平方根內容教學現狀的理論分析

曲元海，賈宏宇

平方根內容在人教版教材中是七年級下冊第六章的內容，該部分是基礎內容，它對實數運算及二次根式的學習都非常重要.并且通過這一內容的學習，引進了第三對互逆運算即乘方和開方運算.對于這部分內容，教材的呈現順序是先介紹算術平方根，然后再接觸平方根.絕大多數教師在教學時，基本按照教材呈現的知識結構順序進行教學，先講算術平方根，再講平方根.筆者通過與各校（通鋼三中、通鋼二中、通化市二中、通化市五中、通化市外國語學校、通化市十三中、通化市實驗中學等）多位數學教師交流了解到，很多學生對這個知識點的學習總會出現一些共性的問題，如9的平方根是3；的平方根是這樣的錯誤.教師反反復復地訓練、糾正，但學生反復出現問題.教師也感到不解和困惑.筆者針對這樣的教與學的狀況，從以下幾個方面深入分析原因，并試圖給出改進平方根內容教與學的策略.

1 平方根內容相關分析

1.1 從教材安排順序分析

教材在處理平方根內容時，按照由特殊到一般的順序，即先安排算術平方根的學習，再過渡到平方根內容的學習.教材通過一個情境：一塊25 dm2的正方形畫布，它的邊長是多少？來引發學生的思考.［1］教材之所以這樣做，是考慮學生熟悉平方運算，再結合正方形面積與邊長的關系，學生容易解決這個問題.同時，考慮實際問題往往是正數的情況，這跟算術平方根非常吻合，接著過渡到一些實際問題：讓學生直接寫出一些正數，它的平方是1，，，等.由此給出一個正數a的算術平方根，并表示為，然后過渡到一個數的平方根.這樣做的好處是從特殊到一般，似乎符合學生思維的特點，也符合認知的一般規律.從學生學習的角度，按照概念學習類型屬于上位學習，這種學習關鍵是歸納出下位概念的共同特征.但從另一個角度看，學生的學習有先入為主的傾向，先學習的內容會對后面內容的學習產生影響，心理學稱之為首因效應.［2］因此，先學習算術平方根，尤其是反復強化一個正數的平方的問題，這樣勢必會對學習一個數的平方根產生不利影響，況且在引進負數擴充數系的過程中，學生同化負數的知識結構還不是很穩定，更會使算術平方根和平方根的內容學習混淆，尤其是對一個正數的平方根是兩個互為相反數的數，易與算術平方根產生一定的認知沖突.

1.2 從運算的角度分析

學生在小學就已經學習了“加與減”“乘與除”是互逆運算，它們之間都可以相互轉化，即減去一個數等于加上這個數的相反數；除以一個數等于乘上這個數的倒數，并且運算結果都是唯一的，學生對此非常熟悉.乘方是特殊的乘法，學生理解起來也比較輕松，但開方運算即求平方根運算是乘方的逆運算，且結果有幾種情況，尤其是正數的平方根有兩個結果，這與學生以前遇到的運算結果唯一的情況有所不同，引起了學生認識上的沖突.如果不采取可行的方法勢必造成理解上的偏差.負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算，這種情況也與學生過去學習的運算有所不同.因為過去的加減乘除運算都可進行（零不能作除數除外），現在出現了負數不能進行開方運算，因此從運算的角度來看，學生學習這個內容存在一定的難度.

1.3 從符號表示角度分析

眾所周知，數學教學語言包括三種：自然語言、圖形語言、符號語言，數學的符號語言是數學的一個重要的特點，它具有簡潔、形象的特性，不僅如此，它本身就具有特殊的意義，還可以參與運算和推理等.在平方根這個內容中，引入了±a表示非負數a的平方根.這種表示的內涵可以從幾個方面理解：一是正數的平方根有兩個數，且這兩個數互為相反數；二是它可以看作是一種形式上的表達，這也是數學的特點；三是可以進行運算，這一點學生有時會出錯，原因是理解不全面.從這幾個方面看，學生往往理解不到位，有一定難度.這個內容掌握不好也會與后面的二次根式內容脫節，不能建立知識之間的聯系，學生的認知結構就不十分清晰.

