從“三門問(wèn)題”對(duì)學(xué)生的認(rèn)知錯(cuò)覺問(wèn)題的析惑

一、問(wèn)題背景介紹

“三門問(wèn)題”是歷史上一個(gè)有關(guān)博弈論的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題，是美國(guó)一檔電視游戲節(jié)目所提出來(lái)的，它的主要內(nèi)容表述如下：在這個(gè)電視節(jié)目中有三扇門，這三扇門的后面會(huì)被隨機(jī)放進(jìn)去物品，物品分別是汽車和兩只山羊，此時(shí)參賽者要隨機(jī)選擇一扇門，但是主持人不會(huì)直接打開這扇門，而是為了制造懸疑效果，主持人在知道汽車在哪扇門后面的情況下，在剩下的兩扇門中打開一扇有山羊的門，現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，主持人給競(jìng)猜者提供一次重新選擇門的機(jī)會(huì)，那么他該不該換門呢？怎樣做得到汽車大獎(jiǎng)的概率會(huì)大一些？

二、“三門問(wèn)題”課堂實(shí)錄

這個(gè)問(wèn)題引起了廣泛的討論，是一個(gè)很典型的認(rèn)知錯(cuò)覺問(wèn)題，常見的解答主要有兩種，筆者將借由中學(xué)課堂真實(shí)發(fā)生的師生對(duì)話來(lái)介紹。具體的課堂實(shí)錄如下(教師介紹問(wèn)題背景和內(nèi)容)。

師：同學(xué)們，如果是你的話你會(huì)不會(huì)換呢？

生A：換。

生B：不換。

生C：換不換都可以。

師：大家作出判斷一定要有依據(jù)，換和不換的理由是什么？大家能從概率的角度分析嗎？

生C：主持人打開一扇有山羊的門，那剩下兩個(gè)門中一個(gè)有汽車，另一個(gè)沒(méi)有，則選到汽車的概率是，所以換不換都一樣。

師：C 覺得換不換都行，因?yàn)檫x到汽車的概率是一樣的，還有沒(méi)有別的想法呢(同學(xué)們此時(shí)都覺得有道理)？

師：那大家不妨回答一下我的問(wèn)題，一開始選了一個(gè)門，選到汽車的概率是多少？

師：主持人知道哪個(gè)門有汽車，所以除去你選的那個(gè)門，他一定可以在另外兩個(gè)門中選擇一個(gè)有山羊的門打開，是吧？

生：是。

師：這個(gè)過(guò)程一定可以實(shí)現(xiàn)，但它并沒(méi)有從本質(zhì)上改變你選到汽車的概率，你能不能選到汽車從一開始就決定了，還是，那么另外的應(yīng)該在哪里呢？

生：另外一個(gè)門。

生：是的，這兩種解釋好像都行得通，究竟哪一種是對(duì)的呢？

師：其實(shí)大家不妨這么想：假設(shè)是100 道門，你選了一道門，抽中汽車的概率是多少？

師：那么主持人可以在剩下的99 道門中開98 道，且保證里面都沒(méi)有汽車。這時(shí)候你會(huì)選擇換不換呢？

師：沒(méi)錯(cuò)，因?yàn)槌ツ氵x那道門，其余的99 道門有汽車的概率是，經(jīng)過(guò)主持人的排除，這的選到汽車的概率就“壓縮”到最后剩下的那道門。其實(shí)這和我們一開始提出的“三門問(wèn)題”道理是一樣的，數(shù)量的擴(kuò)大使我們更直觀地感覺到問(wèn)題所在，現(xiàn)在大家對(duì)“三門問(wèn)題”該做出的選擇清楚了嗎？究竟要不要換？

生：當(dāng)然換。

生E：老師，如果我選的是1 號(hào)門，按你的說(shuō)法，2 號(hào)和3 號(hào)門合起來(lái)有汽車的概率是，如果主持人開了2 號(hào)門沒(méi)汽車，那么3 號(hào)門有汽車的概率就變成了，那現(xiàn)在我把1 號(hào)門和2 號(hào)門合一起有汽車的概率是，現(xiàn)在我選的是1 號(hào)，結(jié)果主持人開了2 號(hào)門沒(méi)汽車，那是不是就代表1 號(hào)門現(xiàn)在有汽車的概率就變成了？

