一種對中定位機構的設計及其優化分析

傘紅軍，李鵬宇，陳久朋，胡瓊瓊，李 奇，張凱翔，王 晨

(昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650500)

隨著我國機械加工制造業的持續發展，機械設備和生產線應用也越來越廣泛。但是顯示器的生產裝配仍然沒有完整的自動化裝配生產線，目前仍依靠人工完成裝配。為了滿足市場需要，需要改進傳統的生產裝配以實現自動化生產裝配。顯示器定位夾具貫穿整個裝配過程，裝配生產線上定位夾具的設計應用對于顯示器自動化裝配生產起到重要作用。

在目前定位機構的研究和分析中，文獻[1]對自定心中心架的剛性復位機構進行詳細推導，利用虛擬樣機技術和仿真分析方法對推導過程進行驗證。文獻[2]對定位兩個位置并實現鎖緊位置的快速解鎖和鎖定機械鎖緊裝置中的凸輪機構進行分析，以及運動學和動力學仿真，針對直線型輪廓存在的問題，采用五次多項式曲線對凸輪輪廓進行優化設計。文獻[3]通過分析秸稈壓縮過程中的運動狀態及慣性力，采用振動測試分析及慣性力平衡法設計了曲柄滑塊秸稈壓縮機構的自平衡結構及模型。文獻[4]采用有限元方法對彈性定心元件進行優化設計，得到了相關的影響因素和變形的關系,并證明了進行彈性定心元件優化設計的必要性[4]。文獻[5]提出并設計了一種載人機器人行走機構，對機器人大腿結構的運動曲線進行3次求導得到加加速度，并通過對加加速度的絕對值分析，確定最優高度。

對中定位夾具作為機械生產加工過程中的輔助定位夾具，對零部件定位加工精度具有重要意義。本文設計了一種曲柄滑塊式的自動對中定位機構。將其用于具有對稱結構的零部件的夾緊定位，可以實現對零部件中心位置的定位功能。針對設計目標，本文建立相應的數學模型，并應用MATLAB進行優化求解，得到了最優的設計目標[6-8]。然后通過ANSYS Workbench對關鍵零件優化分析[9]，得到了最優結果，使對中定位機構達到了設定的定位精度。 本文的研究方法適用于機械結構的設計和優化分析，具有一定的實踐意義。

1 定位夾具的方案設計

本文針對顯示器生產裝配線上顯示器的對中定位設計了對中定位夾具，結構原理如圖1所示。兩組對稱曲柄滑塊機構的聯合運動驅動夾緊塊做對稱運動，并向中心靠攏。通過自動調節，可實現對顯示器的對中定位。該機構適用于自動化裝配線上零部件的對中定位，對實現生產線自動化具有參考價值。

圖1 對中定位夾具機構原理圖Figure 1. An institutional schematic for positioning the fixture

2 尺寸參數的優化設計

為了使圖1中的機構具有更廣的適用性和通用性，使其可針對不同尺寸的零部件實現對中定心定位，作為夾持部件的兩滑塊間的距離應具有一定的可調整范圍，以使其能夠對不同尺寸零部件實現定位。

曲柄滑塊機構中兩滑塊間的距離變化范圍與曲柄和連桿的長度有關，兩滑塊間的距離變化范圍會隨機構尺寸的變化而改變。本文以曲柄滑塊機構中兩滑塊間的距離變化范圍作為優化設計目標，進行優化分析。

2.1 確定設計變量

如圖2所示，連桿AC對曲柄的力沿著AC方向為F；沿著AC方向，力F與曲柄在C點的運動方向間的夾角α為機構在此位置的壓力角。連桿AC與曲柄BC間所夾的銳角γ為機構在此位置的傳動角。α與γ互為余角，傳動角γ的大小會影響機構運動過程中力傳遞性能。

圖2 曲柄連桿機構的數學模型Figure 2. Mathematical model of crank linkage mechanism

設AC的長度為a，BC的長度為b，AB的長度為L，從以上變量隨著滑塊的運動而變化。此外，AB的長度大小與a、b的長度也有關系。故該模型的設計變量為X=[a,b]T=[x1,x2]T。

