數(shù)學(xué)思想在高中不等式解題教學(xué)中的應(yīng)用

丁曉軍

(江蘇省海安市南莫中學(xué) 226681)

在進入高中階段之后，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)著重要地位，也是必考知識點，雖然表面上看不等式屬于數(shù)學(xué)運算技能，但是只有學(xué)生深入了解不等式的性質(zhì)、精準(zhǔn)掌握基礎(chǔ)內(nèi)容，再結(jié)合反復(fù)的操練才能夠?qū)崿F(xiàn)靈活運用.不管是現(xiàn)實世界、還是日常生活中，都存在著很多不對等的關(guān)系，而不等式正是刻畫這些不對等關(guān)系的關(guān)鍵模型，因此針對不等式的學(xué)習(xí)和求解有助于解決現(xiàn)實問題.和初中階段相比，高中階段的不等式學(xué)習(xí)內(nèi)容更為廣泛，不等式的類型更復(fù)雜，未知數(shù)的階次也更高，因此需要對高中不等式的解法展開深入探討和研究，以尋求更有效的教學(xué)策略.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強調(diào)數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)思想于不等式解題教學(xué)之中，能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

一、運用數(shù)形結(jié)合，讓不等式求解直觀化

華羅庚先生指出：“數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”由此也表明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中數(shù)與形之間的微妙關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合能夠改變原有的抽象狀態(tài)，可以促使宏觀圖形和微觀數(shù)值之間的相互轉(zhuǎn)化，以此實現(xiàn)簡化題意的目的，使二者相輔相成.在高中不等式解題教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，充分利用函數(shù)圖形的直觀性，引導(dǎo)學(xué)生求解不等式中x的取值范圍.

1.借助數(shù)形結(jié)合，求解不等式取值范圍

在高中數(shù)學(xué)不等式解題指導(dǎo)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的方式，對不等式取值范圍進行求解.這樣，學(xué)生在這個過程中就能夠有效地對不等式取值范圍進行確定，從而達(dá)到高效解題的目的.

例如，在指導(dǎo)高中生求解“ax2+bx+c>0”及“ax2+bx+c<0” 這兩個一元二次不等式時，可以將不等式與方程函數(shù)的相關(guān)知識點進行有機融合，通過求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根，并結(jié)合二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點展開判斷，用于描述一元二次不等式的x取值范圍.這樣，學(xué)生通過二次函數(shù)的圖象，能夠形成更直觀的感知，了解函數(shù)值的取值區(qū)間，再求解一元二次方程之后，就可以根據(jù)其根判定二次函數(shù)的值在哪一點出現(xiàn)了變化，從而明確更精準(zhǔn)的x的取值范圍.這樣，學(xué)生在這個過程中就能夠基于數(shù)形結(jié)合順利實現(xiàn)不等式的求解.

2.借助數(shù)形結(jié)合，求解不等式組取值范圍

在高中數(shù)學(xué)不等式解題指導(dǎo)教學(xué)中，也可以在二元一次不等式組的求解過程中引入數(shù)形結(jié)合，通過直觀的圖形展現(xiàn)，改變不等式的抽象狀態(tài)，結(jié)合線性規(guī)劃不等式組進行平面展開，不根據(jù)數(shù)學(xué)計算，從中發(fā)現(xiàn)x、y過零點，由此便可確定x、y的取值區(qū)間，再結(jié)合圖形分析，并能夠明確具體的取值范圍順利求解.

可見，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式解法指導(dǎo)教學(xué)需要充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合所具有的典型優(yōu)勢，不僅要有效滲透這一數(shù)學(xué)思想，也應(yīng)當(dāng)全面提高學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)合這一思維方法的應(yīng)用能力，以此推動不等式的學(xué)習(xí)提高解題技能，既有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，同時，也培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真觀察圖形的良好習(xí)慣，能夠正確總結(jié)規(guī)律，這樣才能夠使不等式的求解更易于學(xué)生理解以及吸收，使其可以高效掌握.

二、運用化歸思想，讓不等式求解簡單化

高中數(shù)學(xué)中的一些不等式是比較復(fù)雜的，高中生在解不等式的過程中，采取常規(guī)的方法往往不能夠快速地得到答案.化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.所謂化歸思想，簡單地說就是當(dāng)學(xué)生已經(jīng)存在相應(yīng)的知識或者經(jīng)驗，結(jié)合類比或者聯(lián)想等方式對問題進行轉(zhuǎn)化，從而改變問題原有的復(fù)雜狀態(tài)，形成簡單的問題或者問題組，進而實現(xiàn)有效解決.在高中數(shù)學(xué)不等式解題指導(dǎo)過程中，引導(dǎo)學(xué)生運用化歸思想，能夠讓不等式求解簡單化

