拋物線兩點弦方程在高考中的應(yīng)用

吳志峰

直線與拋物線的綜合問題是高考中的常見題型，在選擇題、填空題、解答題中都是命題的熱點. 它的一般解法是聯(lián)立直線與拋物線的方程，借助于一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進行求解. 對于過拋物線上兩點的直線方程問題，如果能夠借助拋物線的方程特點，借助拋物線的兩點弦的方程進行求解，往往能夠達到事半功倍的效果，大大減少運算量，下面通過對2021年高考中的一個道拋物線綜合試題，來談?wù)剴佄锞€的兩點弦的方程在解題中的應(yīng)用.

一、試題呈現(xiàn)

【2021年高考全國數(shù)學(xué)甲卷理數(shù)21題】拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l ∶ x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ. 已知點M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）設(shè)A1， A2，A3是C上的三個點，直線A1 A2，A1 A3均與⊙M相切. 判斷直線A2 A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.

二、試題分析

本題問題設(shè)計的梯度明顯，第（1）求拋物線方程和圓的方程，屬基礎(chǔ)題;第（2）問探究直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)問方式具有開放性，難度較大，考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，考查考生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，突出試題的選拔功能. 考查的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有直觀想象，數(shù)學(xué)運算，邏輯推理. 在解題方法上，第（2）問幾何元素較多，有三條直線、一個圓、一條拋線，變量也比較多，如果設(shè)常規(guī)的直線方程進行計算，解析化后的變量轉(zhuǎn)化難度大，運算量大;如果設(shè)拋物線的兩點弦的方程則可以很好地化解運算難點. 該題的命題背景為彭賽列閉合定理，根據(jù)彭賽列閉合定理，如果圓錐曲線存在一個內(nèi)接三角形使得某個給定圓為其內(nèi)切圓，則該圓錐曲線上存在無數(shù)個內(nèi)接三角形均以這個圓為內(nèi)切圓. 根據(jù)此定理，該題的結(jié)論可以在其它圓錐曲線上進行推廣和改編.

三、試題解析

（1）拋物線C的方程為y2=x，⊙M的方程為（x-2）2 +y2=1;

解法一：常規(guī)解法

（2）依題意可設(shè)A1（a2， a） ，且A1 A2，A1 A3，A2 A3均不平行于x軸.

設(shè)過點A1且與⊙M相切的直線方程為x=m（y-a）+a2，

則圓心M到直線的距離為d0=1，

整理得：（a2-1）m2-2a（a2-2）m+a4-4a2+3=0……①

依題意得直線A1 A2，A1 A3對應(yīng)的m存在，設(shè)為m1，m2，

則m1+m2=，m1m2=，

將A1 A2：x=m1（y-a）+a2代入拋物線C的方程化簡得：y2-m1y+m1a-a2=0，

由a+y1=m1，得y1=m1-a，所以A2（（m1-a）2，m1-a），同理A3（（m2-a）2，m2-a），

所以直線A2 A3的斜率k=，

所以直線A2 A3的方程：y-（m1-a）=[x-（m1-a）2].

圓心M到A2 A3的距離：d=.

結(jié)合①式得d=1=r，所以直線A2 A3與⊙M相切.

【評注】把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，并利用代數(shù)方法解決問題是平面解析幾何的核心方法，代數(shù)化的過程和變量的選擇對代數(shù)運算的難度影響較大. 此解法通過設(shè)點A1 的坐標及直線A1 A2，A1 A3的方程，通過聯(lián)立方程組的方法求得A2，A3的坐標，從而得到直線A2? A3的方程，并判斷與⊙M的位置關(guān)系，解題思路自然，但是運算量偏大. 因為直線A1 A2，A1 A3均不平行于x軸，過點A1 的直線方程設(shè)為x-x0=m（y-y0），可以避免對直線斜率是否存在的討論，也是一種常用技巧.

解法二：利用拋物線的兩點弦的方程

首先來推導(dǎo)一下拋物線的兩點弦的方程

設(shè)拋物線y2=2px上的兩點M（x1，y1），N（x2，y2），其中x1=■，x2=■，

則當直線MN的方程為： （y-y1）■-■=（y2-y1）x-■，

即（y-y1）（y2+y1）（y2-y1）=2p（y2-y1）x-■，

即（y-y1）（y2+y1）=2px-■，

即（y1+y2）y-y1y2=2px.

當拋物線方程為x2=2py時，過拋物線線上兩點M（x1，y1），N（x2，y2）的直線方程為（x1+x2）x-x1x2=2py.

