電動力學課程的MATLAB輔助教學探索與實踐*

賀夢冬 陳葛銳 劉凌虹 李建波 李澤軍 彭小芳 張 寧

(中南林業科技大學理學院 湖南 長沙 410004)

1 引言

電動力學既是物理類專業必修的一門支柱性課程，也是電子類、電氣類等專業的一門重要學科基礎課．該課程運用的分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比等思維方法，對學生學科知識體系的建立、思維能力的提升以及探索精神與創新能力的培養發揮著極其重要的作用．然而，電動力學涉及高等數學、數學物理方法、電磁學等課程知識，具有概念深奧抽象、理論性強、公式推演繁多等特征， 是一門典型的難教、難學的理論性課程．“課堂上似懂非懂，課后做題無從下手”是電動力學教學過程中一種比較普遍的現象[1]．近年來，人們在教學內容、方法、手段以及課程考核方式等方面進行了一些改革與探索．通過運用信息技術手段、開展多元化的教學模式、重構知識體系、分層教學等多種舉措，提高學生的學習興趣，進而達到改善課堂教學效果的目的[2～5]．但從目前課堂教學的實際情況來看，依然存在著教學效率低下的問題．

Matlab是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件．作為一款集科學計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、動態仿真等功能于一體的交互式程序仿真開發工具，Matlab具有計算能力強、繪圖功能強、模塊工具豐富等優點[6]，為電動力學教學改革提供了新的平臺與契機．通過Matlab軟件編程計算，可以在實現復雜微積分高效率、高精度數值計算的同時，能以可視化手段邏輯地將物理概念、公式及規律展現在我們面前，有助于學生獲得感性認識，發展其觀察力和形象思維，并為形成正確而深刻的理性認識奠定基礎．近年，我們把Matlab軟件工具引進課堂教學，并圍繞Matlab輔助教學與課堂教學有機結合進行了一系列的探索和實踐．

2 借助Matlab數值計算能力 檢驗和驗證公式

面對電動力學中繁雜冗長的公式，學生難以理解與接受的同時，甚至還心存質疑．此時，不妨為學生創造主體參與的教學環境，使學生通過動手、動腦的活動,學習知識,發展能力以及體驗成功．例如，與學生一道檢測電偶極子與電四極子遠處激發勢的近似表達式．僅從表達式，我們是無法估計其可靠性與精確度的．借助Matlab軟件，可解決該問題．首先，建立坐標系．電偶極子與電四極子系統沿直角坐標系z軸放置(系統中心為坐標原點，偶極子系統正、負電荷之間的距離設置為3個單位長度，電四極子系統負、正電荷距坐標原點的距離分別設置為1個和2個單位長度)．然后，根據激發勢的解析式，利用Matlab編寫M文件，數值求解電偶極子與電四極子產生的勢(近似值)．與此同時，采用點電荷系的電勢公式計算空間場點位置的電勢(實際值)．最后，運行M文件，對比近似值與實際值．結果顯示，利用上述近似公式計算z軸上距離偶極子(電四極子)中心6，30與90個單位長度處的電勢所產生的相對誤差分別為2.78%(13.6%)、0.11%(0.56%)以及0.012%(0.062%)，電四極子與電偶極子在上述3個場點處的電勢比值分別為56.3%，10.0%和3.3%．若場點不在z軸上，同樣可求得兩系統激發勢及其誤差．上述數據表明，電偶極子與電四極子系統在遠處的激發勢近似公式是有效的．學生經歷建模、編程、程序運行、檢驗與驗證等過程，在加深對近似公式理解的同時，還會對電荷體系多極展開式產生興趣．由此，鼓勵學生去實踐驗證教材中其他重要的解析式，如通電直導線周圍的磁感應強度公式、電偶極輻射場公式等．

上述途徑可以幫助學生從煩瑣的演算中解放出來，把注意力放在物理概念與規律的理解上．學生在操作中體驗成功的喜悅，增強了學習自信心，破除了上課單調、枯燥乏味、公式深奧難懂等消極畏難情緒．有了學生的參與，課堂不再沉悶，學生學習的熱情得以激發，師生、生生之間的互動頻次大幅提高，學生推導公式、建模與編程能力得到提升．近3年，每位學生都參與了公式推導、方程求解、建模及編程的過程，整合學生自編Matlab程序達到60余個．有3位學生選擇教材公式與方程的數值求解作為畢業論文的主要內容，其中獲校優秀畢業論文1篇．3位學生在物理與數學建模競賽中獲省級以上獎勵．

3 基于Matlab繪圖與動畫功能 實現電磁場的可視化與仿真模擬

基于Matlab的電磁場可視化與仿真模擬能夠直觀、形象地為學生提供感性材料，豐富學生的直接經驗，從而縮小理論與實際的差距．電磁場的可視化使學生不會覺得概念、公式與規律枯燥無味、無用，往往會驅動他們去追根溯源．下面以導體球置于均勻外電場中為例予以說明．

基于導體球泊松方程的電勢解以及表面自由電荷面密度解析式，我們采用Matlab軟件繪制了導體球附近的電場圖(圖1，外電場沿x軸的正方向)．圖1(a)為電場分量Ex的分布圖，其電場分布具有左右對稱性，導體球左右兩端處的場強最大．根據電磁場邊值關系式n·(D2-D1)=σ，可推斷導體球左、右表面分別分布有負感應電荷和正感應電荷，而且左右端電荷面密度最大．可用同樣的方法分析電場分量Ey分布圖[圖1(b)]．綜合圖1(a)與圖1(b)，可得到結論：球左右兩端處的電荷密度最大，偏離兩端越遠的球面處的電荷密度越小，球上下兩端處無電荷分布．導體球附近總電場E的分布如圖1(c)所示，球內部場強處處為零，球表面左右兩端電場分布最強．

