基于憶阻器神經網絡和改進Logistic映射的圖像加密法研究

李 涵，葛 斌

隨著計算機網絡技術的發展，圖像作為一種信息載體被廣泛使用.但由于圖像信息量大、冗余度高的特點，傳統的加密算法，如DES（Data Encryption Standard）等對文本進行加密的算法［1］，已經不適用于對圖像進行加密.由于混沌映射函數具有對初值敏感性、偽隨機性、非周期性等特點，被廣泛應用到隨機序列的生成，這使得混沌加密算法受到眾多學者的關注［2-10］.

混沌映射包括：低維映射與高維映射，其中，一維Logistic混沌映射函數，形式簡單且運算效率高，被廣泛使用［3］，但其安全性較低；高維映射參數多，安全性高，但其效率較低［4］；因此，一些學者通過改進一維混沌映射，提高混沌序列的隨機性［5-7］.周輝等［6］通過構造2維Henon-Sine映射，提高混沌映射函數的性能.對于加密系統而言，混沌序列應用到置換與擴散操作中，增強了混沌序列的隨機性，加密系統的安全性也隨之提高.

對于圖像加密算法而言，像素級的置亂操作僅僅能改變像素的位置，破壞相鄰像素之間的相關性，但是每個像素值在整張圖像中出現的頻率并沒有改變.因此，像素級的置亂操作不能抵抗統計分析攻擊.而對圖像中像素進行bit位置亂操作卻能夠同時改變像素值的位置和大小，算法效率較高，能夠達到抵抗統計攻擊的目的［9-10］.

本文選擇憶阻器神經網絡，將其更新的權值作為混沌系統的密鑰，使用生成的混沌隨機序列完成圖像的置亂和擴散；并通過密鑰空間分析、信息熵分析、直方圖分析、相關性分析等進行安全性分析.

1 復合指數混沌系統

通過引入指數函數ek，對1-D Logistic映射進行改進，xk為1-D Logistic映射，復合指數混沌系統yk定義為：

其中：μ?[1,4]，步長為10-3，對原混沌映射函數進行改進后，其混沌特性明顯增強.由圖1可以觀察到其混沌范圍變廣；當參數μ>2.7時，函數已完全進入混沌狀態，且沒有周期加倍的分岔現象.

圖1 復合指數混沌系統

1.1 自相關性分析

本文所考慮的自相關性是指混沌系統在經過步長為d而產生序列長度為L的迭代過程中，一個步長的取值與另一步長取值的依賴關系，其公式可以表示為：

其中：Rac為自相關系數，x(n)為序列值.

輸入初始值x0=0.2，μ=4到混沌系統，對獲得的長度為65 536的混沌隨機序列x1進行分析.從圖2可以看出，隨機序列在滯留間隔內只有一個最高峰，且相關性在x軸上下波動，相關性系數接近于0.

圖2 隨機序列自相關性

1.2 Lyapunov指數

Lyapunov指數是識別混沌運動的一個重要數值特征，當出現數值為正數時，系統則產生混沌現象.由于在一維混沌映射中，其仿真數值并不是很理想.

本文提出的混沌系統則表現出較好的混沌特性.從圖3可以觀察到，混沌系統的Lyapunov指數皆為正值，表示其具有良好的混沌特性.

1.3 NIST檢驗

NIST SP 800-22 Test Suite為隨機性檢測工具，其中介紹了15種檢測隨機性的統計學方法.本文使用隨機性檢驗套件對混沌隨機序列進行測試，為滿足NIST檢驗的15項測試要求，首先對1 000 000個混沌序列值進行二值化處理，然后對取得的1 000 000位二進制序列進行NIST檢驗.

對于15項隨機性檢驗，每一項都會產生［0，1］的P值，當P值大于顯著性水平（α=0.01）時，則表示二進制序列通過測試且滿足隨機性特點.通過表1可以觀察到，所取得的隨機序列通過了NIST隨機性檢驗，混沌序列具有良好的隨機特性.

