追根溯源，推動教與學的改進和發展
——對一道『超綱』題的分析與反思

管小冬

數學期末考試剛結束，五年級數學組組長就向我反映，教師們認為試卷“解決問題”部分有一道題超綱了（題目如下），學校在組織閱卷時能否“手下留情”。

學校組織五年級部分同學到社區參加“迎端午”活動。分組情況如下：每組3 人，最后一組少2 人；每組4 人，最后一組少3 人；每組5 人，最后一組只有1 人。參加活動的最少有多少名同學？

教師們認為“超綱”，是因為這道題涉及“三個數的最小公倍數”和“同余”兩個知識點，而課標、教材對此均未作要求。

考慮到評分標準需校際一致，所以最終閱卷時并未對這道題“手下留情”。但閱卷結束后，我第一時間就查閱了這道題的答題情況：全年級922 名學生，正確率73.3%，不高，但整體情況比教師們的預估要好。這一點其實也不難理解，這樣的“超綱”題，在平時練習中也出現過，甚至還不止一次。只是，在翻閱試卷的過程中，學生們的解答過程引發了我對這道題及相關教學進一步的分析與反思。

一、為什么會這樣？

翻閱中我發現，近乎所有學生，無論解答正確還是錯誤，過程都非常“簡潔”且“一致”。以下是我摘錄的學生的典型解答過程，其中圖一為正確解答，圖二為錯誤解答。

圖一

圖二

顯然，學生們在閱讀、分析后，都是先求出3、4、5 這三個數的最小公倍數——60，然后再根據自己的理解做進一步的處理。錯誤大多出在對問題中“三數同余”的正確分析與理解上。但922 名學生中，僅3 名學生在解題時使用了列舉的方法，且都出現了錯誤。這有些出乎我的意料。

我們知道，在“公因數和公倍數”這部分內容的教學中，幾個版本的教材都是引導學生通過列舉找出兩個數的公因數或公倍數，借此進一步理解公因數和最大公因數、公倍數和最小公倍數的含義。那么，是什么原因導致學生在解題時鮮用列舉法呢？那些解答過程特別“簡潔”的學生，是在草稿本上列舉了？還是有別的原因呢？

為此，我在學校執教過五年級的教師中進行了一次問卷調查。問題如下：

問題一：在公因數、公倍數相關內容的教學中，你重點指導學生使用的是什么方法？

問題二：你教過學生如何求三個數的最小公倍數嗎？重點指導的是什么方法？

共37 位教師參加了問卷調查。問題一中，37 位教師均提到了列舉法與短除法，但33 位教師重在使用短除法，僅4 位教師重在使用列舉法；問題二中，37 位教師均教學過如何用短除法求三個數的最小公倍數，其中10 位教師還介紹過列舉、大數翻倍等其他方法。

在隨后的訪談中我發現，不少教師都經歷過舊版本教材的教學，那時“分解質因數”“短除法求最大公因數、最小公倍數”等都屬教材內容。教材改版后，雖刪減了這部分內容，但教師們在教學中都會自覺補上。顯然，教師們大都沒有很好地理解教材刪減這部分內容的原因。對此，北師大版教師用書上明確指出，“‘短除法’雖高效簡便易用，但技巧性較強，學生不易理解其算理，容易形成機械性練習，故此將之放到‘你知道嗎？’板塊中，學生做一般性了解即可。”這樣的編排，也是重在引導學生進一步掌握“列舉”這種常見的解決問題的數學思考方法，并在此過程中不斷增進對公因數、公倍數相關知識的概念性理解。而在實際教學中，教師們不但著重補充介紹了“短除法”，甚至將之作為解決這部分內容相關問題的最佳方法進行了強化指導。進而就忽視、弱化了學生對“列舉”這一常用方法的體驗、理解與掌握。

