了具體的數值進行舉例,如令a= 10,b=2,c=9,就可以利用公式(1)求出h的值:

但是, 海倫隨后又舉了一個特殊的例子, 他令a= 28,b=4,c=15,此時繼續用公式(1)計算h的值:

從而,海倫得到了一個不可能存在的“平頂金字塔”,對于這個結果海倫并沒有過多的討論,但這的確是數學史上首次對負數開方的記載. 不論海倫是有意還是無意地忽視這個結果,他都錯過了首次發現虛數的機會.

其后,許多的數學家都遇到了類似的問題. 例如,古希臘最偉大的數學家丟番圖在《算術》一書中已經遇到了“不可約”的一元二次方程336x2+24=172x. 12 世紀的印度數學家婆什伽羅也曾指出:“正數與負數的平方都是正數,正數的平方根有兩個,一個正,一個負. 但是負數沒有平方根,因為它不是一個平方數. ”歐洲的學者,12 世紀西班牙的巴希亞、13 世紀意大利數學家斐波那契、15 世紀意大利數學家帕西沃里和法國數學家丘凱在討論一元二次方程的根時都遇到了的情形.

1.2 萌芽時期

如果說以上只是虛數的初露端倪,那么16 世紀意大利米蘭數學家卡當算是第一個認真討論虛數的人了. 卡當提出了這個問題: 如何把10 分成兩部分,使它們的乘積為40. 這個問題的實質是解一元二次方程x(10-x) = 40,顯然這是一個在實數范圍內無解的方程. 但是卡當先把10 等分,得到兩個5,相乘得25,減去40 得-15. 5 分別減去和加上-15的平方根就得到根為然后說“不管會受到多大的良心責備”,把相乘,得乘積為25-(-15)或即40. 于是他說,“算術就是這樣神妙地搞下去的,它的目標,正如常言所說,是又精致又不中用的”.卡當包括當時的其他數學家都承認一個負數是沒有平方根,所以才會如此說. 實際上,卡當還會遇到負數開放問題. 1545年通常被視為數學領域現代時期的開始, 因為就在這一年不僅三次方程、而且四次方程的解因為卡當的《大衍術》而變成了常識. 卡當在《大衍術》中用文字記載了三次方程的解法,用去了兩頁的篇幅(雖然這個公式可能要歸功于另一名數學家塔爾塔利亞). 我們用現代的數學語言來表達方程x3+px=q的求根公式:

如果說在求解一元二次方程時,例如x2+2=0,x2=1,代數學家還可以說此類方程是不可解的,從而避免了對負數開方(古希臘的數學家就是這么做的). 那么,當一個三次方程的三個根都是非零實數時,公式(2)就無法避免要對負數開方了.

例如, 求解x3= 15x+4, 可得x=這種情形塔爾塔利亞稱為不可約. 卡當在《大衍術》中也對方程的復數根略而不提. 復數的發展還有很長的路要走.

長久以來,數學家們產生了思維定勢,認為負數開方沒有意義,對虛數的研究也被擱置了. 直到20 多年后,另一位意大利數學家拉法耶爾· 邦貝利在其著作《代數》第一卷的后半部分再次對三次方程的根進行了討論. 他發現方程x3=15x+4 有三個實數根可見4 是這個方程的唯一正根.

而運用公式(2)計算出的結果是x=+于是,邦貝利有了自己所說的“一個瘋狂的想法”,僅僅在符號上不同,于是他假設:

根數本身之間的關系,在很大程度上與被開方數之間的關系是一樣的;我們如今說,它們是得出實數4 的共軛復數.很明顯,如果實數部分之和等于4,那么,各實數部分都是2;如果一個形如的數是的立方根,那么很容易看出,b必定是1. 于是可以得到:

邦貝利通過他的巧妙推理,不僅讓負數開方有了一定的意義而且讓我們看到了共軛復數未來將起的重要作用. 不僅如此,邦貝利還用了先進的符號表示負數開方的數. 例如,他把2+3i 寫為2p dim3, 2+3i 寫為2m dim3. 邦貝利亦呈現了這些新數的運算法則, 用現代數學語言書寫就是(bi)(ci)=-bc,(bi)(-ci)=bc,和如今是一致的.

