矩形板輻射體彎曲振動(dòng)的軸向聲場(chǎng)計(jì)算

李 娜，賀西平

(1.陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西西安 710119；2.寧夏醫(yī)科大學(xué)理學(xué)院，寧夏銀川 750004)

0 引 言

由縱向振動(dòng)換能器與彎曲振動(dòng)輻射體組成的縱彎超聲輻射系統(tǒng)，兼具縱振換能器大功率、高效率與彎振輻射體低輻射阻抗、大輻射面等特點(diǎn)，在超聲懸浮、食品加工過程中的干燥和除泡、污泥處理、超聲空氣除塵等大功率氣介質(zhì)超聲領(lǐng)域獲得了應(yīng)用[1]。

在彎曲振動(dòng)輻射體輻射聲場(chǎng)中，輻射體附近聲壓與質(zhì)點(diǎn)速度不同相的區(qū)域稱為近場(chǎng)，在該區(qū)域內(nèi)輻射體軸向聲壓隨與輻射體幾何中心間距的增大有較大的、無規(guī)律的起伏變化。輻射體遠(yuǎn)處聲壓與質(zhì)點(diǎn)速度同相時(shí)的聲場(chǎng)稱為遠(yuǎn)場(chǎng)，在該區(qū)域輻射體的軸向聲壓與距聲源幾何中心的距離成反比，即聲壓隨軸向距離的增加而緩慢衰減[2-3]。實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體需求，選擇恰當(dāng)?shù)墓ぷ鲄^(qū)域。如近場(chǎng)懸浮技術(shù)，其工作機(jī)理是在換能器與被懸浮物體之間形成高強(qiáng)度聲場(chǎng)，利用聲場(chǎng)平衡被懸浮物自身的重力，使其被懸浮在一定的高度上，但是近場(chǎng)具有聲壓分布不均勻、起伏變化較大的特點(diǎn)，因此對(duì)于近場(chǎng)聲壓分布規(guī)律的研究顯得尤為重要[4]。文獻(xiàn)[5-7]中利用數(shù)值方法計(jì)算了活塞圓盤輻射體、固定及簡(jiǎn)支邊界條件下的圓盤輻射體近場(chǎng)區(qū)域軸向聲壓，并對(duì)這三種輻射體的軸向聲壓進(jìn)行了比較分析，為彎曲振動(dòng)圓盤輻射體的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。Sadayuki等推導(dǎo)了平面圓盤彎曲振動(dòng)所產(chǎn)生的近場(chǎng)聲壓分布的數(shù)學(xué)表達(dá)公式[8]。文獻(xiàn)[9-12]中利用疊加法和高斯數(shù)值積分算法，計(jì)算了自由邊界條件彎曲振動(dòng)圓盤輻射體及具有比平圓盤輻射體指向性更加尖銳的階梯圓盤輻射體的聲場(chǎng)分布，并以二階梯圓盤為例計(jì)算了其軸向聲壓隨距離的變化關(guān)系，對(duì)設(shè)計(jì)的二階梯、三階梯和四階梯圓盤的軸向聲壓進(jìn)行了測(cè)試，驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

彎曲振動(dòng)矩形輻射體的振動(dòng)模式復(fù)雜，邊界自由時(shí)沒有解析解，但其振動(dòng)模態(tài)中有節(jié)線平行于長(zhǎng)邊或?qū)掃叺臈l紋模態(tài)，與圓形彎振輻射體相比，處于條紋振動(dòng)模態(tài)下的矩形輻射體的位移分布比較均勻[13-15]。本文利用數(shù)值方法結(jié)合有限元方法，推導(dǎo)了計(jì)算自由邊界矩形板輻射體軸向聲壓的公式，該公式適用于任意形狀平面狀輻射聲源，對(duì)階梯厚度等于輻射介質(zhì)中半波長(zhǎng)的階梯形輻射體也適用。