如此，僅3 名學生在解決上述問題時使用了列舉法，且都出現了錯誤，其原因不言而喻。正是教師們“超綱”地教，“過度”地教，導致了學生們過早、過“充分”地感受到了短除法的“易學易用”，進而拋棄了“過程繁瑣”的列舉，轉投短除法的懷抱。

由此，當學生遇到上面這道“超綱”題時，最直接的反應便是先要求3、4、5 這三個數的最小公倍數，無形中弱化了對問題中數量特征、相互關系的深入思考，進而導致出現錯誤。

二、這道題“超綱”了嗎？

從教與學的角度分析了上述題目出錯的原因后，我又仔細地翻閱了人教版、蘇教版、北師大版等幾個版本的數學教材。再次學習之后，一個追問在我腦海中悄然浮現：這道題“超綱”了嗎？

按我們慣常的理解，“超綱”是指題目超過了教學大綱的要求。“大綱”是課改前的說法，對應當下應該是指《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”），這是各版本小學數學教材編寫時的指導與依據。“課標”對這部分內容的要求，主要有兩點：1.了解公倍數和最小公倍數；2.能找出10 以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。顯然，這兩點主要是從基礎知識與基本技能的維度提出的要求。對照這樣的要求，這道題出現在期末考核中顯然是超綱了。

但繼續查閱課標及各版本教材，我發現，小學階段學習“公因數與公倍數”這部分內容，更多是服務于后續的分數四則運算。即學生在進行分數四則運算時涉及到的通分與約分，均涉及公因數、公倍數的相關知識與技能。同時，通過對后續小學及初中數學教材的查閱，我還發現：1.三個數的公倍數、最小公倍數均未作為正式教學內容在后續教材中出現過；2.與此相關的分數加減運算，教材呈現的例題與練習中，三個異分母分數中總有兩者的分母是倍數關系。如蘇教版五年級下冊第五單元“分數加法和減法”例2后的“試一試”即為在義務教育階段的數學教材中，“同余”從未作為教學內容出現過。

對此，我又進一步思考，究竟什么是“超綱”？如果只是因為解決問題中涉及到的相關知識、技能從未作為正式教學內容在教材中出現過，便可稱之為“超綱”，那教學的意義與價值何在？學生在數學上的發展何在？往更深遠處思考，數學發展、社會進步、文明日新月異又該從何談起？

如果我們暫時拋棄緊守的基礎知識與基本技能，從基本思想感悟與基本經驗積累的角度來看待這道題，那便會發現其實它也談不上“超綱”。因為，從解決問題的角度來看，這道題恰可考查學生能否使用合適的方法尋找出契合題意的答案，而非考查其是否掌握了“三個數的最小公倍數”及“同余”相關的知識與技能。

我想，如果教師們沒有重在“超綱”教學，而是側重于指導學生掌握列舉這一常用的解決問題的方法，側重于引導學生思考、交流如何根據題意優化列舉過程，那么，當上述題目出現時，教師們反映的將不再是“這道題‘超綱’了”，而是“我的學生一定行！”。

三、后續教學如何改進？

分析至此，我想，最重要的還是“在后續教學中，我們應該如何改進”。以下是我的一些思考，與大家分享，希望能起到拋磚引玉之效。

1.重視在基本方法的運用中積累經驗、深入思考。

很多時候，作為教師的我們在教學中往往會自覺或不自覺地突出一些數學的公式、定理、算法。因為只要學生掌握了，帶來的便是解決問題的高效。然而，正如曹培英老師所強調：“只知怎樣算，不知為什么這樣算，充其量只是搬弄數字的操作技能。”我們應該充分認識到，對學生而言，更重要的是在基本方法的運用過程中不斷積累數學活動經驗，深入數學思考。小學階段，讀題、分析數量關系、畫圖、列舉等等，都是學生應掌握并樂于使用的基本方法，也都是我們應重視的。

