重視概念定義研習，突出基本方法訓練

謝廣喜

一、基本考點概述

根據多年來特別是近幾年我們對高考數學試題研究的基本經驗，尤其是在總結了今年六份全國卷試題之后，我們分析了其中的平面解析幾何方面命題的主要考點，希望能為2022屆高三畢業生復習備考有關知識內容提供一個原則性、方向性的指導. 我們將有關主要命題要點具體分析總結如下：

結合上表，我們容易看出，總體來說，平面解析幾何有關試題在高考全國數學卷試題中占分約22-27分左右（滿分150分），占比約15%，難度也不算大，基本上是以1-2道選擇題、1道填空題和1道解答題為主（解答題主要出現在倒數第二道，該位置決定了其難度較大，但第（1）問還是基礎題，以送分為主，第（2）問也是以典型基礎知識、基本技能考查為主，不過解題過程通常比較繁），考點分布主要涉及：點到直線距離公式的應用（這個點可以是平面內給定一點（特別地，如：這個點還可以是圓錐曲線的焦點，圓的圓心等等），也可以是平面上的動點，比如是直線上一動點、圓周上一動點、圓錐曲線上一動點等等，尤其是雙動點距離問題，如果其中一個點在圓上，經常會將該動點先轉化為圓心，變為定點，最后在再轉化回去），當然，提到距離，就不能不提圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線和圓）定義（很多客觀題的解題切入點），圓錐曲線背景的有關參量以及標準方程的確定等等;也可能會和平面向量基本概念、簡單的三角最值問題、一元二次方程根與系數關系、基本不等式等等知識產生橫向的聯系;在數學思想方法上，主要表現為化歸與轉化思想（函數與方程之間的轉化，參數換元，第一定義與第二定義間轉化等等）以及數形結合思想（以形助數），偶爾也會分類討論等等. 考生要特別注意挖掘圖形中蘊含的不變量或幾何對稱性、關系對稱性等，因為它們往往可能是問題迅速解決的關鍵突破點.

因此，對于2022新一屆考生的復習備考，關于平面解析幾何部分，我們的建議是：①全面復習（包括比如今年沒考到的而往年經常涉及的圓錐曲線“三定”問題（定值、直線過定點，動點在定制直線上）），復習第一階段一定要指導再次有計劃地認真閱讀教材，也許可能會有和初學時不一樣的感悟;②重點掌握，特別是我們上面提到的一些典型的問題及其處置辦法，復習過程中要特別重視有關概念、定義研究與再學習（比如一個定義附加的條件有什么作用，如果去掉會怎么樣，典型的情況比如橢圓定義中的要求）;③ 突出基本解題方法的訓練，注重解題工作結束的反思（特別是做錯的時候，搞明白錯因以后才不容易再犯類似的錯誤），在此基礎上落實課標“四基”要求.

二、平面解析幾何典型問題預測例析

預測考點1：以單一選擇題形式，考查圓錐曲線背景下距離量的確定或某種距離函數的最值.

【評注】通過巧妙轉化，變雙動點問題為單動動點（這是很重要的一點）問題. 當然，將距離函數表達為某個變量的二次函數的形式往往是有條件的，比如題中的P點坐標就有一定的特殊性（對于標準圓錐曲線而言，定點通常在坐標軸上），同時，由于動點在給定圓錐曲線上，所以其坐標往往只在一定的范圍內取值，也就是說，這時得到的二次函數往往只在局部區間上有定義. 另外，有時可先表出距離函數的平方的形式（由于d≥0，所以它是距離函數的等價形式），討論及表達起來較方便.

預測考點2：以圓錐曲線的第一、第二定義為背景的選擇題或填空題，能否聯想到有關定義，甚至能否在第一、第二定義之間快速轉化，這往往成為破題的關鍵

【評注】2021年新高考全國Ⅰ卷第5題就是以橢圓第一定義為切入點（配合基本不等式立得最后答案）;第21題之第（1）小題也是雙曲線的第一定義（僅有右支），二者都是以圓錐曲線定義為命題背景的，當然，破題的要害也是從圓錐曲線定義出發的.

【聯想】（2020年高考全國Ⅰ卷理第4題）已知A為拋物線C∶y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點距離為12，到y軸的距離為9，則p=（? ）

A. 2? ? B. 3? ? C. 6? ? D. 9

預測考點3：無論是幾何對稱還是關系對稱，它們二者都是可以幫助我們簡化思維過程記具體解題的書寫過程的重要途徑.

很多讀者對幾何對稱比較熟悉，典型的中心對稱或軸對稱都是我們十分清楚的幾何對稱，所謂關系對稱是指在同一個大命題下，其中的兩個具體條件或結論具有簡單的置換性，這樣我們在求出和其中一部分條件密切相關的結論后，將其中的關鍵變量簡單置換，即可得到和另一個條件密切相關的和前一個結論相當類似的結論，這樣我們就可簡化思維，也簡化了答案的書寫長度.

例3.（2017年高考全國Ⅰ卷理第10題）已知F為拋物線C∶y2=4x的焦點，過F做兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則AB+DE的最小值為（? ?）

【評注】一方面，我們通過挖掘隱含的平面幾何關系，使隱蔽的解題核心關鍵量凸顯，簡化解題過程;另一方面（更主要的），通過巧妙代換，迅速地由P點的坐標得到Q點的坐標. 發現點Q與點P關于原點對稱是非常關鍵的一步！因為這一關系的發現，使得？駐APQ的面積的表示變得異常簡單了，隨后的基本不等式的應用就沒有什么實質性的困難了，當然，注意k的取值范圍以及取等號條件仍是我們最后需關注的細節！

預測考點4：以數學文化為背景的圓錐曲線問題，比如阿波羅尼圓、阿基米德三角形等等.

【評注】聯想到阿波羅尼圓的定義是我們能否快速解決本題的關鍵突破口.

預測考點5： 圓錐曲線背景下的三定問題（定值探求與證明、動直線過定點、動點在定直線上），比如定值探求，通常是先直覺、后邏輯，也即是先用特殊情形探路（為一般情形指明方向），再針對一般情況推理論證.

例6.（2011年高考四川卷理第21題）橢圓上有兩點A（-1，0），B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q，

【評注】本題的第（2）問參考答案解法采用平方法，雖然此法實現了表達式的對稱性（關于x1，x2）轉化，但此法涉及開方后符號的判定，過程比較繁瑣，以上解法則充分利用橢圓方程進行恒等變換，不用平方就實現表達式的對稱性轉化，從而僅涉及x的一次表達式，自然，由開方導致的符號判斷問題也自動消失了，所以，如此一來，處理過程比原解法簡化了許多.

下面再舉一例證明 動直線過定點的問題.

【評注】上面的解法也許不是最尖簡單的，但卻是最容易想到的思路，一個問題的解決往往是從最容易想到的辦法試探，得到結果后再想著如何簡化、如何有更簡單便捷的思路？留給讀者思考，這里就不多說了.

【同步練習】

【同步練習參考答案與評注】