圖1 置于均勻外電場中的導體球附近的電場分布圖

麥克斯韋方程組是電動力學的核心內容之一．學生學習時既要弄清楚矢量與微積分運算的數學意義，更要弄清楚電磁運動規律．基于時域有限差分法的基本思想，將麥克斯韋方程組轉換成離散的差分形式，然后利用Matlab軟件平臺編譯成相應程序，可以實時觀測電磁場的變化過程．圖2描繪了不同時刻金屬顆粒與平面電磁波相互作用的情況(電磁波沿x軸正方向傳播)．

圖2(a)與圖2(b)分別為平面波接觸顆粒前磁場Hz與電場Ey分量的瞬時分布圖．通過圖像可引導學生觀察如下特征：磁場Hz與電場Ey同相位、相互垂直，且都與傳輸方向垂直；磁場Hz與電場Ey相差兩個數量級．隨著時間的后推，如圖2(c)所示，電磁波被金屬顆粒散射，由于電磁波與金屬顆粒復雜作用，顆粒附近電場Ey的分布不再具有平面波特征了．再經過一段時間，如圖2(d)所示，電磁波繞過金屬顆粒繼續傳播，這就是我們常說的光的衍射現象．

圖2 金屬顆粒與平面電磁波相互作用下的電磁場瞬時分布圖

就物理本身而言，圖像與動畫不僅是一種重要的物理語言，還是一種重要的物理方法[7]，它們與文字、公式等相互轉化、相互支撐、相互補充．圖像與動畫能有邏輯地把物理概念、規律全面、生動地展現在我們面前．它們較文字、公式更直觀、形象．富有真實感、啟發性的圖片和動畫能吸引學生的注意力，這種直觀的知識呈現方式將在一定程度上幫助學生在對物理知識有清晰認識的情況下，較為輕松地掌握相關概念及規律[8]，有助于培養學生的觀察能力、調動學生積極思維與激發學生的學習興趣．

4 依托Matlab編程計算優勢 引入學科前沿知識 組織學生探究性學習

電動力學是一門應用非常廣泛并且與學科前沿研究密切聯系的課程．而現有教材內容與前沿熱點課題存在一定的距離，若一味地給學生強調書本知識，勢必影響學生學習興趣與動力．因此，經常給學生介紹學科前沿與發展動態(如光學異常透射現象、電磁超材料、光子晶體、超導磁懸浮、巨磁電阻效應等)，將最新科學發現和研究成果引入課堂，可以使學生明晰電動力學中的電磁場理論是相關前沿研究領域所必備的基礎知識，由此調動學生學習的積極性和熱情．圖3(a)是光學異常透射現象的Matlab仿真圖．研究人員發現對于某些特定入射波長，亞波長金屬孔(尺寸小于入射波長)的光透過率遠高于傳統孔徑理論給出的數值．主要參數如下：入射波長為870 nm，矩形金屬孔(材質為金)的尺寸為300×240 nm2，孔的深度為120 nm．這種光學異常透射現象在納米光源、成像、光刻等方面有著潛在的應用價值．第二個案例為超表面實現聚焦的二維Matlab電磁仿真，如圖3(b)所示．在金屬表面構建陣列微納結構(即超表面)，通過單元結構的漸變或指向角空間變化可在超表面上形成相位梯度，原有的斯涅耳定律(即折射定律)需要修訂，從而可實現對光傳輸方向的任意操控．納米聚焦成像只是超表面主要應用領域之一．

圖3 Matlab在學科前沿中的應用

學科前沿動態與最新研究成果在開闊學生視野的同時，必將激發學生的好奇心．結合實際，我們可以借機提供多個研究性課題或課程論文題目，供學生自主選擇，然后，組織、引導學生開展探究性學習，培養其探索精神與創新能力．基于探究性學習，我們進一步引導學生開展科研創新活動．近3年，學生發表科研論文2篇，申請發明專利4項，獲批國家級與省級大學生創新創業項目各1項．

5 結束語

針對電動力學具有的概念抽象、理論性強、公式冗長、計算繁瑣等課程特點，本文提出利用Matlab軟件進行輔助教學的教改思路．充分發揮Matlab數值計算能力，檢驗和驗證公式；基于Matlab繪圖與功能，可視化和仿真模擬電磁場；借助Matlab編程計算優勢，引導學生探究性學習．Matlab能化抽象為具體，為學生提供直觀形象的教學素材，有益于加深對理論知識的認知，幫助學生跨越理解和想象的障礙．多年教學實踐表明，Matlab輔助教學與傳統理論教學的有機融合，使學生能夠深入理解電磁場的基本屬性、電磁場的運動規律及其與物體相互作用的物理過程，可激發學生對課程的學習興趣，能有效增強學生自主學習的能力，提高課堂教學效果．在教學探索與實踐過程中，學生取得了不菲的成績，課堂同行評價與學生評價的得分逐年上升．當然，我們的工作仍有許多地方需要改進，還有許多工作需要進一步提高和完善．例如，利用Matlab的GUI功能建設一套內容豐富、交互性強的輔助教學系統，Matlab輔助教學手段與分層教學、線上教學模式的有機融合．