2.2 確定目標函數

設計變量確定后，可根據設計變量的設定來確定該機構滑塊的行程s。在滿足最小傳動角的要求下，確定滑塊的最大行程s。當機構處于最小傳動角的位置時，滑塊分別處于兩個位置，如圖2和圖3所示。

圖3 曲柄連桿機構的結構簡圖Figure 3. A brief diagram of the structure of the crank linkage mechanism

由圖2根據三角函數關系式，可得位于該位置時AB間的距離為

(1)

由圖3，同理可得AB間的距離為

(2)

滑塊的最大行程為

(3)

將滑塊的最大行程作為設計目標，則目標函數為

(4)

2.3 約束條件

(1)傳動角約束條件。機構在運動的過程中，傳動角γ的大小是在變化的。為了保證機構良好的力傳遞性能，應保證傳動角γmin≥40° ～50°；

(2)機構邊界尺寸約束條件。曲柄滑塊機構的尺寸受工作空間的限制，曲柄和連桿的尺寸有一定的邊界限制。根據機構的實際工作空間，設定邊界約束條件

(5)

故該機構優化設計的數學模型是

(6)

2.4 約束優化方法

本文中涉及的曲柄滑塊機構優化設計屬于約束優化設計的問題[10-13]。根據求解方式的不同，約束優化方法可分為直接解法和間接解法。直接解法的原理簡單，方法實用。間接解法是目前在機械優化設計中得到廣泛應用的有效方法。隨著無約束優化方法的研究日趨成熟，已經研發出了一系列無約束優化方法和程序[14-15]，使得間接解法有了可靠的基礎，其計算效率和數值計算的穩定性得到了提高，故本文采用間接解法。

懲罰函數法是約束優化方法間接解法的一種，其基本思想是將約束優化問題中的約束函數加權處理后，與原目標函數合成新目標函數來求解新目標函數的無約束優化的極小值，從而間接求得原問題的最優解。

懲罰迭代步驟如下：

步驟1給定初始迭代點X(0)、初始懲罰因子M(0)、收斂精度ε以及懲罰因子系數c；

步驟2構造懲罰函數

(7)

步驟3求解無約束優化問題minφ(X,M(k))，得到極值點X*(M(k))；

步驟4判別收斂條件，若滿足

‖X*(M(k))-X(M(k-1))‖≤ε

(8)

或

(9)

則停止迭代，輸出結果；否則轉下步；

步驟5令M(k+1)=cM(k)，X(0)=X*(M(k))，k=k+1，轉步驟2。

懲罰函數法求解程序流程圖如4所示。

圖4 懲罰函數法求解程序流程圖Figure 4. Penalty function method solver flowchart

2.5 應用MATLAB優化工具箱求解分析

利用MATLAB的優化工具箱可以求解線性規劃、非線性規劃和多目標規劃等問題，為優化方法在工程中的應用提供方便快捷的途徑。約束問題也可以通過MATLAB的優化工具箱來求解，具體如下：

對曲柄滑塊機構的最小傳動角γmin設置不同的值，建立目標函數，設置代碼：

Function f = ex1_1(x)

f=(x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)*x(2)*0.5)^0.5-(x(1)^2+x(2)^2+2*x(1)*x(2)*0.5)^0.5;

確定約束條件，調用優化工具箱，在MATLAB命令執行窗口輸入下面代碼：

x0=[200;200];

A=[-1,0;1,0;0,1;1,-1];

b=[-100;300;500;0];

[x,fval]=fmincon(@ex1_1,x0,A,b)

將運行結果整理得到最優解對應的最大行程Smax，如表1所示。

表1 MATLAB求解約束優化問題的結果Table 1. Results of MATLAB solution constraint optimization problems /mm