表1 NIST檢驗

2 憶阻器神經網絡

2.1 憶阻器

憶阻器模型是由兩層鉑觸點和兩層TiO2薄膜組成，其中一層由于氧空位的摻雜而起到半導體的作用，而另一層則是顯示出絕緣性能，摻雜區的寬度可由通過憶阻器的電荷來確定.由于外界的激發，摻雜區的氧空位出現了漂移，使區域之間的邊界向同一方向移動［11］.

在描述邊界偏移速率時，同時考慮到憶阻器內部，以及邊界條件的漂移行為使離子產生非線性狀態，選擇經典的Joglekar窗口函數對摻雜漂移行為進行建模；在文獻［8］中，當p=1時，憶阻器的非線性特性最強，則非線性窗口函數f(x)表示為：

憶阻器阻值M(t)為：

其中：Ron和Roff分別指憶阻器的低、高電阻，q(t)為流過憶阻器的電流，為參數，，μv為平均遷移率，約為10-14m2s-1V-1.

由于憶阻器電導為其阻值的倒數，則憶阻器電導G(t)為：

憶阻器電導對時間t進行微分，可得到關于電導變化率的方程為：

2.2 基于憶阻器的神經網絡

由于混沌多項式的遞歸和正交特性，被選擇作為神經網絡的激活函數，本文選擇Che?byshevⅡ類多項式作為神經網絡的激活函數.

神經網絡的輸出.本文選擇ChebyshevⅡ正交多項式作為全連接層神經網絡的激活函數，x為輸入，wi為權值，Ci(t)為激活函數，則輸出層y為：

計算誤差：

其中：f(x)為期望輸出，y為實際輸出.

權值更新.使用憶阻器電導率?G代替?w，當電流很小時，憶阻器電導的變化也很小，趨近于0；當電流值為±4 mA時，憶阻器電導會產生很大的變化，由憶阻方程推導出的權值更新方程為：

利用誤差ei代替為ei的積分，η為學習率，Ci為Chebyshev混沌多項式.

計算所得的權值作為加密過程中的密鑰，且加密解密都使用同一個神經網絡，如圖4所示.

圖4 神經網絡

3 加解密算法

3.1 加密算法

STEP1：初始值密鑰的選取.將明文像素矩陣連同在明文像素矩陣中隨機選取的像素值x作為混沌神經網絡的輸入，設置輸入層和隱層之間的權值為1，混沌神經網絡一經確定輸入值和權值，便向輸出快速收斂并進行權值的更新.將混沌神經網絡得到的權值wi作為混沌系統的密鑰值，其中算法1為混沌系統初始值，以及控制參數的更新算法.

STEP2：混沌序列的生成.使用算法1獲得混沌系統的初始值與控制參數x1,0、μ1，進行N0+l次的迭代后，為避免暫態效應，省略掉前面的N0個值而保留后面的l個值，生成混沌序列S={s1,s2,s3,…,sl}，其中l=M×N，M為明文像素矩陣的行，N為明文像素矩陣的列.

STEP3：獲得索引數組，完成像素級置亂.將混沌序列S={s1,s2,s3,…,sl}轉置為M×N混沌矩陣后，對其進行逐行逐列的排序，得到索引矩陣D；按照索引矩陣D對明文像素矩陣P進行置亂操作，得到置亂后像素矩陣P′.

STEP4：初始值選擇.同樣使用算法1獲得混沌系統的初始值與控制參數x2,0、μ2，分別進行N0+8L次的迭代，將產生的混沌序列組合成序列W={w1,w2,…,w8L}.

STEP5：bit位重組.將P′中每個像素值轉化成二進制的形式Q，如Q(1,1)={1 0 000 001}；將混沌序列W轉置為M×8N的矩陣，對其進行排序后，得到索引數組C；按照索引數組C對序列Q中的元素進行重新排列，組合成新的序列A，即為bit位置亂后的序列.

STEP6：密鑰序列.首先，使用算法1獲得混沌系統的初始值與控制參數x3,0、μ3，x4,0、μ4，進行N0+l次的迭代后，獲得混沌隨機序列S1和S2；從置亂后圖像中隨機選取像素值Ak，并在權值中選擇wk1、wk2加入到混沌隨機序列S1和S2中，使得混沌序列的長度為l+1.為滿足擴散階段的bit-wise異或，以及mod運算的要求，使用算法2分別對混沌隨機序列S1和S2進行處理.

