經(jīng)歷估測 建立猜想 轉化驗證 提升素養(yǎng)
——關于“圓的面積”的教材對比與教學嘗試

翟運勝（特級教師）

一、“圓的面積”教材版本對比

圓是學生在小學階段學的最后一個平面圖形，也是在小學階段唯一要學習的曲線圖形。圓在第一、二學段的數(shù)學教學中占據(jù)著重要地位，具有較高的教育價值。由于圓是曲線圖形，探索它的面積公式比直線圖形要稍難一些。在探索圓的面積公式的過程中可以使學生進一步體會“轉化”的思想方法，滲透極限思想，增強空間觀念，發(fā)展數(shù)學思維，提升核心素養(yǎng)。各種版本的數(shù)學教材在編排“圓的面積推導”這部分內容時，都力圖充分體現(xiàn)這一知識點的教育教學價值，讓學生在經(jīng)歷中成長。縱觀人教版、蘇教版、北師大版、浙教版小學數(shù)學教材中關于“圓的面積”的編排，大致可以分成兩類：一類是直奔主題，直截了當，如北師大版、人教版；另一類是估計猜測，推導公式，如蘇教版、浙教版。

1.編排類型一：直奔主題，直截了當。

北師大版（圖1）在編排“圓的面積”時，直接提問：如何得到一個圓的面積呢？學生以往的經(jīng)驗是數(shù)格子，但是由于圓是一個曲線圖形，會出現(xiàn)不滿整格的現(xiàn)象，這種方法僅能求出一個圓的大約面積，不能迅速準確地求出圓的面積，顯然是不方便使用的。基于已有的數(shù)學活動經(jīng)驗，學生順理成章地想到能否把圓轉化成以前學過的圖形，在這個過程中，強化了學生轉化的意識，提升了遷移類推的能力。這樣的編排相對直接，教師課堂教學實施相對比較容易，對學生可能想到的探究路徑進行充分地預設與應對，符合學生的認知規(guī)律，容易引發(fā)學生的探究興趣。

圖1

人教版教材在編排“圓的面積”教學時，與北師大版教材類似，創(chuàng)設了這樣一個問題情境：每平方米草皮8 元，這個圓形草坪的占地面積是多少平方米？引導學生提問：怎樣計算一個圓的面積，引發(fā)學生探求圓面積的內在需要。在教學中，教師引導學生想一想能否把圓轉化成以前學過的圖形，從而推導出圓面積的計算公式。這樣的編排在常態(tài)化的實施過程中，有的教師會直接演示把圓沿著直徑切開，拼擺成近似的長方形推導出公式，教學過程中學生有可能會成為“操作工”。教學中，教師應當給學生嘗試、遇阻、折回，找最佳切割方式的機會，組織引導學生經(jīng)歷思維曲折的探索過程。

2.編排類型二：估計猜測，推導公式。

蘇教版教材在編排“圓的面積”（圖2）教學時，設置了兩個例題，例7 是引導學生體會圓的面積與半徑的平方之間的關系。在此之前，學生沒有探究圓面積計算的需求，需要教師另外設計課堂教學，考慮到常態(tài)課的教學狀況，如果能把創(chuàng)設面積計算的情境隱含在其中，對一線教師能有所暗示就更好了。在例7 中，以正方形的邊長為半徑畫出大小不同的圓，讓學生借助正方形來估計圓的面積，通過數(shù)格子計算圓的面積大約是正方形的幾倍，也就是半徑的平方的幾倍。從而發(fā)現(xiàn)圓的面積與半徑的平方之間的關系。例8 則是把圓等分成若干份，然后拼成長方形來推導出圓的面積公式。在這個過程中發(fā)展學生有序思考和簡單推理的能力。在實際教學時，這兩個例題放在一節(jié)課中，在家常課的狀態(tài)下，一節(jié)課的教學時間是挺緊張的。從例7 的教學來看，教師引導組織的痕跡比較重，學生多是在教師的指令與點撥下操作與思考。因為一般情況下，學生很難想到以正方形的邊長為半徑畫出大小不同的圓，以此探索圓的面積除以它的半徑的平方是否存在規(guī)律。人類對于圓面積的研究經(jīng)歷了千百年的時間，想在一節(jié)課中幫助學生經(jīng)歷這一過程，自然需要教師精心地預設、點撥和講授。沒有教師點撥引導，學生很難想到借助正方形來嘗試求圓的面積，體會圓的面積可能是這樣的正方形面積的幾倍，也就是半徑的平方的幾倍，然后再通過例8 的公式推導進行驗證。