針對不等式的解題，可以先將式子視為整體，之后替換其中的變量，這樣的解題過程必然會更加簡便.這種不等式的轉(zhuǎn)化方法，特別強調(diào)的是換元以及建構(gòu)元.所謂換元法，就是以原有的等量代換為基礎(chǔ)，對其進行延伸或者拓展，改變之前的研究對象，實現(xiàn)對問題進行化解.實際上，換元法也可以稱其為輔助元素法，最直觀地理解就是需要在原有的不等式中，借用或者輔助新的變量，這樣就能夠?qū)栴}中的分散條件集中起來進行綜合處理，還有益于揭示其中的隱含條件；或者也可以在解題的過程中將結(jié)論以及條件進行結(jié)合，將原有的題意轉(zhuǎn)化為學(xué)生比較熟悉的結(jié)構(gòu)，為有效解題提供便利.

可見，在引入換元法之后，能夠大大簡化對原有不等式的證明難度，這樣，就能夠有效地提升學(xué)生解不等式的效率.教學(xué)實踐證明，在指導(dǎo)高中生解決不等式的過程中，通過換元法是十分有效的，通過換元之后，就能夠把原本比較復(fù)雜的不等式簡單化，這樣，學(xué)生就能夠達(dá)到高效解題的目的.其實，在高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多地方都可以滲透換元法，特別是在不等式解題中，通過換元的策略，能夠切實提升解題效率.

三、運用模型思想，讓不等式求解明晰化

在高中數(shù)學(xué)不等式解題教學(xué)中，運用模型思想能夠達(dá)到事半功倍的效果.教師需要結(jié)合靈活多變的教學(xué)方式，更需要具備敏銳的目光，能夠善于發(fā)現(xiàn)生活中的典型案例，然后將其引入數(shù)學(xué)課堂中，不僅可以對學(xué)生的思維形成有效引領(lǐng)，還可以輔助不等式的學(xué)習(xí)，有助于促進發(fā)散性思維，使學(xué)生在面對相同問題時能夠生成不同的見解.對于這種教學(xué)方法而言，這就能夠讓學(xué)生在求解不等式的過程中，思路更加明晰化.

以“簡單的線性規(guī)劃”為例，這是高中學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會出現(xiàn)的一類題型，而且與現(xiàn)實問題相關(guān)聯(lián)，特別注重綜合與變化，不僅揭示了不等式的幾何意義，還能夠在解決優(yōu)化問題中體現(xiàn)其應(yīng)有的價值.針對相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，需要鏈接學(xué)生的生活經(jīng)驗，觸發(fā)其舊知，并帶領(lǐng)學(xué)生親歷問題的轉(zhuǎn)化過程，將其抽象為數(shù)學(xué)模型，然后進行解釋和應(yīng)用，不僅可以幫助學(xué)生深入體會不等式的性質(zhì)，也能夠為提高優(yōu)化思想奠定扎實的根基.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，關(guān)鍵的難點是如何立足于現(xiàn)實生活提煉出抽象的數(shù)學(xué)模型，就此引發(fā)學(xué)生的深入剖析和探究，使學(xué)生體會并把握數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活之間的關(guān)聯(lián).如果選擇反轉(zhuǎn)課堂的方式將課堂延伸至課外，學(xué)生能夠結(jié)合課堂所學(xué)展開交互行為，既有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，也能夠使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的價值，對數(shù)學(xué)形成更深入的認(rèn)知.

可見，高中數(shù)學(xué)教師不僅要熟悉高中數(shù)學(xué)教材，也需要掌握具有創(chuàng)新性的獨特教學(xué)方法，能夠在實際教學(xué)的過程中充分展現(xiàn)引導(dǎo)功能，促使學(xué)生展開獨立思考.類似的問題必然會在學(xué)習(xí)過程中再次出現(xiàn)，而此時學(xué)生便能夠通過獨立思考，快速且高效發(fā)現(xiàn)正確的解題思路.所以，最優(yōu)的教學(xué)方法就是全面提高學(xué)生的獨立思考能力，使學(xué)生可以充分利用所學(xué)順利解答問題或者對復(fù)雜問題進行簡化，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的.

總之，在高中數(shù)學(xué)知識體系中，不等式占據(jù)著重要地位，也是必考知識點.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強調(diào)數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)思想于不等式解題教學(xué)之中，能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.針對不等式的教學(xué)過程中，并不存在過難的知識點，所要考察的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能夠以不等式作為解題工具，能否以此作為必要的數(shù)學(xué)模型思想，提高自身的解題能力.對于一線高中數(shù)學(xué)教師而言，必須要立足于實踐體現(xiàn)這些數(shù)學(xué)思想，需要在數(shù)學(xué)教育理論以及高考指導(dǎo)思想的引領(lǐng)下，有效地落實于教學(xué)，不僅是為了滿足學(xué)生的知識以及情感需求，同時也有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高其解題能力.