1 矩形板輻射體軸向聲壓計(jì)算

假設(shè)彎曲振動(dòng)矩形板輻射體被嵌置在無限大剛性障板上。以輻射體上表面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 輻射聲場(chǎng)計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of radiation field calculation

輻射體向障板前面的空間輻射聲場(chǎng)，觀察點(diǎn)Q(0,0,z0)位于z坐標(biāo)軸上，取輻射體表面某一微元ds(x,y,0)，其面積ds=dxdy，則ds在Q點(diǎn)產(chǎn)生的聲壓為

式中：H為ds與觀察點(diǎn)Q之間的距離，；u(x,y)為ds的振速幅值。積分可得整個(gè)輻射體產(chǎn)生的輻射聲壓：

利用歐拉公式展開式(2)得：

則輻射體產(chǎn)生的輻射聲壓可表示為

式中：ui，?si分別表示第i個(gè)微元的振動(dòng)速度及面積，xi，yi分別表示該微元的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。利用ANSYS軟件建立換能器中心激勵(lì)矩形輻射體的有限元模型。選擇輻射體的單元類型為SOLID187，將輻射體表面分為N個(gè)微元，有限元Modal模塊計(jì)算出各微元的相對(duì)振動(dòng)位移，根據(jù)任一微元振速ui與其位移ξi的關(guān)系：

將式(8)代入式(7)，即可得到輻射體的軸向聲壓。

2 算 例

矩形階梯體如圖2所示。表1為矩形板輻射體幾何參數(shù)。1#輻射體為平板輻射體，2#輻射體為階梯輻射體。以表1所示幾何尺寸1#輻射體為例(位移分布如圖3所示)，2#輻射體(結(jié)構(gòu)如圖2所示)是由1#輻射體在上述條紋振動(dòng)模態(tài)下改進(jìn)成的階梯輻射體，其位移分布如圖4所示(圖中不同顏色表示不同的位移，ξmax表示位移最大，ξmin表示位移最小)。計(jì)算1#輻射板條紋振動(dòng)模態(tài)下軸向聲壓與距離的關(guān)系，結(jié)果如圖5(a)實(shí)線所示。計(jì)算得2#輻射板軸向聲壓與距離的關(guān)系如圖5(b)實(shí)線所示。其中輻射體材料均為45#鋼(泊松比v=0.28，楊氏模量E=1.96×1011N·m-2，密度ρ=7.91×103kg·m-3)，f表示換能器與輻射體組成的振動(dòng)系統(tǒng)的頻率，N表示輻射體表面劃分的微元個(gè)數(shù)。

由近遠(yuǎn)場(chǎng)臨界點(diǎn)a2/λ可得(其中a表示矩形輻射體對(duì)角線長(zhǎng)度，λ表示矩形輻射體在空氣中輻射聲波的波長(zhǎng))，1#矩形平板輻射體近遠(yuǎn)場(chǎng)臨界點(diǎn)距離矩形平板輻射體幾何中心約 1.1 m，2#矩形階梯輻射體近遠(yuǎn)場(chǎng)臨界點(diǎn)距矩形平板輻射體約1.7 m。

圖2 矩形階梯輻射體Fig.2 The stepped rectangular plate radiator

表1 兩個(gè)不同矩形板輻射體參數(shù)Table 1 Parameters of two different rectangular plate radiators

圖3 矩形平板輻射體位移分布Fig.3 Displacement distribution of the single flat rectangular plate radiator

圖4 矩形階梯輻射體位移分布Fig.4 Displacement distribution of the stepped rectangular plate radiator

圖5 矩形板輻射體軸向聲壓與距離的關(guān)系Fig.5 The relationships between axial pressure and axial distance for the 1# and 2# rectangular plate radiators