時間來到17 世紀,虛數并沒有被重視起來. 但是一直延續下來沒有中斷的一門研究是求解多項式方程. 早在1608年德國數學家羅特就認識到n次方程有n個根. 后來是1629年荷蘭數學家阿爾伯特·吉拉德在他的著作《代數學的新發現》中給出了代數基本定理的第一個明確表述“每一個代數方程容許有同方程的次數同樣多的解”,但他并沒有給出證明. 正因為吉拉德有了這樣的認識,他承認一個方程給定的解可能會出現不止一次,在統計解的個數時還應把虛根計入在內,即使他把虛根稱為不可能的. 在他自己舉例子x4+3 = 4x中,他注意到有四個根1,1,-1±面對這些不可能的解時,吉拉德直言“它們有三方面的好處: 一是因為能支持一般法則;二是因為它們有用;再者,因為除此之外再沒有別的解”.至于這些不可能的解到底有什么用,吉拉德也沒有說明.

另一名17 世紀的數學家笛卡爾也對解方程很感興趣,但他更關心的是方程解的作圖問題. 笛卡爾在其著作《幾何學》第三卷的末尾明確地示范了一些高次方程的作圖方法.尤其是三次或四次的方程, 他使用拋物線與圓相交的方法.通過幾何直觀來描述根時,笛卡爾意識到若圓和拋物線既不相交也不相切,這表明方程既無真(正)根也無假(負)根,此時所有的根都是虛的.他還給這些虛的根取了我們延用至今的名稱“虛數”(imaginary number), 也即他認為這些數只存在于想象之中. 這從笛卡爾《方法論》中最有名的一段引言“我思故我在”可以窺見一斑,因為他只相信那些自明的觀念為真.

微積分的主要奠基人萊布尼茨相對次要的貢獻是對復數的研究. 1627年,萊布尼茨研究方程的解時,得到式子:

得出這令人吃驚的結果后, 萊布尼茨說到:“在一切分析中, 我從來沒有見過比這更奇異、更矛盾的事實了. 我覺得自己是第一個不通過開方而將虛數形式的根化為實數值的人.”萊布尼茨寫信給荷蘭數學家惠更斯這一事實, 惠更斯也表示驚訝:“含有虛數的不可開根相加結果竟然就是一個實數, 這一結果令人驚訝, 前所未有. 人們絕不相信這里面隱藏著我們無法理解的東西”. 然而,萊布尼茨并沒有按照標準的形式來書寫復數的平方根,他也不能證明他的猜想: 若f(z)為實數多項式,則也是實數多項式. 萊布尼茨亦是一名杰出的神學家,他用一段話表明了自己的困惑:“虛數是一種兩棲動物,處在存在與不存在之間,在這方面類似于基督教神學中的‘圣靈’”.

1.3 應用時期

盡管對于18 世紀的數學家來說,復數是“虛數”,方程復數根是禍根. 與復數相關的發現和應用卻不斷. 棣莫弗在他1730年版的《分析雜論》中,表述了下面這個公式:

這個公式可以看作鼎鼎大名的棣莫弗公式(cosθ+i sinθ)n=cosnθ+i sinnθ的等價物.

1747年,達朗貝爾在其獲獎論文《關于風的一般成因的考慮》中認為: 每一個由復數經過代數運算(包括任意次冪)建立起來的式子都是一個形為的復數. 在給出這個結論的過程時,他遇到的困難是(a+bi)g+hi的情形. 關于這個結論,還必須經過歐拉和拉格朗日以及其他人的修補.歐拉在1748年給出那個著名的關系式eiθ= cosθ+i sinθ,若令θ=π就有eiπ+1 = 0,這個關系式包含了復數系中最重要的5 個數.

歐拉與達朗貝爾因為對一些命題的興趣相同, 1757年以前, 它們的通信一直很頻繁. 歐拉給達朗貝爾的信中討論了復數和復數的對數, 他也正確地解決了復數的對數問題. 但是無論是歐拉還是其他的數學家, 復數究竟是什么,還是不清楚的,即使歐拉在1777年給出了延用至今的符號

例如,歐拉在他的《對代數的完整介紹》中說:“因為所有可以想象中的數都或者比0 大,或者比0 小,或者等于0,所以很清楚,負數的平方根不可能包括在可能的數(實數)中.從而我們必須說它們是不可能的數. 然而這種情況使我們得到這樣一種數的概念,它們就其本性說來是不可能的數,因而通常叫做虛數或者幻想中的數,因為它們只存在于想象之中.”

