高中物理“氫原子光譜與玻爾模型”的教學嘗試

魯 斌

(浙江省余姚中學 浙江 寧波 315400)

1 引言

“氫原子光譜與玻爾模型”的內容，在人教版《物理·選修3-5》[1]教材中，分兩節展開.第十八章第3節“氫原子光譜”中，介紹了光譜及光譜的分類、氫原子光譜的實驗規律、經典理論的困難；在第4節“玻爾的原子模型”中，介紹了玻爾原子理論的基本假設、玻爾理論對氫光譜的解釋、玻爾模型的局限性.筆者嘗試，將兩節內容合并為一節，先展現氫原子光譜的實驗現象，再引入玻爾理論進行解釋，使整堂課的結構更加完整.在此過程中，也應處理和考慮以下問題：

(1)突出主線，弱化對光譜分類、作用等相關內容的討論.

(2)實驗展示氫原子光譜的譜線.

(3)補充光柵方程、分光計等相關內容，定量測量氫原子光譜.

(4)比較自然地得到巴爾末公式.

(5)為巴爾末公式與玻爾理論搭建橋梁.

(6)補充角動量等內容，將玻爾理論的基本假設進行完備.

(7)推導里德伯公式，驗證玻爾理論.

2 光譜

2.1 光譜的呈現

實驗1：太陽光譜

用三棱鏡展示太陽光譜.配合講解：1665年，牛頓就發現了白光通過三棱鏡后能夠得到絢麗的光帶，并把實驗中得到的彩色光帶叫做光譜.熾熱的固體、液體、高壓的氣體的光譜，是由連續分布的一切波長的光組成的，這種光譜叫做連續光譜.

提問：是否所有物體發出的光譜都是連續譜？

實驗2：鈉的焰色反應

將蘸有食鹽水的細鐵絲放置于酒精燈的燈焰上，看到黃色的火焰，這就是化學課中提到的焰色反應.課件展示鈉元素的光譜線，兩條鈉黃雙線(圖1)非常明銳.

圖1 鈉黃雙線

師：只含有一些不連續的亮線的光譜叫明線光譜(線狀譜).明線光譜中的亮線叫譜線，各條譜線對應不同波長的光.

實驗3：光譜管組(圖2)實驗

圖2 光譜管組

利用光譜管組，展示氫氣、氮氣、氬氣、氦氣、氖氣、汞蒸氣的放電現象.

由于每種原子都有自己的特征譜線，因此可以根據光譜來鑒別物質和確定的化學組成，這種方法叫做光譜分析.

課件展示元素的光譜線，如圖3所示.

圖3 連續譜與線狀譜

我們得到了大量元素的譜線，并要對其進行研究、解釋.由于氫原子具有最簡單的結構，我們就從氫原子產生的光譜入手.

2.2 觀察氫原子光譜

實驗4：利用分光計觀察氫原子光譜

調平分光計，將三棱鏡放置于載物臺上，點亮氫燈，實驗裝置圖如圖4所示.

圖4 用分光計觀察氫原子光譜

在望遠鏡處觀察經過三棱鏡折射的氫原子光譜如圖5所示.

圖5 氫原子光譜中的紅色與綠色譜線

通過三棱鏡我們觀察到了4條分立的譜線：紅色、綠色、紫色、淡紫色.

提問：這些光譜的波長為多少呢？

2.3 測量譜線波長

實驗5：利用光柵測量氫原子光譜

由大量等寬等間距的平行狹縫構成的光學器件稱為光柵.一般常用的光柵是在玻璃片上刻出大量平行刻痕制成，刻痕為不透光部分b，兩刻痕之間的透光部分為a，相當于一狹縫.本次實驗采用的光柵為1 mm刻600條線，光柵常數定義為

如圖6所示，當平行光入射時，相鄰透光部分的光程差為dsinθ，容易證明，當光程差滿足

圖6 光柵衍射光路圖

dsinθ=kλ

(1)

式中k為整數，即可在P處產生明紋.

我們選取綠色光譜進行測量.其光柵的一級衍射角為16°55′，代入式(1)，得到綠色光譜的波長為485.2 nm.通過相同的計算方法，我們可以得到氫原子光譜的其他譜線波長,如圖7所示,并分別標記為Hα,Hβ,Hγ,Hδ.

圖7 氫原子譜線波長

提問：從這些波長分布中，你能發現什么規律嗎？

這看似是一個數學游戲，卻包含著深刻的物理內涵.

3 巴爾末公式與里德伯常數

3.1 巴爾末的數學游戲

瑞士數學教師巴爾末也一直在研究這個問題，1885年，他發現了一個非常重要的公共因子[2]：364.6 nm,如果將氫原子的波長除以這個數，就會得到如下結果,如圖8所示

圖8 呈現的計算結果

提問：你能從這些數據中得到它們滿足的規律嗎？

我們可以得到

(2)

式(2)即為巴爾末公式.

當然我們可以將公式進行處理

(3)

這個公式是否正確，需要通過實驗進行檢驗，我們將n=7代入公式，算出了一條λ=397.0 nm的譜線，通過實驗觀察，果然觀察到了這條譜線Hε，其波長為397.1 nm.

