對一個運動斜面上摩擦力問題解法的探討

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

當斜面體在水平面上固定不動時，位于斜面上的物體在摩擦力的作用下可處于相對靜止狀態，而當斜面體沿水平方向加速運動時，位于斜面上的物體可能相對于斜面發生滑動或分離，這取決于斜面體運動加速度的大小和方向.但要注意剛好發生相對滑動的臨界條件與剛好發生分離的臨界條件是不同的，或者說，剛好相對滑動時不可能分離，而剛好分離時必將發生相對運動，剛好不分離的狀態與剛好不滑動的狀態完全不同，因此要注意這兩種臨界狀態的區別，否則在解題時將會導致錯誤的結果.下面以《物理通報》2012年第3期第48面一道典型的動力學問題[1]為例進行分析.

【原題】如圖1所示，勁度系數為κ的輕質彈簧一端與墻固定，另一端與傾角為θ的斜面體小車連接.小車置于光滑水平面上，在小車上疊放一個物體.已知小車質量為M，物體質量為m.當小車的左邊緣位于O點時，整個系統處于平衡狀態.現將小車從O點拉到B點，令OB=b，無初速釋放后，小車在水平面的B和C兩點間來回運動，物體和小車之間始終沒有相對運動.求：b的大小必須滿足什么條件，才能使小車和物體一起運動過程中，在某一位置時，物體和小車之間的摩擦力為零.

圖1 題圖

原解：當物體和小車之間的摩擦力為零時，取物體m為研究對象，有

mgtanθ=ma

取小車和物體組成的系統為研究對象，有

κb=(M+m)a

以上兩式聯立可得

為了使小車和物體在一起運動的過程中經過某一位置時二者之間的摩擦力為零，需小車在開始釋放時到平衡位置的距離是一個范圍，即

但b取值不能足夠大，要想使物體和小車始終相對靜止，b的最大值應是小車在B點時物體受到的支持力為零時取得，這時取物體為研究對象，有

取小車、物體和彈簧組成的系統為研究對象，有

κb=(M+m)a

以上兩式聯立可得

所以b的取值范圍是

1 小車在平衡位置左側與物體相對靜止

當小車在平衡位置左側剛釋放時，加速度方向水平向右，可知當加速度較小時，物體有沿斜面向下滑的趨勢；當加速度較大時，物體有沿斜面向上滑的趨勢.物體剛好不滑動的臨界條件是受到的摩擦力剛好達到最大靜摩擦力，為了使小車在C點剛釋放時物體與小車保持相對靜止，初始加速度應存在一個取值范圍，即在最小值和最大值之間，因此C點在彈簧振子的平衡位置左側存在兩個極端位置，則形變量b對應兩個極值，下面分別推導加速度的最小值和最大值及其對應C點的位置.

其一，當小車剛釋放時的加速度取最小值時，物體有沿斜面向下滑的趨勢，則受到的摩擦力沿斜面向上，設此時靜摩擦力剛好達到最大值，則在垂直于斜面方向由牛頓第二定律有

N-mgcosθ=masinθ

在平行于斜面方向由牛頓第二定律有

mgsinθ-μN=macosθ

聯立方程可得小車剛釋放時加速度的最小值為

與方程κb=(M+m)a聯立可得

由題意可知在簡諧運動的過程中物體與小車始終保持相對靜止，那么當小車運動到平衡位置時，即加速度為零時，二者仍然保持相對靜止，則動摩擦因數至少為μ=tanθ，即μ≥tanθ.而另一方面，由

可得

μ

這與μ≥tanθ發生矛盾，因此在μ>tanθ的條件下，amin不存在，即在小車向右加速運動的過程中不會出現物體剛好沿斜面下滑的情況.或者說，在簡諧運動的過程中，如果物體與小車始終保持相對靜止，那么當小車運動到平衡位置時，即加速度為零時物體不下滑，因此，在小車從平衡位置左側向右加速運動或從平衡位置向左減速運動的過程中，即在超重狀態下物體不可能沿斜面下滑，只需b>0即可.

