基于非線性壓縮估計的投資組合優(yōu)化模型在A股市場的實證

田楚杰 武漢大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院

當(dāng)前我們所熟知的投資組合理論是以Markowitz證券組合理論為基礎(chǔ)，該理論的主要方法是建立了投資組合的二次規(guī)劃模型，同時利用效用函數(shù)理論提供了使用無差異曲線在投資組合有效集上選擇最佳投資組合的方法。Markowitz投資組合的選取在實踐中的關(guān)鍵之處在于需要估測期望收益向量以及收益率的協(xié)方差矩陣。

Merton（1980）指出，資產(chǎn)收益率均值的估計誤差對投資組合最優(yōu)權(quán)重有著更大的影響，現(xiàn)在大多研究多采用最小方差投資組合模型，其只需要估計出資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣。估計協(xié)方差矩陣的一種重要思路是使用壓縮估計量，Ledoit和Wolf（2013，2014，2017b）分別提出了協(xié)方差矩陣的線性壓縮估計量和非線性壓縮估計量，本質(zhì)是將樣本協(xié)方差矩陣的特征值進行壓縮。Ledoit and Wolf（2017b）發(fā)現(xiàn)非線性壓縮估計量在美股市場的投資組合優(yōu)化中取得了極佳的樣本外表現(xiàn)，本文主要是檢驗該方法在中國A股市場的表現(xiàn)。

一、模型

（一）全局最小方差投資組合模型

最小方差投資組合模型由于只需要估計資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣，且相對于均值-方差模型有著較好的表現(xiàn)，逐漸引起了許多學(xué)者的興趣。最小方差投資組合模型由優(yōu)化（1）給出：

（二）協(xié)方差矩陣的壓縮估計法

壓縮估計是一種非常重要且有效的協(xié)方差矩陣的估計方法，尤其是對高維協(xié)方差矩陣而言。Ledoit and Wolf（2004b）提出了以單位矩陣作為目標(biāo)矩陣進行壓縮。具體來說，線性壓縮估計量是尋找最優(yōu)的ρ1、ρ2，使得二次損失函數(shù)的期望最小，即：

該優(yōu)化問題也可以求出顯式解：

由于總體協(xié)方差矩陣∑并無法得知，所以Ledoit and Wolf（2004b）給出了一致估計量對上式的壓縮權(quán)重進行估計。

線性壓縮估計量對樣本的所有特征值基于相同的壓縮密度，但是當(dāng)高階效應(yīng)比較明顯時，該方法并不能有效地改善樣本協(xié)方差矩陣的誤差。所以Ledoit and Wolf（2017b）提出了非線性壓縮估計法來估計協(xié)方差矩陣，對樣本協(xié)方差矩陣的不同特征值賦予不同的壓縮密度，從而實現(xiàn)樣本協(xié)方差矩陣的非線性壓縮。

Ledoit and Wolf（2011，2012，2014a，2014b）證明了協(xié)方差矩陣的 Oracle 估計量：

綜合來說，壓縮估計法從線性壓縮發(fā)展到非線性壓縮，其對樣本協(xié)方差矩陣的估計誤差有更強的調(diào)整。不同于線性壓縮估計對壓縮密度的等同設(shè)定，非線性壓縮估計賦予不同特征值不同的壓縮密度，在高階效應(yīng)更為明顯的時候表現(xiàn)地更優(yōu)秀。

二、實證分析

（一）數(shù)據(jù)

本文的數(shù)據(jù)來源于CSMAR數(shù)據(jù)庫，包含了 2013 年 1 月 1 日到 2017 年 12 月 31日之間，滬深300的成分股的日收益率數(shù)據(jù)。

表1 滬深300部分股票的樣本外表現(xiàn)

為了簡化計算且不失去一般性，我們假定：一個交易月由21個連續(xù)交易日組成；且每個月的月初，我們會基于前250個交易日的日收益率數(shù)據(jù)對下一交易月的持倉進行更新；樣本外預(yù)測區(qū)間為2014年1月1日到2017年12月31日，共48個交易月，即進行了48次投資組合的構(gòu)建與更新。

此外，為了研究高維效應(yīng)，我們的組合的大小分別設(shè)定為30、60、90、200，即從滬深300成分股分別選擇30、60、90、200只股票進行投資。我們在結(jié)果中分別報告了投資組合的年化收益率（AV）、波動率（SD）以及夏普比率（SR）。

（二）構(gòu)建最小方差投資組合

根據(jù)優(yōu)化（1）可以計算出每一個交易月的持倉，我們將比較四種不同的投資組合在該樣本下的表現(xiàn)：

（1）EW：等權(quán)重投資組合。組合中的每個資產(chǎn)的權(quán)重相同。

（2）SP：以樣本協(xié)方差矩陣作為總體協(xié)方差矩陣的估計量。

（3）LS：以線性壓縮估計量作為總體協(xié)方差矩陣的估計量。

（4）NLS：以非線性壓縮估計量作為總體協(xié)方差矩陣的估計量。

表1給出了利用滬深300中的30、60、90、200只股票構(gòu)造的全局最小方差投資組合對應(yīng)的年化波動率。根據(jù)表1的結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較小的時候，四種投資組合的表現(xiàn)較為接近。當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增大時，使用樣本協(xié)方差矩陣作為總體協(xié)方差矩陣的估計量會變得極其不穩(wěn)定，所產(chǎn)生的投資組合的樣本外表現(xiàn)也會變得極差。

（2）當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較小時，線性壓縮估計量和非線性壓縮估計量所產(chǎn)生的最小方差投資組合的樣本外表現(xiàn)相仿。但是當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較大的時候，使用非線性壓縮估計法所產(chǎn)生的最小方差投資組合將會在波動率以及夏普率方面表現(xiàn)的顯著地更好。

三、結(jié)語

本文將協(xié)方差矩陣的非線性壓縮估計法應(yīng)用到最小方差投資組合模型中，并在中國A股市場檢驗其樣本外的表現(xiàn)。本文使用了2014年1月1日到2017年12月31日之間滬深300的成分股的日收益率數(shù)據(jù)，并采用滾動窗口法進行樣本外的表現(xiàn)的評估。我們發(fā)現(xiàn)，在資產(chǎn)數(shù)目較少的時候，采用等權(quán)重投資組合，或者樣本協(xié)方差矩陣、非線性壓縮估計量所產(chǎn)生的最小方差投資組合在樣本外的表現(xiàn)差別并不是很大。但是當(dāng)高維效應(yīng)（即資產(chǎn)數(shù)目與估計協(xié)方差矩陣所用的時間維度的比值）更加明顯時，采用非線性壓縮估計量所得到的最小方差投資組合在收益率、波動率以及夏普比率等方面都優(yōu)于其他方法所產(chǎn)生的投資組合，這說明非線性壓縮估計方法應(yīng)用于最小方差投資組合在中國A股市場也有著重要的意義。