2020年高考全國卷Ⅰ理綜第18題的多種解法比較*

陳新光

(福建師范大學附屬中學 福建 福州 350007)

葛淵波

(福州第三中學 福建 福州 350003)

謝源浩

(福建師范大學附屬中學 福建 福州 350007)

1 原題呈現

【題目】一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1中虛線所示，ab為半圓，ac，bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率．不計粒子之間的相互作用．在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為( )

圖1 高考原題題圖

2 試題分析

本題主要考查知識點是不同速率的帶電粒子在勻強磁場中的偏轉情形，結合有界磁場邊界(半圓形)，要求學生分析粒子在磁場中運動的最長時間，對學生的批判性思維能力要求頗高，具有較好的區分度．本文先給出網絡上普遍的分析方法(解法1)，再推導得到嚴謹的理論表達式(解法2)，最后通過知識遷移、模型轉化，給出巧妙解法(解法3)．

解法1：放縮圓法

圖2 放縮圓法示意圖

粒子運動最長時間為

選項C正確．

解法2：解析法

由于當r≤0.5R和r≥1.5R時，粒子運動時間都是半個周期，學生容易想到，在此不再贅述．重點考慮當0. 5R

圖3 解析法示意圖

令

且由

0. 5R

可知，x的取值范圍為0.5

從表達式可以看出，當x=1時，表達式f(x)有最小值，角度φ有最大值．

當f(1)=0.5時，cosφ=0.5，在本題中φ=60°，即粒子在磁場中運動軌跡轉過的圓心角度為θ=π+φ=240°．

解法3：圖像法

基礎模型——單邊界磁場模型：如圖4所示，當帶電粒子從M點以π-φ角度入射到MN上半區為勻強磁場的區域中，從N點離開磁場．根據圓的對稱性，在磁場中運動轉過的圓心角θ=2(π-φ)．

圖4 粒子在單邊界磁場中運動示意圖

對于本題，由于不同速度粒子都是在磁場中運動，可以理解為固定c點與離開磁場邊界點連線的單邊界模型，如圖5所示，cN,cP和cQ分別為3個單邊界磁場模型．從圖中可以明顯看出，當cP與圓邊界相切時，邊界線的偏離角度最大，即相對cP單邊界而言，速度入射方向與邊界cP的夾角最大，進而可知軌跡轉過的圓心角最大．

圖5 轉動單邊界法示意圖

3 總結

對比3種解法，解法1是較為常規，是絕大多數學生能夠想到的方法，也是平時教學中要求重點掌握的方法．但是，在卷面上手動畫放縮圓比較困難，軌跡轉過圓心角的最大值不易找到；解法2從物理模型中得到圓心角的數學表達式，從公式中得到圓心角的最大值，方法嚴謹，但步驟繁瑣，對數學計算能力要求極高；解法3利用知識遷移，把帶電粒子在單邊界磁場中運動的相關結論遷移到本題解題中，由圓心角的判斷轉化為磁場邊界角的判斷，角度變化趨勢直觀，計算簡單，是考試和平時學習中最佳選擇方法．

以上僅是筆者的一些拙見，還請同行批評指正．