2 平方根內容教學建議

根據筆者對平方根內容的教學順序、運算系統、符號引入等分析，認為對這部分內容的教學應該按如下次序進行：

2.1 從平方根內容入手，算術平方根看作是它的一部分

筆者根據以上的分析和學生的實際情況認為，先進行平方根內容的教學，然后再進行算術平方根教學.這樣處理有以下理由：奧蘇貝爾說過：“如果讓我用一句話來概括教育教學的理論，那就是學生知道了什么，我便以此來進行教學”［3］學生前面已經學習了有理數的四則運算和乘方的概念，學生對平方的概念非常熟悉，也清楚一個負數的平方是正數的道理.也就是說學生有學習平方根的知識儲備，對(±3)2=9，這樣的事實，認識比較深刻.因此，通過這樣引入便于學生對其逆問題的理解；另一個原因是先學習了平方根后，再學習算術平方根降低了學習的難度，因為算術平方根是平方根的一個部分.從學習心理學角度講這種學習屬于下位學習，學生比較容易接受.由以上的分析來看，從先進行平方根的教學，然后再進行算術平方根的教學要好于目前教材上的呈現順序的教學.

2.2 通過討論理解平方根的三種情況

人們常說：“Tell me，I will forget；Show me，I may remember；But involve me，I will under?stand”.課程標準也強調以學生為主體，學習方式多樣化，尤其是自主探索和合作交流是非常有效的學習方式.真理越辯越明，通過適當的討論，讓學生理解正數的平方根有兩個，且互為相反數；零的平方根是0；負數沒平方根.這三種情況可以通過提問，激發學生的思考.同時也要讓學生學會如何思考這個問題，核心是回到定義上，關鍵是平方運算.數學教學要始終抓住一根重要的紅線那就是數學思想方法，它是數學的靈魂，這里教師要抓住時機，讓學生感受數學中的分類思想，體會數學的嚴謹性，更好地在數學學習過程中提升思維能力，涵養數學素養.

2.3 適時引入符號表示

在數學發展的過程中，數學符號作用非常大，但在引入符號的過程中必須把握好時機，讓學生理解好它所代表的意義.字母代數經歷了文辭代數、縮寫代數、符號代數三個階段［4］引進字母也要充分考慮學生的認知情況，使其能真正地懂得符號所代表的實際意義，并會用符號進行推理和表達.在引入±a表示非負數平方根的過程中要緊扣定義，明確它表達的意義，且要在練習中讓學生表述，并在文字和符號之間熟練地轉換.還要與算術平方根聯系起來，形成一個關于平方根的知識體系.同時要捎帶介紹根號的由來.簡要介紹，歷史上很多人都曾給出過平方根的符號表示，但隨著歲月的流逝都沒站住腳，最后法國數學家笛卡爾在魯多爾夫和斯蒂文的基礎上，創造性地提出了現在的根號表示，得到廣泛地認同，并一直沿用至今.通過簡單介紹讓學生感受數學的每一步發展都凝結了許多人辛勤的汗水，也能讓學生體會數學文化的魅力，改變學生對數學的一些負面印象，真正理解數學是有血有肉的有著廣闊創造空間的一門學科，從而提振學好數學的信心和勇氣.

2.4 通過實際問題辨析平方根和算術平方根

數學大家嚴士健曾說過：“數學教學不能掐頭去尾燒中段.”他還說：“應該從廣泛得多的角度來向中學生介紹數學思想、發生規律、背景.簡單地說，就是要講來龍去脈.數學教學要充分展示數學知識的背景，形成發展的過程，以及有哪些應用，充分挖掘實踐性.”[5]如何引入這個概念，教師要下功夫創設好情境，講清背景，充分重視概念引入和形成過程.平方根這一內容在引入概念后，要不斷通過訓練來加深對概念的理解，同時要通過一些應用問題來探究其應用價值.結合實際問題，學生能夠分辨什么時候應用的是平方根，何時應用算術平方根，從而在應用中進一步加深了對知識地掌握.

3 結語

總之，這一內容的教學要根據學生的認知規律，讓學生清楚知識的發生、發展和應用，始終貫穿著用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界的主線，才能使學生得到良好的數學教育.