以“公因數和公倍數”部分的教學為例，教學中我們更應突出引導學生在理清問題要求的基礎上，就“如何正確列舉”“怎樣優化列舉過程”等問題展開思考與交流。在這樣的過程中，進一步增進學生對基本概念的理解，對“列舉”這一基本方法的價值認同。同時，應避免如“短除法”之類的相關算法的提前出現與過度教學。因為，這往往會導致學生不加思考地理解與運用。更因為，對于學生的數學學習而言，經歷過程、學會思考要遠比掌握一種雖簡潔卻不甚理解的方法重要得多。

回到期末試卷中的那道題，我想，作為教師的我們，更應期待學生能夠呈現出以下思維狀態：（1）在審視問題后，確定可以通過列舉尋找到正確答案；（2）根據題意，或一一列舉，尋找答案；或思考怎樣列舉更便捷高效；（3）得出答案后，作進一步的審視與反思，確定答案是否正確，并能根據發現的錯誤及時進行調整。因為，解決問題沒有“通法”，數學知識的深度理解、解決問題能力的不斷提高，有賴于學生在基本方法運用過程中積累經驗與深入思考。

2.重視在解決問題的過程中培養反思、 質疑等良好的學習習慣。

從前文呈現的圖二中我們可以發現，學生在求出3、4、5 的最小公倍數60 后，僅僅是根據自己的理解，再將60 減去1，便不加甄別地認為這就是正確答案。在3 名使用列舉法解決問題的學生中，也出現了類似情況（如下圖）。

顯然，前者缺少答案得出后需及時進行檢驗的意識，僅僅滿足于獲得答案；后者更是在列舉未能找到符合要求的答案后不了了之。其實，稍加回顧與反思便會發現：（1）第二行在列舉到29 后，出現了錯誤；（2）只要列舉過程無誤，繼續列舉下去便能找到符合要求的答案。但兩者恰恰都缺少了這樣的意識與習慣。

試想，如果學生初步具備了及時檢驗、反思、質疑等良好的學習習慣，那么，在遇到類似的題目時，也能在獲取初步答案后，經由檢驗、反思、質疑等環節形成自己的初步判斷，并借此獲得更為深入的思考與領悟。而這種基于過程，經由深入思考、分析所獲得的收獲與發展，也將促成學生在經驗積累、數學思考等方面更進一步的發展。

以上是基于對學生錯誤解答過程的審視而獲得的啟示。雖然我們一直都在強調培養學生反思、質疑等良好的學習習慣，但顯然做得還不夠。教學中，我們應引導學生充分認識結果檢驗、過程回顧、反思質疑等環節的作用與價值，使之成為其解決問題過程中的自覺行為。

3.重視從素養發展的角度進行命題設計。

除從“教與學”的角度進行分析與反思外，我們也應從如何更好地進行數學命題設計這一角度進行反思，使考核不僅具備評價功能，更能推動學生數學素養的進一步形成與發展。

就這道期末考題而言，在問題呈現后我們不妨增加如下幾個引導環節：（1）你能根據題意，使用列舉的方法解決這個問題嗎？（2）回顧你的列舉過程，再結合題目想想，有哪些地方列舉得可以再簡潔些？（3）你得出的答案正確嗎？試著在下面進行檢驗。（4）通過檢驗，你發現“每組3 人，最后一組少2 人；每組4 人，最后一組少3 人；每組5 人，最后一組只有1 人”這些不同說法之間的聯系了嗎？

如此，將這道題從教師們認為的知識與技能“超綱”，轉為對學生使用列舉這一基本方法解決問題、對所得答案進行檢驗、對解決問題過程進行回顧與反思等多方面能力的考查與評價。同時，也使評價兼具了引領學生積累數學學習經驗，促成數學思考發展的功能。

以上是我對期末一道“超綱”題的分析與反思。一道題似乎微乎其微，但只有我們真正從教與學的角度出發，不放棄對每一個問題的追根溯源，堅持以成因剖析推動教與學的改進和發展，方能積少成多，聚沙成塔，使每一位學生都能在數學上獲得更好的發展。