提問：巴爾末公式可以較好地解釋氫原子光譜，那么公式背后的物理又是什么呢？我們怎么去理解這個公式？

3.2 里茲和里德伯

這時候出現了兩個非常重要的物理學家，一位是瑞典物理學家、數學家里德伯，一位是瑞士理論物理學家里茲.

他們試著將公式倒過來，則式(3)為

則公式可總結為

(4)

提問：從這個公式中，我們能得到什么啟發嗎？

讓我們仔細來端詳這個公式[3]:

(1)包含兩項.說明原子發光過程牽涉到兩個對象，有初項與末項，即初態與末態.

(2)差值.兩項由減號連接，這要求他們一定對應同一物理性質的不同狀態，兩者的落差決定發光的波長特征.這是一個類似“跳樓”的過程.

(3)整數平方.這個物理性質的數值要正比于整數平方的倒數.

如果我們能找到一個模型，且其滿足上述3個要求的話，說不定能解釋氫原子的發光.

4 玻爾理論及其解釋

還記得此前普朗克和愛因斯坦已經確立了光能量量子的概念嗎？此能量正比于光的頻率，ε=hν把式(4)改寫為

一切都變得豁然開朗了,氫原子里只有電子和質子，變化的是電子相對于質子的運動.如果電子的能量是個正比于整數平方倒數的量，電子從一個較高能量的狀態跳躍(jump)到一個較低能量的狀態，因為能量要守恒，假設能量差對應發射光的能量量子，則氫原子光譜的特征就能得到解釋.

1913年，年輕的丹麥人玻爾就是這么想的.為了解釋氫原子光譜，他提出了3條基本假設.

4.1 定態假設

假設氫原子中，電子繞著原子核做圓周運動，庫侖力提供電子做圓周運動的向心力.按照經典物理學，電子做圓周運動屬于變加速運動，會輻射電磁波損耗能量，因此電子繞核轉動這個系統是不穩定的，電子會失去能量，最后一頭栽到原子核上(圖9)，但事實不是這樣，原子是個很穩定的系統.

圖9 不穩定的軌道

為了解決這個問題，玻爾提出了“定態假設”.原子中的電子只能在一些半徑不連續的軌道上(圖10)做圓周運動.在這些軌道上運動的電子不輻射(或吸收)能量而處于穩定狀態，稱為“定態”.

圖10 定態軌道

假設電子只能在定態軌道r1，r2，…，rm，rn運動，則電子的環繞規律為

(5)

4.2 頻率條件假設

光輻射是怎么產生的呢？

由于每個軌道都對應有不同的能量，電子從某一定態向另一定態躍遷時將發射(或吸收)光子.若電子在軌道rn處的能量為En，在軌道rm處的能量為Em，從軌道rn向rm躍遷時，能放出頻率為ν的光子(圖11)，滿足

圖11 躍遷

ε=hν=En-Em

(6)

4.3 角動量量子化條件假設

那么，能量為什么會分立呢？

圖12 角動量量子化

(7)

此為角動量量子化假設.

4.4 理論求解

根據以上假設，我們如何解釋氫原子光譜的規律呢？

聯立式(5)、式(7)，消去vn，得到

(8)

可見，軌道是量子化的.電子在定態軌道上的機械能為

(9)

將式(8)代入式(9)

(10)

為了得到巴爾末公式與里德伯常數，則

(11)

令n=2，即可得到巴爾末公式，里德伯常數的理論值與實驗值幾乎一致.由此也成功解釋了氫原子光譜.

4.5 玻爾理論的局限性

至此，氫原子光譜有了合理的解釋.科學的發展離不開一代又一代人的努力.然而，玻爾理論真的正確嗎？

玻爾理論成功地解釋并預言了氫原子輻射的電磁波的問題，但是也有它的局限性.玻爾理論在解決核外電子的運動時成功引入了量子化的觀念，同時又應用了“粒子、軌道”等經典概念和有關牛頓力學規律.除了氫原子光譜外，在解決其他問題上遇到了很大的困難，例如氦原子光譜.為什么電子要在定態的軌道上運動呢？為什么定態軌道上不會輻射電磁波呢？為什么要求角動量一定是普朗克常數的整數倍呢？為什么電子會像行星一樣限制在一個平面內運動呢？物理模型在解決一些問題的同時總會帶來新的問題.

5 結束語

本堂課通過對氫原子光譜的研究，從實驗現象和理論解釋入手，試圖還原歷史發展的脈絡，力圖展現科學探究過程中的偶然性與必然性.對于高中學生而言，從高考層面，只要能夠利用能級差計算光子頻率即可.對于氫原子光譜的產生、測量、玻爾理論涉及的具體內容和數學推導并不要求.但從核心素養層面，經歷實驗探究，培育科學思維，是物理課堂的重要使命.在此之后，大師輩出，薛定諤、海森伯、泡利、費米、德布羅意、狄拉克、波恩等等科學家前赴后繼，逐步發展和完善量子力學的框架，才有現在的信息社會.