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

實(shí)驗(yàn)中加工了算例中的1#和2#輻射體，實(shí)物如圖6所示。實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置包括聲級(jí)測(cè)量分析儀、換能器、超聲波發(fā)生器、數(shù)字功率計(jì)和麥克風(fēng)(型號(hào)為uc-29，日本里音公司產(chǎn)，0.25 in (1 in=2.54 cm)，頻響范圍為20 Hz～100 kHz)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示。超聲波發(fā)生器施加電激勵(lì)信號(hào)于換能器，換能器激勵(lì)輻射體中心，麥克風(fēng)正對(duì)輻射體的幾何中心，其接收到的信號(hào)經(jīng)過前置放大器放大后導(dǎo)入聲級(jí)測(cè)量分析儀中，利用(LP表示聲壓級(jí)，pe表示待測(cè)聲壓的有效值，pref為參考聲壓，參考聲壓pref在空氣中取為 2×10-5Pa)換算為空氣中的聲壓。圖8為輻射體軸向聲壓與輸入功率的關(guān)系。

圖6 1#矩形平板輻射體和2#矩形階梯輻射體的實(shí)物照片F(xiàn)ig.6 The photographs of 1# flat rectangular plate radiator and 2# stepped rectangular plate radiator

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.7 Experimental setup diagram

將測(cè)試得到的聲壓級(jí)換算成空氣中聲壓后進(jìn)行歸一化處理，得到輻射體軸向距離與聲壓的關(guān)系，如圖5(a)和5(b)中虛線所示。

圖8 不同輸入功率下矩形平板輻射體和階梯輻射體的軸向聲壓Fig.8 The axial pressures of flat rectangular plate radiator and stepped rectangular plate radiator under different input powers

4 分析與討論

圖5中實(shí)線所示為理論計(jì)算結(jié)果，虛線所示為實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果均表明，2#矩形階梯輻射體的近遠(yuǎn)場(chǎng)臨界點(diǎn)距離其中心較遠(yuǎn)，在其近場(chǎng)區(qū)域聲壓起伏變化劇烈，極大值與極小值出現(xiàn)的頻率較高，聲壓幅值差值較大。1#輻射體和 2#階梯輻射體在其各自近聲場(chǎng)中的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果存在一些差異，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：首先，極大值與極小值出現(xiàn)的位置有偏移，其次，聲壓幅值變化的大小有差異。出現(xiàn)上述情況的可能原因是：(1) 在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中移動(dòng)麥克風(fēng)時(shí)，麥克風(fēng)距輻射體幾何中心h的讀數(shù)誤差；(2) 理論計(jì)算時(shí)假設(shè)輻射體嵌置于無限大剛性障板中，而測(cè)試時(shí)輻射體實(shí)際嵌置于有限大障板中，從而造成的誤差。但總體來說，計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓隨軸向距離變化的趨勢(shì)基本一致。

由圖8可得，輸入功率不同時(shí)，兩個(gè)輻射體沿各自軸線方向的聲壓隨距離的變化趨勢(shì)基本一致，在各自近場(chǎng)區(qū)域，軸向聲壓隨距離的增大有較大的起伏變化，極大值與極小值出現(xiàn)的頻率較高；在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，聲壓隨距離的增加緩慢衰減，近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓隨軸向距離變化的趨勢(shì)基本一致。

5 結(jié) 論

(1) 本文推導(dǎo)了一種計(jì)算自由邊界條件下彎曲振動(dòng)矩形板輻射體近遠(yuǎn)場(chǎng)軸向聲壓的方法。以算例中的1#和2#矩形輻射體為例，分別計(jì)算了其軸向聲壓的變化規(guī)律，并進(jìn)一步進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試與計(jì)算結(jié)果基本一致。

(2) 在近場(chǎng)區(qū)域，1#和 2#矩形輻射體的聲壓均隨軸向距離的增大有較大的起伏變化，在其各自的近場(chǎng)區(qū)域均多次出現(xiàn)極大值與極小值；在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，兩類輻射體的軸向聲壓均隨距離的增加而緩慢衰減。

(3) 測(cè)試了聲壓與施加在激勵(lì)換能器上的輸入功率之間的關(guān)系。輸入功率不同時(shí)，輻射體軸向聲壓隨距離變化的趨勢(shì)相同，進(jìn)一步說明該方法是可行的。