圖2

浙教版教材在編排“圓的面積”（圖3）這部分內容時，同樣也采用了類似估計與猜測的編排，引導學生思辨：圓的面積與小正方形的面積（圓的半徑的平方）有什么關系，利用圖形中的不同顏色來幫助學生思考。由于有顏色區(qū)分的暗示，多數(shù)學生能夠理解圓的面積大于它半徑的平方的2 倍，小于半徑的平方的4 倍。不過浙教版沒有安排數(shù)格子來具體計算圓的面積與小正方形面積之間的倍數(shù)關系。教學實踐證明，學生在數(shù)格子計算圓的面積時，很難把格子數(shù)清楚。在計算公式推導的過程中，不僅組織學生把等分后剪開的圓形拼成長方形，還引導學生把等分后剪開的圓形拼成梯形、三角形或者是把圓形等分成32 份后不剪開，把其中的一份看作是一個小三角形，從而推導出圓的面積計算公式。這個編排以數(shù)學知識內在的魅力吸引學生，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，引發(fā)學生的數(shù)學研究興趣。此處對學生的操作要求與思維能力，以及教師的課堂駕馭能力提出了較高的要求，學力水平較低的班級不適合采用這種教學方式。

圖3

二、思考：估計猜測的環(huán)節(jié)是否必要呢？

北師大版與人教版在編排中直截了當引導學生把圓的面積轉化成已學圖形，從而推導出圓面積的計算，此內容較利于家常課的教學開展，而估測環(huán)節(jié)似乎不是必需的。蘇教版與浙教版在編排圓的周長計算時，借助一個圓的外切正方形和一個內接的正六邊形，確定了圓的周長與直徑之間關系的范圍，從而使猜測有據(jù)可依，并通過這一過程培養(yǎng)學生的推理能力。遵循這一設計思路，在編排圓的面積探索學習時，也加入了這樣一個估計猜測的環(huán)節(jié)，從提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的角度來看顯然是必要的，并且滲透了探究方法的習得。不同地域學生的學習背景差異較大，無論采用哪一種編排，在實施教學中都應當結合學生實際情況而定，不可概而論之。不過，即便加入這個猜測過程，也應當重新設計，讓學生在真實經(jīng)歷曲折探索的過程中提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、教學嘗試

1.創(chuàng)設情境，引起探究欲望。

師：（出示一個自動旋轉噴水器動畫）它旋轉一周所噴灌的地方是一個什么樣的圖形呢？

生：圓形。

師：關于圓我們已經(jīng)知道些什么？

（學生依次說出圓心、半徑、直徑、周長等相關的知識點）

師：根據(jù)這個情境，你會提出什么樣的問題呢？

生：自動旋轉噴水器旋轉一周所噴灌的土地面積是多少？

2.建立猜想，引發(fā)驗證需要。

師：這其實就是求圓的面積，通過對圓的周長的探索學習，我們得出了這樣一個結論：圓的周長是它直徑的π 倍，也就是三倍多一些。對于圓的面積，你會有怎樣的猜想呢？

生：圓的面積是不是與直徑之間有固定不變的倍數(shù)呢？

生：圓的面積與半徑之間是不是有固定不變的倍數(shù)呢？

師：（出示半徑為3cm、4cm、5cm 的圓）我們怎樣知道這些圓的面積，有什么方法嗎？

圖4

生：我們可以采用數(shù)方格的辦法來求出圓的面積。

師：為了方便數(shù)方格與計算，我們借助了與圓有一定關系的正方形，先數(shù)出四分之一圓的面積，再計算出整個圓的面積。

師：由于圓是曲線圖形，像圖中對角線兩端的兩個方格，非常接近滿格的算作滿格，其余不滿一格的按半格計算。

（學生填一填，然后依次匯報，完成下表）

?

師：你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)用圓的面積除以半徑以后，商并不是一個固定不變的數(shù)。

師：用圓的面積去除以相應圓的直徑呢？

（學生用計算器計算發(fā)現(xiàn)，圓的面積與直徑之間也沒有固定的倍數(shù)關系）

師：看來圓的面積與半徑和直徑都沒有明確的倍數(shù)關系，那么它與什么有關系呢？請看下圖。

（課件依次出示）

圖5

師：從這幅圖中，你能得出圓的面積與小正方形之間有怎樣的關系呢？先獨立思考，再小組討論。

生：圓的面積一定小于正方形面積的4 倍。

生：圓的面積一定大于正方形面積的2 倍。

師：圓的面積大于正方形面積的2 倍，而小于正方形面積的4 倍。

師：小正方形的邊長是圓的半徑，這句話還可以怎樣說呢？

生：圓的面積大于它半徑的平方的2 倍，而小于它半徑平方的4 倍。

師：根據(jù)這幅圖，你又會提出怎樣的猜想呢？

生：圓的面積會不會與半徑的平方之間有固定不變的倍數(shù)關系呢？

（教師出示下面的表格，學生填寫）

?