事實上,復數的運用十分廣泛,萊布尼茨在用部分分式求積分時也用到了復數,達朗貝爾、高斯對代數基本定理的證明和流體力學中也必須承認復數的存在.

1.4 復數的幾何意義

正是基于以上與復數相關的發現和運用,數學家們逐漸重視研究復數試圖給出復數幾何解釋. 雖然沒有被重視,但早在1685年沃里斯已經給出過復數的幾何解釋,他是通過解釋二次方程根的幾何意義來進行的. 我們設二次方程為

其根為

圖2

圖3

因此當b ≥c時它是實根. 此時,根可以用實數直線上兩點P1,P2表達,該直線由圖2 所示的幾何作圖所決定. 當b ＜c時, 從Q出發的線段太短, 不能到達實數直線, 所以“P1,P2不可能在該直線上”,因而沃利斯“在線外(在同一平面)”去尋找它們,他的想法是正確的. 但他為P1,P2找到的位置并不恰當,它們跟他的第一次作圖結果太接近了,如圖3所示.

顯然, 沃利斯認為+ 和-應該仍然對應著“右方”和“左方”,這將會導致不可接受的推論i=-i(在表達式中令b →0).

真正作出虛數合理解釋的是韋塞爾,他出生于挪威的仲斯拉,在丹麥科學院作了多年的測量員. 1797年,韋塞爾向丹麥科學院遞交論文《方向間的解析表示,特別應用于平面與球面多邊形的測定》, 其中用+1 表示正方向的單位, +ε表示另一種單位,方向與前者垂直且有相同的原點. 并記作=ε,cosv+εsinv,除了虛數單位的符號不同之外,和現代復數平面的表示法一致. 可惜的是,韋塞爾的論文是用丹麥文寫成的并沒有得到學術界的注意.

瑞士的阿爾岡也為復數的幾何解釋做出了貢獻, 復數的三角形式便是由他最初提出來的. 1806年,他出版了《幾何作圖中虛數的表示法》. 后來, 于1814年, 在熱爾崗納(Gergonne)的《數學年鑒》上有記載. 雖然韋塞爾是最先提出復數合理幾何解釋的作者,但由于韋塞爾的論文在據第一次發表的100 周年,才被重新翻譯成法文發表. 韋塞爾的貢獻也就沒有得到及時的認可,所以復數平面才叫做阿爾岡平面而不是韋塞爾平面(Argang plane).

眾所周知,復數的幾何表示最終是由高斯完善的. 高斯的一生十分重視代數基本定理的證明,而代數基本定理的證明又依賴于對復數的承認,這就促使高斯去鞏固復數的地位.1831年,高斯正式發表有關復數幾何表示的論文. 他不僅將復數表示為復平面上的一點,而且闡述了復數的幾何與乘法.從而高斯說到,“從幾何表示法中,人們看到的直觀意義的證明完全有了依據,而不需要更多的理由才能將這些量納入算術領域之中”. 同時,為了區別a+bi 和i,高斯首先提出了復數(complex number)這個名詞.

1.5 理論建立

由于以前的通訊不發達, 新知識的傳播是十分緩慢的.整個18 世紀和19 世紀上半葉都在熱烈的爭論著復數的意義. 直到1837年,愛爾蘭數學家哈密爾頓發表了論文《共軛函數理論以及作為純粹時間科學的代數學》, 他指出復數a+bi 不是2+3 意義上的一個真正的和,加號的使用只是歷史的偶然,而a是不能加到bi 上去的. 哈密爾頓對復數a+bi的代數表示進行了天才般的處理,a+bi 不過是有序實數偶(a,b). 哈密爾頓給這種數偶定義了加法和乘法,如:

并且哈密爾頓證明了這兩種運算具有封閉性, 而且滿足交換律和結合律. 當然, 復數也是包括實數的, 因為只需要讓b=0 就可以了. 就這樣,哈密爾頓將復數用純代數的方法定義起來了而不需要作幾何解釋. 事實上哈密爾頓推廣了有序實數偶的思想,通過長期的摸索,他將維數推至四維,發明了四元數.

此后,復數蓬勃發展. 許多數學家躋身研究復數,如庫莫爾、克羅內克、喬治·皮科克、德摩根等. 莫比烏斯發表了大量的復數幾何論文, 狄利克雷將許多實數概念推廣至復數,如素數.

