歷史視角下的數學活動探究課設計*
——“數形結合”進行開平方運算

廣東實驗中學(510375) 羅 瑾

1 背景

《義務教育數學課程標準(2011 版)》指出:“課程內容要反映社會的需要、數學的特點,要符合學生的認知規律. 它不僅包括數學的結果,也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法”[1]. 在數學的教學中,教師不僅要注重知識的傳授,使學生掌握相關的結論,更應注重數學的發現與形成.有的教師只講知識,不講其來龍去脈以及應用;教材中通常注重知識的邏輯結構, 忽視了知識的形成過程和文化背景,數學教學“把火熱的發明變成了冷冰冰的美麗”. 作為一線教師,應該將這種“冰冷的美麗恢復為火熱的思考”,通過合作探究、數學建模、借鑒數學史等,讓學生體驗知識的形成過程,享受發現數學的樂趣. 數學史是數學家們發現與創造數學的過程,其中蘊含了豐富的數學思想,體現了數學家們的智慧,教師可以通過數學史與課堂相結合的形式開展數學活動.

數學史融入數學教學的研究是數學教學研究的重要組成部分,是HPM(數學史與數學教育國際研究組)領域的重要方向之一[2]. 數學史在數學教學中的運用通常有3 種方式,一是提供直接的歷史信息,二是借鑒歷史進行教學,三是開發對數學及其社會文化背景的深刻覺悟. 其中第二種方式就是依據歷史發生原理的發生教學法,其實質是指個體數學理解的發展遵循數學思想的歷史發展順序,即“歷史相似性”[3].美國數學史家卡約黎(F.Cajori,1859～1920)指出,通過數學史的介紹,教師可以讓學生明白: 數學并不是一門枯燥呆板的學科,而是一門不斷進步的生動有趣的學科[4]. 既然如此,我們應該將數學史引入課堂,讓學生了解知識的產生,甚至處于數學家們最初發現、創造數學的狀態,親身體驗做數學,對數學進行再創造的過程.基于上述原理及方法,本文以數學史的視角設計了一節數學活動課.

1.1 問題情境

在人教版八年級上冊15.2 節中出現了圖1,此圖除了教材中提到可作為完全平方公式的幾何解釋之外,還有何妙用之處?

在數學史上,圖1 曾經被數學家們用來解決許多與“平方”有關的問題,例如解方程的正根、求一正實數的算術平方根等. 教師可以收集相關資料,借鑒數學史進行教學,提高學生學習數學的興趣,讓學生對數學進行“再創造”,理解數學的本質,培養學生積極探索的科學精神.

1.2 數學史視角

早在公元前3 世紀,古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》卷2 有如下命題:“任意分一線段成兩段,則整段上的正方形等于兩分段上的正方形與兩分段所構成矩形的二倍之和”. 如圖2 所示,若以a、b表示兩分段長,則上述命題就是

既然圖1 與兩數的平方有關系,那么它能否解決一個基本的問題——任意一個數開平方呢? 如圖3 所示,在亞歷山大時期(公元前356年至323年)的數學家西翁給出了關于托勒密結果的幾何圖示(希臘人采用的是60 進制)[5].

開平方的問題得到初步的解決,那么一元二次方程是否可以利用上述圖形來解出正整數解呢? 9 世紀阿拉伯數學家花拉子米(Al-Khwarizmi, 約780～850)解二次方程時附加了幾何證明. 在《代數學》第4 章,花拉子米給出了二次方程

除此之外, 在斐波納契的《算盤書》中, 圖1 被用來求得了如圖6, 構造邊長為的正方形[5].

在這個簡單圖形的背后竟然有著如此美妙的應用! 如果能將這豐富的數學知識展現在學生眼前,勢必引起他們的好奇心與興趣. 對此,筆者提出兩種處理方式: 一是在學生學到相應的內容時將其融入到課堂中;二是將上述內容單獨作為一堂數學活動課,同時給學生提供探究性學習的課題. 此內容在教材中的連貫性不強,如果教師認為在正常的課堂教學上不好處理,那么可以考慮將其作為校本課程等其他非正常教學進度的興趣課堂上. 下面筆者根據此內容設計一節數學活動探究課.

2 基于數學史的設計

目前我國采用螺旋式上升的教材體系,學生對數學知識的認知逐漸深入,但在學生的數學認知結構中,很難形成完整的知識網絡結構體系,知識變得零碎,不系統. 實際上,許多數學知識是相通、聯系的. 本節課能讓學生經歷數學再創造的過程;體會數學知識是關聯、相通的;還能體會代數幾何法的美妙之處,圖形與代數的完美結合. 另外,也可啟發學生可以繼續探究“圖體一說”的數學問題.