其二，當小車剛釋放時的加速度取最大值時，物體有沿斜面向上滑的趨勢且剛好不滑動，那么受到最大靜摩擦力的方向沿斜面向下.應用牛頓第二定律列方程，在平行于斜面方向有

mgsinθ+μN=macosθ

在垂直于斜面方向有

N-mgcosθ=masinθ

聯立方程可得小車剛釋放時加速度的最大值為

可知

綜上可見，當小車位于平衡位置左側時，為了使物體始終不發生相對滑動，b的取值范圍應是0

下面推導物體受到的摩擦力剛好為零時的加速度的臨界值及其對應C1點的位置.

在小車從平衡位置左側向右運動的過程中，由于加速度逐漸減小，物體受到摩擦力的方向將發生改變，因此存在摩擦力為零的情況.當物體受到的摩擦力剛好為零時，在水平方向由牛頓第二定律有

mgtanθ=ma0

可得臨界加速度為

a0=gtanθ

對于a0還有一種求解方法，當摩擦力剛好為零時，即使斜面光滑，物體也不發生滑動，那么把μ=0代入

可得

a0=gtanθ

由

κb=(M+m)a

可得

為了使物體與小車保持相對靜止而且在某時刻受到的摩擦力為零，那么小車在平衡位置左側剛釋放時到平衡位置的距離應滿足b0

(1)

2 小車在平衡位置右側與物體相對靜止

當小車在B點剛釋放時將加速向左運動，物體在失重的狀態下只有沿斜面向下滑的趨勢，為了使物體與小車保持相對靜止，物體受到摩擦力的方向必須沿斜面向上.這是因為整個彈簧振子受到的最大回復力方向水平向左，則最大加速度方向水平向左，那么物體受到的最大合力方向水平向左，由于重力豎直向下，支持力垂直于斜面向右，所以最大靜摩擦力方向一定沿斜面向左.由于加速度越大，越容易發生相對滑動，因此小車剛釋放時的加速度存在最大值，此時物體剛好不發生滑動，但有沿斜面下滑的趨勢，摩擦力剛好為最大靜摩擦力fm=μN.在垂直于斜面方向由牛頓第二定律有

mgcosθ-N=masinθ

在平行于斜面方向由牛頓第二定律有

fm-mgsinθ=macosθ

聯立方程可得小車剛釋放時的最大加速度為

對于a′max還有一種求解方法，對物體m在豎直方向由受力平衡有

fsinθ+Ncosθ=mg

在水平方向由牛頓第二定律有

fcosθ-Nsinθ=ma

當摩擦力為最大靜摩擦力時，有f=μN.聯立方程可得a′max.

對整體由牛頓第二定律有κb=(M+m)a，可得

如果向左的加速度過大，物體與小車將發生分離.當物體與小車剛要分離時，物體受到的支持力剛好為零，此時摩擦力也剛好為零，物體只受重力，做自由落體運動的加速度為ay=g，小車的加速度為ax=a.剛要分離時二者在垂直于斜面方向的加速度相等，即

gcosθ=asinθ

可得最大加速度

(2)

3 小車在簡諧運動過程中與物體相對靜止

設bmax對應小車的位置在C2點，b0對應小車的位置在C1點，b′max對應小車的位置在B點，可畫出小車在平衡位置兩側時彈簧形變量b的臨界值對應小車所在的位置分布如圖2所示.

圖2 彈簧形變量對應小車所在位置

觀察bmax和b′max的表達式可知，一定有bmax>

(3)

這就是原題的正確答案，也可由不等式(1)和(2)取交集而得到.但對原題還需補充動摩擦因數為μ，否則在答案中將出現未知量.

即

μtan2θ+2tanθ-μ<0

可得

利用倍角公式得μ>tan 2θ.

為了在簡諧運動過程中出現摩擦力為零的情況，應滿足μ>tan 2θ，即tan 2θ<μ，則θ<0.5arctanμ，這是保證式(3)成立的前提條件.如果不滿足這個條件，那么式(3)將不成立，就不會出現摩擦力剛好為零的狀態.在一般情況下μ<1，則2θ<45°，即θ<22.5°，而不是θ<45°.由此可見，小車斜面的傾斜角應該是比較小的，這樣才滿足題意.在μ>tan 2θ的條件下，必定滿足μ>tanθ，那么當小車運動到平衡位置時物體一定不下滑.所以原題的完整答案應為式(3)和約束條件μ>tan 2θ.