2 復數教學的思考

2.1 復數教學的研究

《普通高中數學課程標準(2017 版)》指出:“復數是一類重要的運算對象,有廣泛的應用. 本單元的學習,可以幫助學生通過方程求解,理解引入復數的必要性,了解數系的擴充,掌握復數的表示、運算及其幾何意義.”國內各個版本的高中數學教材引入復數的理由也一般是為使在實數范圍內無解的一元二次方程有解,如方程x2+1 = 0 無實數解,為了解決負數開平方問題,需要引入新數i 使得i2=-1. 對此,許多學者表示不滿,認為使一元二次方程有復數解而引入虛數單位i 不夠有說服力,隨即對復數的教學展開了進一步的研究.

孔凡海、王金文、吳現、潘瑞娜等人在做復數教學設計時融入了數學史,將數學家卡當曾經研究的問題“如何把10 分成兩部分使得它們的乘積為40”展現給學生來引發學生思考,使學生產生心理矛盾,進而教師提出為解決負數開方問題應引入虛數. 張小明、趙瑤瑤、閆東同樣利用了數學史進行復數教學,他們化用了萊布尼茨對虛數的研究成果,即(7)式,兩個復數的和為實數. 他們給學生提出了這樣的問題: 已知x+y ＞0,且x2+y2= 2,xy= 2. (1)求解x+y;(2)求出x與y. 學生能計算出但無法分別求出x和y. 顯然,x和y是方程x2-+2 = 0 的兩個根,而這個方程是沒有實數根的. 但是,x+y=√又表明x和y是存在的.由此,引發學生的思考,考慮當Δ＜0 時,方程的根應如何表示. 為了解決這一問題需要引入新數i,達到數域的擴充.

司徒超旋、李昌官、李敏瑜等人則利用卡當的一元三次方程求根公式引入復數, 當一個三次方程的三個根都是非零實數時, 求根公式就無法避免要對負數開方. 例如, 方程x3-7x+6 = 0 利用賦值法得到的三個根為x= 1,2,-3.然而利用求根公式得到的結果是:

教師向學生指出賦值法與公式法求出根的一致性,數學家卡當曾經進一步計算出上式有:

然后,教師繼續引導學生討論負數能否開方,進行虛數的引入.

盧建川認為,為使x2+1=0 這類方程有解不是引入復數的真正原因,復數的產生不僅是因為復數能解決三次方程求解問題,更因為其具有的物理背景. 因此,他對復數教學內容進行重構,利用平面向量的旋轉和質點運動解釋i2=-1的幾何意義. 如圖4 所示,1×(-1) =-1 可以看作數軸上對應1 的點繞原點O逆時針旋轉180°得到-1 對應的點.而1 逆時針旋轉90°得到的是縱軸上的i,所以1×i = i,即一個實數乘i 可以看作幾何意義上的逆時針旋轉90°,就有i2=-1,如圖5 所示. 劉露對盧建川重構的復數教學內容進行了問題驅動的復數教學實驗.

圖4

圖5

2.2 理解復數概念的理論基礎

數學概念具有二重性,它的發展往往要經歷由過程到對象的兩個階段. 例如,x+y既可以看作x加上y的運算過程,也可以看作運算的結果. 審視復數的發展史,數學家們如果把看作動態的過程,對-1 開方,就會認為這是不合理的,這種數只能存在于想象之中;如果經歷了動態的過程而把看作一個對象進行運算,如就會產生新的理解. 于是把當作對象處理, 用i 表示可以用來四則運算、求對數、積分等,高一級的數學概念就形成了,棣莫弗公式,歐拉恒等式也就出來了. 所以,作為對象的概念,在某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用.綜上所述,復數概念的理解需要將復數對象化,將視作一個整體看待.

2.3 復數概念的認知途徑

人類獲得概念的方式有三種: 概念的形成、概念的同化、概念的順應. 概念的形成是指從大量的具體例子出發,歸納概括出一類事物的共同本質屬性的過程;概念的同化是指學習者利用原有認知結構中的觀念來理解接納新概念的過程;而概念的順應則是指當原有的認知結構不能同化新概念時,就要調整或改變原有的認知結構,以便概括新概念. 概念的形成實質上是對具體事物共同本質屬性的概括,比較接近與人類自發形成概念的過程. 概念的同化則較多地依賴于原有的概念,是認知水平達到一定程度的人獲得概念的主要方式.教師在選取復數概念引入的方式時,應注意到高中學生在學習復數之前已經建立了“負數不能開方”這一認知圖式,他們原有的數概念的認知結構難以吸收復數的概念. 顯然,概念的形成和概念的同化都不適合作為復數概念的引入方式. 因此,教師應當選取概念的順應這一方式來引入復數,通過調整或改變學生原有的認知結構,以便同化復數的概念.