2.1 幾何圖形的引入

問題1 利用幾何圖形解釋完全平方公式.

學生利用在15.2 節中已有的經驗,給出圖1、圖2.

教師向學生介紹此圖在《幾何原本》的歷史,并引導學生將數與形結合起來.“平方”在“形”中可以表現為正方形的面積,讓學生體會數形結合的思想,強調可以利用“形”對“數”進行解釋.

2.2 合作討論,展示交流成果

問題2 如何借助圖形解一元二次方程x2+10x=39?

學生分組討論,每組選一名代表匯報,展示所在組的討論結果.

結果1 從出發: 構造以x2為邊長的正方形,以及兩個長為x、寬為x的矩形(圖4). 可知邊長為x+5 的正方形面積為64,即邊長為8,x為3.

結果2 從x2出發: 構造以x為邊長的正方形,以及四個長為x,寬為的矩形(圖5). 可知邊長為的正方形面積為64,即邊長為8,x為3.

結果3 先進行配方得(x+5)2= 64,從(x+5)2出發:構造以x+5 為邊長的正方形(圖7、圖8). 可知邊長為x+5的正方形面積為64,即邊長為8,x為3.

問題3 借助圖形,求7569 的算術平方根.

學生自行思考,并畫出圖形;分組討論,交流結果.

學生展示: 將原問題轉化為求一個面積為7569 正方形的邊長. 先進行估算,以80 為邊長的正方形面積為6400,剩下的面積為1169. 通過計算發現當長方形的寬為7 時恰好符合(圖9).

問題4 借助圖形,求8436 的算術平方根近似值(保留整數).

學生利用問題3 相似的方法進行思考,但8436 并非完全平方數,引起學生認知沖突,讓學生嘗試去解決真正的問題. 先自行思考,再進行小組討論、交流看法.

學生展示: 將原問題轉化為求一個面積為8436 正方形的邊長. 先進行估算,以90 為邊長的正方形面積為8100,剩下的面積為336. 通過計算發現當長方形的寬為1 時,兩個長方形(長為90)與小正方形的面積最接近336,剩下的面積為155. 計算發現當長方形(長為91)寬為0.8 時,兩個小長方形與小正方形的面積為146.24,較接近155,始終無法恰好相等(圖10). 因此,8436 的算術平方根取整數后為92.

對于平方根,學生在人教版八年級上冊第13.1 節中只學習了用得比較多的較小數的平方根,但對于一般的數,直到高中都沒有提及到如何開平方. 這是一個十分基本的問題,卻一直到高中教材都沒有提及到. 對此,學生必定會產生疑問. 筆者認為,如果將此內容放在學完本文需要的知識基礎后,教師利用數學史中數學家西翁的方法,同時給出開平方的除法豎式,并進行講解,對于學生來說是能接受并且是能理解的.

2.3 總結升華,提出研究問題

教師進行總結并引導學生提出更多問題,作為課后探究.

(1)其他與“平方”有關的問題,如(a+b+c)2、(a+b+c+d)2等的幾何證明;

(2)將此圖證明與“平方”有關的問題推到立方, 如(a+b)3、(a+b+c)3等的幾何證明;

(3)對于存在正根的方程ax2+bx+c= 0(a,b,c ∈R),怎樣構造圖形?

(4)對于(a+b)2有沒有其他的幾何證法?

(5)尋找更多圖形與代數完美結合的問題等.

上述問題可作為學生研究性學習的課題. 學生完成的方式可以多種多樣,可以寫一份本節課后的感想,也可以對自己感興趣的問題,查找資料,形成讀書報告或寫成一篇小論文等.

本文從數學史的角度,借鑒有關利用圖形進行開平方運算的歷史進行教學,設計了以上的數學活動探究課,讓學生經歷做數學、再創造的過程. 這只是數學史這片汪洋大海中的冰山一角,仍有許多可作為課堂教學的豐富素材有待挖掘.教學中融入數學史,既能使學生在掌握知識的同時了解知識的形成過程,加深對數學知識的理解,又能讓學生了解到數學是經歷演進過程的學科,而不是天上掉下來的東西. 因此,教師應該多了解數學史,積累素材,適當地在課堂教學中融入數學史,滲透數學文化,提高學生學習數學的興趣.