基本廣義隨機(jī)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法

馬生昀，馬占新，張 軍，喬劍敏

（1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018；2.內(nèi)蒙古大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021）

0 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是一種用于績(jī)效評(píng)價(jià)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)工具［1～4］。依據(jù)評(píng)價(jià)參考系的不同將DEA方法可以分為傳統(tǒng)DEA方法［1～3］、超效率DEA方法［5］和廣義DEA方法［6］。評(píng)價(jià)某個(gè)決策單元的相對(duì)效率時(shí)，傳統(tǒng)DEA方法的參考系為決策單元集，超效率DEA方法的參考系為決策單元集中剔除被評(píng)價(jià)決策單元，廣義DEA方法的參考系為任意給出的參考系（稱(chēng)為樣本單元集）。同時(shí)，超效率DEA方法評(píng)價(jià)不同決策單元的參考系不同，廣義DEA方法評(píng)價(jià)不同決策單元的參考系相同。傳統(tǒng)DEA方法相當(dāng)于決策單元集作為樣本單元的廣義DEA方法。

C2R模型［1］和BC2模型［7］是最基本的傳統(tǒng)DEA模型，基于C2R模型和BC2模型的廣義DEA模型是最基本的廣義DEA模型［8，9］。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，傳統(tǒng)和廣義DEA方法的理論和應(yīng)用研究都取得了豐碩的成果［10，11］。其中帶有隨機(jī)因素的傳統(tǒng)DEA方法也有了一定的研究［12～16］，文［17］初步研究了樣本單元為隨機(jī)變量，決策單元確定的基于C2R和BC2模型的基本廣義隨機(jī)DEA方法。

本文繼續(xù)討論決策單元和樣本單元均為隨機(jī)變量的基本廣義DEA方法。在第1節(jié)和第2節(jié)中，分別基于期望值模型和機(jī)會(huì)約束規(guī)劃把含有隨機(jī)樣本單元和隨機(jī)決策單元的廣義DEA有效性評(píng)價(jià)模型轉(zhuǎn)化成確定性模型進(jìn)行求解。一般情況下，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法可能無(wú)法得到隨機(jī)樣本單元和隨機(jī)決策單元的輸入輸出指標(biāo)服從的具體分布；或者即使得到了每個(gè)輸入輸出指標(biāo)的具體分布，但是評(píng)價(jià)模型中相應(yīng)指標(biāo)加權(quán)和服從的分布無(wú)法獲得。相對(duì)來(lái)說(shuō)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法容易獲得各輸入輸出指標(biāo)數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，所以在實(shí)際問(wèn)題中基于期望值模型對(duì)隨機(jī)決策單元相對(duì)于隨機(jī)樣本單元進(jìn)行廣義DEA有效性評(píng)價(jià)更容易實(shí)現(xiàn)。如果能夠得到每個(gè)輸入輸出指標(biāo)的具體分布并計(jì)算獲得相應(yīng)指標(biāo)加權(quán)和服從的分布，那么可以利用機(jī)會(huì)約束規(guī)劃對(duì)決策單元進(jìn)行廣義隨機(jī)DEA有效性評(píng)價(jià)，能夠體現(xiàn)隨機(jī)變量取值的波動(dòng)情況（方差）對(duì)有效性的影響。一般情況下，加權(quán)和分布不易獲得，本文對(duì)此只做了初步討論，考慮了樣本單元和決策單元的輸入指標(biāo)間相互獨(dú)立，輸出指標(biāo)間相互獨(dú)立并且服從正態(tài)分布的特例。由于輸入輸出指標(biāo)是隨機(jī)的，在可以求得加權(quán)和分布的前提下基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的評(píng)價(jià)方法更加全面。基于兩種不同的方法進(jìn)行確定性轉(zhuǎn)化，主要區(qū)別在于能否體現(xiàn)方差的影響，進(jìn)而分別獲得的評(píng)價(jià)結(jié)果可能存在差異。

1 基于期望值模型的基本廣義隨機(jī)DEA方法

假設(shè)有n個(gè)決策單元（Decision Making Unit，DMU）和個(gè)樣本單元（Sample Unit，SU）。DMUP和SUj的輸入輸出向量分別為