上述兩個方程為拋物線的兩點弦的方程，這兩個方程結(jié)構(gòu)簡單，只與拋物線上點的縱（橫）坐標有關(guān)，在涉及拋物線兩點弦的問題中可以起到減少變量，減少運算量，提升解題速度的作用，考場應(yīng)用這兩個公式時需要有簡單的推導(dǎo)過程，下面用拋物線的兩點弦的方程解上述高考題.

【解析】依題意可設(shè)A1（x0，y0），A2（x1，y1），A3（x2，y2）.

則直線A1 A2的方程為（y0+y1）y-y0y1=x，由相切知d0=1，

化簡得（y02-1）y12+2y0y1+3-y02=0，同理得（y02-1）y22+2y0y2+3-y02=0，

所以y1，y2為方程（y02-1）y2+2y0y+3-y02=0的兩個根.

所以y1+y2=，y1y2=，

直線A2 A3的方程為（y1+y2）y-y1y2=x，

圓心M到A2 A3的距離：d=1=r，

所以直線A2 A3與⊙M相切.

【評注】上述解法借助拋物線的兩點弦的方程，把己知條件中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成三個點的縱坐標的關(guān)系，大大減少了的運算量，體現(xiàn)了拋物線的兩點弦的方程在解題中的優(yōu)越性，大大提高了解題的正確率.

四、變式訓(xùn)練

變式訓(xùn)練1.【2020年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)第7題】已知拋物線y2=2px上三點A（2，2），B，C，直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為（? ?）

A. x+2y+1=0 ? ? ?B. 3x+6y+4=0

C. 2x+6y+3=0 ? ? ?D. x+3y+2=0

【解析】依題意得拋物線方程為y2=2x，設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2）.

則直線AB的方程為（2+y1）y-2y1=2x，由相切知d0=1，

化簡得3y12+12y1+8=0，即3x1+6y1+4=0，同理得3x2+6y2+4=0，

所以BC的方程3x+6y+4=0，故選B.

【評注】2020年八省聯(lián)考的這一道選擇題和2021年全國甲卷的這一道高考題為同源試題，這兩道題不僅在試題的呈現(xiàn)，考查內(nèi)容，解題方法上都比較類似，應(yīng)用拋物線的兩點弦的方程可以快速求得答案.

變式訓(xùn)練2. 在平面直角坐標系xOy中，動圓P過點F（1，0），且與直線l ∶ x=-1相切，設(shè)圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）己知點A（3，2），B（7，10），直線PA與曲線C交于P，M兩點，直線PB與曲線C交于P，N兩點，直線MN是否過定點？若是，求出該定點的坐標，若不是，說明理由.

【解析】（1）曲線C的方程：y2=4x

（2）設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

則直線PM的方程為（y0+y1）y-y0y1=4x，代入點A（3，2）得2（y0+y1）-y0y1=12①，

則直線PN的方程為（y0+y2）y-y0y2=4x，代入點B（7，10）得10（y0+y2）-y0y2=28②，

化簡得（y1+y2）-y1y2=-8③，

直線MN的方程為（y1+y2）y-y1y2=4x，

結(jié)合③式得直線MN經(jīng)過定點（-2，1）.

【評注】本題是圓錐曲線中的定點定值問題，考查的知識點有求軌跡方程，直線與拋物線綜合問題，考查的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)與方程的思想.題目有三條拋物線的弦，利用常規(guī)方程求解困難較大，借助拋物線的兩點弦的方程可以化繁為簡，快速求解.

五、總結(jié)

數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)是解析幾何試題的一項重要的考查內(nèi)容，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)包括理解運算對象，探究運算方向，選擇運算的方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等. 解析幾何試題的解題過程一般可分為以下幾步：一是靈活引入變量，把問題代數(shù)化;二是設(shè)計運算流程;三是選擇最優(yōu)路徑并進行求解. 近幾年高考全國卷解析幾何試題的解題思路一般比較容易獲取，但是代數(shù)運算過程一般比較復(fù)雜，而且不同的變量引入往往對運算難度有較大的差異，所以如何正確引入變量，對解題有很大的幫助. 拋物線的兩點弦的方程是拋物線的弦特有的一種直線方程的形態(tài)，在求拋物線的弦的斜率問題、直線方程、定點定值問題中有著廣泛的應(yīng)用，熟練掌握拋物線的兩點弦的方程在解題中的應(yīng)用方法，對解決與拋物線的弦有關(guān)的問題有著很大的幫助.