師：E 提出了一個(gè)非常好的問(wèn)題，但關(guān)鍵是如果我選了1 號(hào)門，把2 號(hào)和3 號(hào)門“捆綁”在一起，這時(shí)主持人從2 號(hào)和3 號(hào)門是必定可以選出沒(méi)有汽車的門來(lái)開，可如果按照你的說(shuō)法，把1 號(hào)和2 號(hào)門“捆綁”在一起，你選了1 號(hào)門，你是無(wú)法保證2 號(hào)門是一定沒(méi)有汽車的，這樣的話就沒(méi)辦法保證主持人一定可以打開2 號(hào)門。這就是你的這種“捆綁”方法的問(wèn)題所在，現(xiàn)在清楚了嗎？

生E：原來(lái)如此，現(xiàn)在清楚了。

三、“三門問(wèn)題”認(rèn)知錯(cuò)覺析惑

這其實(shí)是一個(gè)很典型的認(rèn)知錯(cuò)覺問(wèn)題，接下來(lái)筆者將著重分析“三門問(wèn)題”背后所隱藏的概率機(jī)理。要弄清楚這個(gè)問(wèn)題，首先可以借由最原始的枚舉法，在主持人知情的情況下，由于最開始選幾號(hào)門的分析完全類似，因此以選1 號(hào)門為例。

可見，在主持人開到的門不是汽車的情況下，汽車在2 號(hào)門主持人開2 號(hào)門和汽車在3 號(hào)門主持人開3號(hào)門這兩種情況都應(yīng)該被排除，則剩下四種情況，每種情況概率相等，如果汽車在1 號(hào)門，則換門會(huì)錯(cuò)失汽車，概率為，這時(shí)換不換門選到汽車的概率都是。

因此可以看到，在主持人知情的情況下，本身有2 種可能已經(jīng)不可能發(fā)生，因此它們的概率就歸并到和它屬于同個(gè)子域的基本事件上，這就導(dǎo)致了四個(gè)基本事件的概率不均等，而學(xué)生沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，直覺認(rèn)為它們概率相等導(dǎo)致出錯(cuò)。而在主持人不知情的情況下，六個(gè)基本事件都可能發(fā)生，但在開到?jīng)]有汽車的門的條件下就需要從基本空間中剔除掉其中兩個(gè)基本事件，剩余的四個(gè)基本事件概率相等，因此換不換門選到汽車的概率都是相等的。

四、另一認(rèn)知錯(cuò)覺實(shí)例剖析

其實(shí)，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生常常因?yàn)楦悴磺宄究臻g中有哪些基本事件以及這些基本事件的概率大小是否均等的問(wèn)題而出現(xiàn)認(rèn)知錯(cuò)覺，想當(dāng)然地給出錯(cuò)誤的答案。下面再給出一教學(xué)實(shí)例：一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是女孩，那么這兩個(gè)小孩一男一女的概率是多少？析惑：看到這個(gè)問(wèn)題，大部分學(xué)生脫口而出就是，他們理所當(dāng)然的認(rèn)為生男生女的概率均等，因此另外一個(gè)是男孩的概率就是。這其實(shí)是個(gè)條件概率問(wèn)題，與上面“主持人不知情但開到的門后沒(méi)有汽車”道理一致，首先要搞清楚基本事件有哪些，在不加任何條件限制的情況下，基本空間應(yīng)該包括Ω={(男，男)(男，女)(女，男)(女，女)}，但這里已經(jīng)有“其中有一個(gè)是女孩”的條件，因此(男，男)這個(gè)基本事件就應(yīng)該從基本空間中剔除，其余三個(gè)事件概率均等，因此一男一女的概率為。

五、小結(jié)

本文介紹的兩個(gè)認(rèn)知錯(cuò)覺實(shí)例其實(shí)都可以利用貝葉斯公式來(lái)解決，但是在利用這個(gè)公式之前關(guān)鍵是要搞清楚兩個(gè)基本問(wèn)題，“基本空間包括哪些基本事件”以及“這些基本事件的概率是否均等”，只有把這兩個(gè)問(wèn)題弄清楚了，才能揭開認(rèn)知錯(cuò)覺背后神秘的面紗。