聚焦概率統計知識，應用實際生產生活

陳國林

概率統計問題能夠較好地考查考生的數據分析、數學建模和邏輯推理素養，該類問題能夠較好地融合在實際生產和實際生活之中，充分讓學生感受到數學的應用價值. 下面主要通過實際例題，以概率統計命題的實際出發，綜合分析該類試題的命題素材.

一、以數據統計為載體、落實數據分析素養

【例1】（2021河南鄭州一模）調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯網行業崗位分布條形圖，則下列所有正確結論的編號是（? ? ）

注： 90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

①互聯網行業從業人員中從事技術和運營崗位的人數占總人數的三成以上

②互聯網行業中從事技術崗位的人數超過總人數的20%

③互聯網行業中從事運營崗位的人數90后比80前多

④互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多

A. ①②③? B. ①②④? C. ①③④? D. ②③④

【解析】由參保人數比例圖可知，54周歲以上參保人數最少，30周歲以上的人群約占參保人群的80%，所以選項A，選項D均正確;

由參保險種比例圖可知，丁險種更受參保人青睞，所以選項C正確;

由不同年齡段人均參保費用圖可知，18～29周歲人群人均參保費用最少，但是這類人所占比例為20%，所以總費用不一定最少.

【點評】對于統計圖表（或圖像））問題，多根據實際問題為命題背景，落腳于圖表（或圖像）分析，在求解時要明確圖表（圖像）中各數字的意義及作用，能夠分析數字或圖像的變化趨勢對實際結果的影響.

二、以時事熱點為命題素材，緊扣時代脈搏

【例2】（2021新高考Ⅰ卷）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.? 每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束. A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【解析】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，

則，P（X=0）=1-0.8=0.2

P（X=20）=0.8×（1-0.6）=0.32

P（X=100）=0.8×0.6=0.48，

所以X的分布列為：

（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計得分的期望為：

E（X）=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，

若小明先回答B類問題，記Y為小明的累計得分，

則Y的所有可能取值為0，80，100，

P（Y=0）=1-0.6=0.4，

P（Y=80）=0.6×（1-0.8）=0.12，

P（Y=100）=0.6×0.8=0.48，

則Y的期望為E（Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，

因為E（Y）>E（X），

所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B類問題.

【點評】求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算.

三、以傳統生活游戲為命題素材，推陳出新

【例3】（2021新高考Ⅰ卷）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ? ）

A. 甲與丙相互獨立? ? B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立? ? D. 丙與丁相互獨立

【解析】由題意可知，兩點數和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），兩點數和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），

【點評】以摸球游戲，抽簽游戲，紙牌游戲、套圈游戲等為命題背景的數學素材，是概率模型的常見命題模式，也是較為傳統的命題背景，這類素材最大的特點在于貼近學生的實際生活.

四、以科學探索為命題素材，注重知識融合

【例4】（2021新高考II卷）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代. 該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，p（X=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E（X）≤1時，p=1，當E（X）>1時，p<1;

（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義.

【解析】（1）由題意p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，故E（X）=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

（2）證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3=1，則E（X）=p1+2p2+3p3，

（3）當1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕;

當1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經過多代繁殖后還有繼續繁殖的可能.

【點評】在2019年高考全國I卷中，概率問題與數列問題進行了綜合考查，其中命題素材選取了以兩種新藥的研制為背景，而本題的選材大方向也是以科學探索為命題導向，不同點在于本題融合了函數問題.

五、以工業生產為命題素材，提升生產效率

【例5】（2021年高考全國甲卷）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表：

（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？

【解析】由題意，可得甲機床、乙機床生產總數均為200件，

所以有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異.

【點評】近年來，以實際生產生活的數學問題，命題難度一般不大，命題背景多是以對比分析，其中主要呈現形式有，甲、乙兩工廠，甲、乙兩個機床，甲、乙兩人等.

六、 針對練習

1.（2021安徽蚌埠模擬）北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統的主色包括霞光紅、迎春黃、天霽藍、長城灰、瑞雪白;間色包括天青、梅紅、竹綠、冰藍、吉柿;輔助色包括墨、金、銀. 若各賽事紀念品的色彩設計要求：主色至少一種、至多兩種，間色兩種、輔助色一種，則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍、銀色這三種顏色的概率為（? ? ）

2.（2021天津濱海七校聯考）中國女排，曾經十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神、看過電影“奪冠”后，某大學掀起“學習女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學生的身體素質明顯提高，現隨機抽取800個學生進行體能測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據分成六組[40，50），[50，60）…[90，100]，則成績落在[70，80）上的人數為（? ? ）

A. 12? ?B. 120? ?C. 24? ?D. 240

【答案】D

【解析】由于所有組頻率之和為1，即圖中所有小長方形的面積之和等于1，則成績落在[70，80）上的頻率為：

p=1-10×（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）=0.3，

而一共抽取800個學生進行體能測試，即樣本容量為800，

所以成績落在[70，80）上的人數為：800×0.3=240（人）.

3. 全社會厲行勤儉節約，反對餐飲浪費. 某市為了解居民外出就餐有剩余時是否打包，進行了一項“舌尖上的浪費”的調查，對該市的居民進行簡單隨機抽樣，將獲得的數據按不同年齡段整理如下表：

假設所有居民外出就餐有剩余時是否打包相互獨立.

（1）分別估計該市男性居民外出就餐有剩余時打包的概率，該市女性居民外出就餐有剩余時間打包的概率.

（2）從該市男性居民中隨機抽取1人，女性居民中隨機抽取1人，記這2人中恰有X人外出就餐有剩余時打包，求X的分布列.