由表1可知：選取不同的最小傳動角時求得的最優解均為X*=[300，500]T，且滑塊最大行程隨著最小傳動角的增大而減小。

2.6 約束優化問題的極值判定

設gi(X)≤0為點X*的n個起作用的約束，且X*是極值點，則

(10)

此式為不等式約束優化問題的極值條件，稱Kuhn-Tucker條件，簡稱K-T條件。當目標函數f(X)和約束函數g(X)≤0均為凸函數時，K-T條件為極值存在的充分必要條件。

在點X*=[300，500]T處起作用的約束有g2(X)和g3(X)，求f(X)、g2(X)和g3(X)在X*處的梯度

當上式成立時，λ2，λ4≥0，滿足K-T條件。另外，f(X)和gi(X)均為凸函數，故f(X)在gi(X)條件下的極小值點X*=[300，500]T是唯一的。

3 SolidWorks建立三維模型

用SolidWorks軟件建立對中定心機構的結構模型，如圖5所示?？梢詫崿F對零部件對中定位功能，其中關鍵的機構如圖6所示。

圖5 對中定心機構的結構模型Figure 5. Structural model of the center-centered mechanism

圖6為對稱曲柄連桿的結構模型，含有兩個關于中心4對稱的滑塊1；連桿2與滑塊通過鉸鏈A、E配合連接；桿3為曲柄，與連桿通過鉸鏈B、D配合連接；5為導軌，與滑塊配合連接，滑塊可在導軌上做直線運動。

該機構對零部件對中定位時，是通過兩滑塊的協同運動對零部件夾緊定位。如圖6所示，左側的滑塊為該機構的主動件，在導軌上做直線運動?；瑝K的直線運動通過左側連桿傳遞到曲柄，轉換為曲柄的轉動運動。曲柄轉動運動同時可通過右側的連桿傳遞至右側的滑塊上，使右側的滑塊做直線運動。

圖6 對稱曲柄連桿機構的結構模型Figure 6. Structural model of the symmetrical crank linkage mechanism

兩組滑塊和連桿共用一個曲柄，構成了兩組曲柄滑塊機構。這兩組曲柄滑塊機構同步運動，當其中的一個滑塊為主動件時，另一個滑塊作為從動件，兩個滑塊做關于中心對稱的相對運動，可使兩滑塊間所夾持的零部件關于中心左右對稱，從而實現對零部件對中定位。

4 基于ANSYS Workbench的結構優化設計

對稱曲柄連桿機構固定連接于安裝板件上，由于安裝板件的變形量會直接影響對中定位機構的定位精度，故運用ANSYS Workbench 15.0對其進行受力變形分析從而得到最優設計方案。

4.1 模型導入

將安裝板件的模型導入ANSYS Workbench 15.0中，進入材料設置界面，設置材料為Gray Cast Iron(灰鑄鐵)，泊松比為0.28，體積彈性模量為8.333 3×1010，剪切彈性模量為4.296 9×1010。

采用Hex Dominant Method(六面體主導方法)對安裝板件的模型進行網格劃分，得到157 304個節點和33 764個單元，如圖7所示。

圖7 安裝板件的網格劃分結果Figure 7. Grid division results for mounting plates

4.2 應力應變分析

根據實際的受力情況，對安裝板件添加約束和固定面，并進行分析求解，得到靜力分析的變形圖和應力圖，如圖8所示。作為對中定位機構的安裝板件，曲柄滑塊機構對零部件的定位精度直接受安裝板件的變形量影響。為保證定位精度，設定安裝板件的變形量小于0.5 mm。結合圖8可知，安裝板件的變形量為3.1 mm已經超出設定值，故需要對其進行優化改進。

(a)

(b)

(c)圖8 模型的靜力學分析圖(a) 添加受力約束情況 (b) 安裝板件變形量分布圖 (c) 安裝板件應力分布圖Figure 8. Static analysis of models(a) Addition of force constraints (b) Total deformation distribution of mounting plates (c) Installation plate stress distribution map