本文在進行bit位異或運算過程中，引入前一階段的像素值，使得每一個值擴散都與前一個步驟相關，且與前一個密文像素點相關，實現密文反饋機制，增強了加密算法的安全性.

STEP7：擴散.第一輪：在擴散加密時，引入bit級置亂后的結果A(l)，作為擴散的輸入.

當l=1時，

當1

第二輪：在擴散加密時，引入第一擴散后的結果Enc1(l)，作為擴散的輸入.

當l=L時，

當1≤l

得到最終的加密圖像為Enc2.

3.2 解密算法

解密算法為加密算法的逆運算，且解密過程中所使用的密鑰與加密過程中所使用的密鑰相同.

4 實驗結果與安全性分析

4.1 加密結果

圖5為圖像加密前后的對比，加密算法已經完全改變了圖像原本的特征，安全性較高.下文將從抗統計攻擊、信息熵、相鄰像素相關性等方面對加密結果進行分析.

圖5 圖像加密結果

4.2 密鑰空間

密鑰作為明文和密文之間相互轉化的參數，其空間的大小是衡量加密效果的重要指標，密鑰位數越長，其密鑰空間越大；本文密鑰精度可以達到10-15，其密鑰集合E={x1,0，μ1，x2,0，μ2，x3,0，μ3，x4,0，μ4，Ak，wk1，wk2，N0}；因此，密鑰空 間 為(1015×8)×256×256×256×3 000≈2435，其密鑰空間?2128，能夠抵抗窮舉式攻擊.

4.3 統計攻擊分析

對于一張有完整意義的圖像，其相鄰像素之間必定存在較強的相關性，因此第三方可以通過對圖像像素值進行統計分析，實現統計攻擊.

4.3.1 相鄰像素相關性分析

在加密算法中，通過對原圖像的像素進行置亂操作，破壞了原圖像相鄰像素之間的相關性，進而達到了抵抗統計攻擊的目的.在對圖像進行相鄰像素相關性分析時，分別從原圖像與密文圖像中隨機選擇5 000對像素點，從水平、垂直及對角線三個方向，對像素點相鄰像素相關性進行計算，計算公式為：

由圖6可以明顯地觀察到加密前，圖像相鄰像素之間的相關性近似為1；由表2可知，加密后其相關性幾乎為0，完全破壞了圖像相鄰像素之間的相關性，原圖像變得毫無意義.

表2 相鄰像素相關性

4.3.2 直方圖分析

直方圖是對圖像中像素出現頻率進行統計的工具；圖7中，加密前，可以清楚地觀察到原圖像中每一個像素值占整張圖像像素個數的比例，而加密后的直方圖，每一個像素的分布都變得均勻，達到了抵抗統計攻擊的目的.

4.4 信息熵分析

對信息源的不確定度的度量，是圖像所包含信息的重要指標.信息熵越大，則圖像所包含信息越多，其混亂程度越高，因此，也不容易被第三方獲得圖像所包含的信息.加密后信息熵的理想值為8.信息熵的數學公式為：

圖6 相鄰像素相關性分析

圖7 直方圖分析

表3為對不同圖像加密后的信息熵，從表中可以觀察到加密后的圖像信息熵為7.997 3，接近于8，加密算法不易被第三方獲取信息.

表3 信息熵

5 結語

本文通過引入指數函數，對一維Logistic混沌映射進行改進，提出一種基于憶阻器神經網絡與改進Logistic混沌映射的圖像加密算法，仿真實驗證明提出的混沌映射的隨機性明顯提高；憶阻器神經網絡的應用，為加密系統的密鑰提供了選擇；并且神經網絡的輸入與明文相關，使得混沌系統的初始值與明文相關，達到了一次一密的Shannon完善保密性標準；雙重置亂算法使得加密結果能夠抵抗統計分析攻擊；雙向擴散算法使得每一個像素的影響擴散到整張圖像，加密算法的安全性提高，能夠抵抗典型的攻擊.