師：觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我發(fā)現(xiàn)圓的面積大約是它半徑的平方的3.1倍。

生：圓的面積大約是半徑的平方的3 倍多一些。

師：據(jù)此，你又會提出怎樣的猜想呢？

生：都是三倍多一點，這個數(shù)會不會就是圓周率呢？圓的面積會不會就是圓半徑的平方的π 倍呢？

師：大家真了不起！下面我們就來驗證這一猜想。

3.轉化推導，經(jīng)歷驗證過程。

師：同學們回憶一下，以前我們是用什么方法來推導平面圖形的面積計算公式呢？

生：通過剪、拼、旋轉等方法把新圖形轉化成已經(jīng)學過的圖形。

師：圓的面積計算公式是不是也能這樣獲得呢?

生：我們可以嘗試一下，把圓轉化成已經(jīng)學過的圖形。

師：好!要注意從哪兒下手剪拼最有可能轉化成所學過的平面圖形。

生：既然圓的面積和它的半徑有關，我們想沿著圓的半徑剪開。

師：究竟可不可以，我們來試試看。先把圓4 等分，誰來擺一擺？

學生操作如下（圖6）：

圖6

師：你還想把圓等分成多少份呢？（8 份）我們把這個圓平均分成8 份，再觀察這個圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

學生操作如下（圖7）：

圖7

師：你們也想自己動手拼一拼嗎？老師在你們的材料袋里放了將圓16 等分的紙片，拿出來拼一拼，貼在《研學單》上。

師：從展示的幾組由圓轉化而來的圖形中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：隨著份數(shù)的增加，平行四邊形的底這條曲線看起來就越來越直了。

師：想象一下，照這樣再平均分下去會怎樣呢？

生：拼成的圖形會變成一個長方形。

教師課件演示把圓等分成（64 份、128 份、256份……），學生由衷地發(fā)出贊嘆聲（圖8）。

圖8

師：你有什么發(fā)現(xiàn)呢？誰來代表你們小組匯報一下？

生：長方形的長是圓周長的一半，用字母表示就是πr，長方形的寬相當于平行四邊形的高，是圓的半徑r。圓的面積公式就是：S=πr×r=πr2。

師：通過這個推導過程，驗證了我們的猜想，那就是——

生：圓的面積果然是它半徑的平方的π 倍！

師：“果然”一詞用得真好。到目前為止，我們發(fā)現(xiàn)了圓蘊含著一個規(guī)律，圓的周長是它半徑的2π倍，圓的面積是它半徑的平方的π 倍。回想一下，我們是怎樣探索圓面積的呢？

生：我們是從圓的周長是它直徑的π 倍，推想圓的面積會不會也是直徑或是半徑的固定的倍數(shù)。

師：然后呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)圓的面積除以直徑或是半徑不是一個固定不變的數(shù)，借助一個邊長是半徑的小正方形，我們發(fā)現(xiàn)圓的面積小于圓半徑的平方的4 倍，而大于圓的半徑的2 倍。

生：通過數(shù)格子計算得出圓的面積是它半徑的平方的3.1 倍，我們就猜想圓的面積會不會是它半徑的平方的π 倍。

師：再然后呢？

生：我們把圓轉化成長方形，推導出圓的面積，從而驗證了圓的面積果然是它半徑的平方的π 倍。

師：我們在其中運用了推想、猜測、轉化等探究數(shù)學問題的方法。

師：其實，16 世紀德國數(shù)學家開普勒就對圓的面積進行過深入的探究。

（課件視頻介紹，圖9）

圖9

四、教后思考

在上面的教學過程中，教師首先組織學生猜測：圓的面積可能與什么有關系？學生一般會猜測圓的面積與半徑或是直徑有關系，這是不容忽視的事實。教師點撥：圓的周長除以它的半徑或者直徑的商是一個固定不變的數(shù)，那么，對于圓的面積你會有怎樣的猜想呢？學生通過圓的周長計算的類比推理，自然而然地提出第一個猜想：圓的面積除以它的半徑或者直徑，是一個固定不變的數(shù)。學生再通過數(shù)格子的方式得出圓的面積，用圓的面積除以它的半徑與直徑?jīng)]有得出一個固定的數(shù)。此時研究似乎走進了一個“死胡同”，教師的引導作用就充分體現(xiàn)了出來，組織學生觀察圓的面積與那個小正方形之間的關系，學生很容易發(fā)現(xiàn)圓的面積與它半徑的平方之間的倍數(shù)關系范圍，提出了第二個猜想：圓的面積與它半徑的平方之間的倍數(shù)會不會是一個固定不變的數(shù)呢？學生再用圓的面積除以它半徑的平方，發(fā)現(xiàn)了商都是三倍多一點。提問：據(jù)此，你又會有怎樣的猜想呢？學生提出了第三個猜想：圓的面積除以它半徑的平方的商，會是一個固定不變的數(shù)嗎？這個倍數(shù)是三倍多一點，會是圓周率嗎？至此，學生三次提出猜想，在迂回中不斷接近問題的本質。帶著猜想，學生把圓轉化成已知圖形，從而推導出圓的面積公式，驗證了猜想。學生經(jīng)歷了推想、猜測、操作、轉化的過程，教師適時引導學生總結探索方法，授之以漁，從而促進推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。