4.3 安裝板件的優化設計

將安裝板件的外部尺寸作為設計變量，分析外部尺寸對板件變形量的影響，以此來求解最優的設計變量，使安裝板件的變形量達到最小，以滿足對中定位機構的精度要求。

安裝板件的外部尺寸如圖9所示，長(x)為1 080 mm；寬(y)為380 mm，板厚(z)為10 mm。根據實際情況，確定各尺寸的取值范圍如下：1 050≤x≤1 200，342≤y≤418，7≤z≤13。

圖9 安裝板件外部尺寸圖Figure 9. External dimensions of mounting plates

利用ANSYS Workbench提供的Design Exploration應用對安裝板件優化求解，可以進行參數在一定范圍內變化時結構的響應情況分析。將x、y、z設置為輸入參數，并將各自參數的上下限輸入；將模型的變形量設置為輸出參數，得到15個實驗點和對應的變形量的值，如表2所示。

表2 優化設計點及響應值Table 2. Optimize design points and response values /mm

由表2可以看出各參數對變形量的影響，為了便于更加直觀地觀察各參數對變型量影響的大小，本文得出了各參數對優化目標的敏感度，如圖10所示。

(a)

(b)圖10 各參數對優化目標的敏感度

敏感度表示為設計變量對優化目標影響程度。模型的長、寬和板厚均會對應力和變型量產生影響，其中板厚對變型量的影響程度最大。在尺寸約束范圍內，模型的板厚尺寸越大，變型量越??；模型的長度尺寸越大，變型量越大；模型的寬度尺寸越大，變形量越小。

在載荷、應力和參數滿足設定要求的情況下，將變形量作為優化目標，通過目標驅動優化得到兩組優化結果，如表3所示。

表3 符合要求的點Table 3. Points that meet the requirements

根據實際情況要求安裝板件的變形量不得超過0.5 mm。將參數作為設計變量時，將參數在約束條件下調整，可以得到最小為1.238 mm的變形量。雖然該結果比靜力學分析得到的變形量減小了一倍以上，但仍不能滿足要求，故該模型結構達不到設計要求。因此，需要對模型做改進設計，即在安裝板件上焊接兩個加強筋板，如圖11所示。

圖11 安裝板件更改結構后的模型Figure 11. Model after the plate has changed its structure

對圖11所示的模型進行靜力學分析，得到該模型的變形量為0.41 mm，小于變形量的目標要求。按上述的ANSYS Workbench提供的Design Exploration應用對安裝板件繼續進行優化求解，在載荷、應力和參數滿足設定要求的情況下，將變形量作為優化目標。通過目標驅動優化得到兩組優化結果，如表4所示。

表4 改進模型結構后符合要求的點Table 4. Points that meet the requirements after improving the model structure /mm

由表4可知變形量為0.38 mm，達到了對中定位機構的設計精度要求。

5 結束語

通過對對中定位機構的SolidWorks建模和原理分析，建立其相應的數學模型；通過懲罰函數法對其進行優化設計；最后應用MATLAB對約束優化問題進行求解，得到相應的最優解。結果表明：(1)曲柄滑塊機構中滑塊的最大行程受最小傳動角的影響，最小傳動角取值越大，機構的傳力性能越好，滑塊的最大行程越??；(2)曲柄滑塊機構中滑塊的最大行程與曲柄和連桿的長度也有關。在滿足傳動角約束條件和機構邊界尺寸約束條件的情況下，曲柄和連桿的尺寸越大，滑塊的最大行程越大。

滑塊的最大行程決定了自動對中定心機構可適用的零部件尺寸大小的變化范圍。滑塊的最大行程越大，可用于自動對中定心的零部件的尺寸變化范圍就越大，這對于該機構的通用性有著重要意義。本研究最終選擇曲柄的長度為300 mm，連桿的長度為500 mm，此條件下，滑塊的最大行程達到最大，可定心的零部件的尺寸變化范圍也最大，機構通用性達到最佳。通過ANSYS Workbench對關鍵零件優化分析，得到了最優結果，使對中定位機構達到了設定的定位精度。