2.4 復數教學的想法

復數概念教學的難點在于讓學生了解復數引入的必要性、合理性和使學生以整體的眼光、以數的眼光看待a+bi.為突破這兩個教學難點,首先我們應選取概念的順應這一方式來引入復數,具體的做法是融入數學史幫助學生建立新觀念:“海倫的‘平頂金字塔不可能問題’和公式法求解一元三次方程都存在負數開方問題”. 其次,z=a+bi 中加號的使用只是偶然,a是不能加到bi 上去的,復數概念從過程到對象的轉變需要通過復數的幾何意義——平面向量,才能明了.

2.4.1 創設復數引入的問題情境

問題一: 如圖6 所示的正棱臺,上下底面分別是邊長為b和a的正方形,側棱長為c,棱臺的高為h. 古希臘數學家海倫推導出h可以由一個漂亮的式子給出,即h=問:若a=28,b=4,c=15,求此時的高h?

圖6

問題二: 數學家卡當在其著作《大術》中給出了一元三次方程x3+px=q的求根公式

易知方程(x-1)(x-2)(x-3) = 0 的三個根為x=1,2,3;試將此方程化為x3+px=q的形式并用求根公式求解,你會得到怎么樣的結果?

教師若直接向學生介紹為使x2+1=0 這樣的方程有解而引入復數,他們會產生認知上的困難. 利用以上兩個問題驅動學生思考,改變學生原有的觀念,從而使其認識到存在負數開方問題. 又因為所以負數開方就歸結為對-1 開方,引入新數也就順理成章了.

2.4.2 復數概念的二重性與幾何意義

由概念的二重性理論我們知道數學概念往往具有過程與對象兩個側面. 形成一個概念, 先經歷相對直觀、細節豐富的過程階段, 上升到對象階段時就呈現出一種靜態結構的關系,成型的對象化概念利于把握整體性質,變成了易操作的實體. 我國的高中數學教科書(2019 版)一般是在引入后直接介紹到“形如a+bi(其中a,b ∈R)的數叫做復數, 通常用字母z表示, 即z=a+bi(a,b ∈R), 其中a稱為復數z的實部,記作Rez,b稱為復數z的虛部,記作Imz.”z=a+bi 已經是一個結構分明的“實體”,可用來做四則運算等操作性運算. 然而,z=a+bi 這一表達形式并未揭示復數概念的過程性側面,其動態的過程不是a加上bi得到和a+bi,教師可以類比合并同類項來說明這一點,如x與xy不是同類項,x+xy是不可以合并為一個整體x(1+y).為向學生揭示復數概念的二重性,從動態過程到實體對象的轉變,還需要通過復數的幾何意義完成.

任何一個復數z=a+bi(a,b ∈R)都可以由一個有序實數對(a,b)唯一確定,復數的幾何意義簡言之就是把復數與復平面上的點一一對應, 而平面向量也是和復平面上的點一一對應的, 因此復數與復平面內的向量也是一一對應的.

圖7

建立如圖7 所示的復平面. 復數z=a+bi(a,b ∈R)與向量= (a,b)相對應. 對向量進行水平和豎直方向的分解,從而有= 1rcosα+irsinα(1,i分別為x,y軸正方向上單位向量),令rcosα=a,rsinα=b則有=a1+bi,這就得到了我們的復數z=a+bi. 由此,我們通過復數的幾何意義——平面向量,實現了復數概念從過程到對象的飛躍.

3 總結

通過數學史創設問題情境,教師向學生表明負數的開方涉及到數系的又一次擴充,解決負數開方的問題最后只需歸結到對-1 開方,從而引入新數然后,教師向學生教授復數的幾何意義時,利用平面向量的分解揭示復數概念從過程到對象的轉變, 學生會對復數概念有更清楚的認識.當然,針對以上教學建議的復數教學設計是后續研究的課題.