各分量均為隨機(jī)變量。數(shù)學(xué)期望分別為

稱(chēng)TDMU＝｛（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）｝為決策單元集。

記T（1）＝T，ET（1）＝ET，稱(chēng)T為樣本生產(chǎn)可能集，ET為期望樣本生產(chǎn)可能集。

相對(duì)于ET（d）評(píng)價(jià)決策單元（xp，yp）的基于期望值模型的基本廣義隨機(jī)DEA模型（M1″）如下。

其中δ＝0或1，d稱(chēng)為移動(dòng)因子，d＞0。

定義1如果不存在（x，y）∈ET（d），使得E（xp）≧x，E（yp）≦y，并且E（xp）≠x或E（yp）≠y，則稱(chēng)決策單元（xp，yp）相對(duì)于期望樣本前沿面的d移動(dòng)有效或廣義期望DEAd有效，簡(jiǎn)稱(chēng)GEDEAd有效。反之，稱(chēng)決策單元（xp，yp）為GEDEAd無(wú)效。

當(dāng)d＝1時(shí)，GEDEA1有效可以記為GEDEA有效，即（xp，yp）相對(duì)于期望樣本前沿面有效。

其中δ＝0或1，d稱(chēng)為移動(dòng)因子，d＞0。

定義2若模型的任意最優(yōu)解j＝0，1，2，…都有θ0＝1，并且則稱(chēng)決策單元（xp，yp）為GEDEAd有效。反之，稱(chēng)決策單元（xp，yp）為GEDEAd無(wú)效。

由文獻(xiàn)［17］中的引理2.3和引理2.4類(lèi)似可得定理1和定理2。

定理1決策單元（xp，yp）為GEDEAd有效當(dāng)且僅當(dāng)（E（xp），E（yp））?ET（d）或（E（xp），E（yp））為多目標(biāo)規(guī)劃（ESVP）的Pareto有效解。

定理2決策單元（xp，yp）為GEDEAd有效當(dāng)（E（xp），E（yp））且僅當(dāng)為多目標(biāo)規(guī)劃（EVP）的Pareto有效解。

步1給定步長(zhǎng)d+＞0。令k＝1。

步2應(yīng)用（）計(jì)算DMUa和DMUb的有效性。若DMUa和DMUb中一個(gè)為如下。

步3若DMUa和DMUb均為有效，執(zhí)行步4；若二者均為無(wú)效，執(zhí)行步5。

步4令k＝k+1，執(zhí)行步2。

步5給定步長(zhǎng)d+＝d+-d0＞0，其中d0＞0，執(zhí)行步2。

步6若DMUa為有效，DMUb為無(wú)效，則DMUa?DMUb；反之，DMUb?DMUa。停止。

2 基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的基本廣義隨機(jī)DEA方法

利用機(jī)會(huì)約束規(guī)劃進(jìn)行評(píng)價(jià)可以體現(xiàn)方差（離散程度）對(duì)于DEA有效性的影響。假設(shè)模型中含隨機(jī)因素的約束條件滿(mǎn)足置信水平1-α，評(píng)價(jià)決策單元（xp，yp）的基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的基本廣義隨機(jī)DEA模型（）如下。

其中δ＝0或1，d稱(chēng)為移動(dòng)因子，d＞0，0≦α≦1。

定理3若θ*為模型的最優(yōu)值，則θ*＝minθ≦1。

證明顯然是模型的可行解，所以minθ≦θ0＝1。

令Xi（α），Yk（α）分別表示Xi，Yk的上α分位點(diǎn)，即P｛Xi≧Xi（α）｝＝α，P｛Yk≧Yk（α）｝＝α，i＝1，2，…，m，k＝1，2，…，s。

定義3如果模型的任意最優(yōu)解＝0，1，2，…，都有i＝1，2，…，m，k＝1，2，…，s，則稱(chēng)決策單元（xp，yp）相對(duì)于機(jī)會(huì)約束樣本前沿面的d移動(dòng)為1-α有效或廣義機(jī)會(huì)約束DEAd有效，記作1-αGCDEAd有效。否則，稱(chēng)決策單元（xp，yp）為1-αGCDEAd無(wú)效。

考慮一種特殊情形，假設(shè)兩種單元的輸入之間獨(dú)立，兩種單元的輸出之間獨(dú)立，并且所有輸入輸出指標(biāo)均服從正態(tài)分布。假設(shè)，其中i＝1，2，…，m，k＝1，2，…，s，p＝1，2，…，n，j＝1，2，…

對(duì)任意i＝1，2，…，m，因?yàn)閤ip（θ-λ0）-，所以1-α等價(jià)于

當(dāng)兩種單元的輸入之間獨(dú)立，兩種單元的輸出之間獨(dú)立，并且所有輸入輸出指標(biāo)均服從正態(tài)分布，模型等價(jià)于模型

當(dāng)兩種單元的輸入之間獨(dú)立，兩種單元的輸出之間獨(dú)立，并且所有輸入輸出指標(biāo)均服從正態(tài)分布時(shí)，與評(píng)價(jià)決策單元廣義期望DEA有效性類(lèi)似，可以通過(guò)（M5″）利用調(diào)整移動(dòng)因子d，相對(duì)于樣本單元對(duì)各決策單元的廣義機(jī)會(huì)約束DEA有效性進(jìn)行排序。

3 算例

假設(shè)有5個(gè)樣本單元和4個(gè)決策單元，均為雙輸入雙輸出，兩種單元的輸入之間獨(dú)立，兩種單元的輸出之間獨(dú)立，具體指標(biāo)數(shù)據(jù)在表1和表2中給出。

表1 樣本單元輸入輸出指標(biāo)的分布

表2 決策單元輸入輸出指標(biāo)的分布

表3 GEDEA有效性與GCDEA有效性

由表3可知，DMU2為GEDEA1無(wú)效，DMU1，DMU3，DMU4均為GEDE A1有效。GEDEA1有效決策單元可以依據(jù)期望樣本前沿面的d移動(dòng)進(jìn)一步區(qū)分。令步長(zhǎng)d+＝0.1。當(dāng)d′＝1.1時(shí)，DMU1和DMU3均為GEDEA1.1有效，DMU4為GEDEA1.1無(wú)效。當(dāng)＝1.2時(shí)，DMU1和DMU3均為GEDEA1.2有效。當(dāng)＝1.3時(shí)，DMU1為GEDEA1.3有效，DMU3為GEDEA1.3無(wú)效。綜上，4個(gè)決策單元的GEDEA有效性排序?yàn)镈MU1?DMU3?DMU4?DMU2。

從表3同樣可知，DMU1和DMU3為0.95GCD EA1有效，DMU2與DMU4為0.95GCDEA1無(wú)效。基于機(jī)會(huì)約束樣本前沿面的d移動(dòng)可以對(duì)決策單元的有效性進(jìn)一步區(qū)分。令步長(zhǎng)d+＝0.1。對(duì)0.95GCDEA1有效決策單元，當(dāng)d′＝1.1時(shí)，DMU1為0.95GCDEA1.1無(wú)效，DMU3為0.95GCDEA1.1有效。所以二者的有效性排序?yàn)镈MU3?DMU1。對(duì)0.95GCDEA1無(wú)效決策單元，當(dāng)d1＝1-d+＝0.9時(shí)，DMU4為0.95GCDEA0.9有效，DMU2為0.95 GCDEA0.9無(wú)效，所以二者的有效性排序?yàn)镈MU4?DMU2。綜上，4個(gè)決策單元的GCDEA有效性排序?yàn)镈MU3?DMU1?DMU4?DMU2。

通過(guò)算例看到，基于期望值模型和機(jī)會(huì)約束規(guī)劃對(duì)廣義隨機(jī)DEA有效性進(jìn)行確定性轉(zhuǎn)化得到的評(píng)價(jià)結(jié)果可能不盡相同。對(duì)單個(gè)決策單元進(jìn)行評(píng)價(jià)，比如DMU4為GEDEA1有效，但非0.95GCDEA1有效。從4個(gè)決策單元利用移動(dòng)因子排序看，DMU1和DMU3的兩種廣義隨機(jī)DEA有效性排序結(jié)果不同。這說(shuō)明樣本單元和決策單元的輸入輸出指標(biāo)的隨機(jī)性會(huì)對(duì)決策單元的有效性產(chǎn)生影響，基于期望值模型不能體現(xiàn)方差的影響，基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃可以體現(xiàn)方差的影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文初步討論了兩種單元均隨機(jī)的基本廣義DEA方法，給出了基于期望值和機(jī)會(huì)約束評(píng)價(jià)的基本廣義隨機(jī)DEA模型，GEDEA有效和GCDEA有效的概念，GEDEA有效與相應(yīng)對(duì)目標(biāo)規(guī)劃Pareto有效的關(guān)系以及利用期望樣本前沿面和機(jī)會(huì)約束樣本前沿面d移動(dòng)的決策單元有效性排序方法。