二維水動(dòng)力學(xué)模型糙率的推導(dǎo)和驗(yàn)證

郭曉明，喬 明

(1.丹華水利環(huán)境技術(shù)(上海)有限公司，上海，200235；2.浙江省環(huán)境科技有限公司，杭州，310007)

在數(shù)值模擬的計(jì)算中，糙率一般都是需要經(jīng)過(guò)率定的[1-3]，即在某個(gè)糙率下數(shù)模結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果或試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，當(dāng)相差較小時(shí)我們認(rèn)為這個(gè)糙率就是模擬中可以使用的糙率。但是，在一些擬建的工程中如隧洞、渠道等，并無(wú)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)或試驗(yàn)數(shù)據(jù)，這時(shí)僅靠邊壁的材料去確定糙率有失偏頗，特別在二維水動(dòng)力學(xué)計(jì)算中會(huì)產(chǎn)生大的偏差。二維水動(dòng)力學(xué)模擬中僅是考慮底部的影響，在模擬水深相對(duì)底部寬度比較大的隧洞和渠道時(shí)，直接用糙率系數(shù)表上的糙率進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果不準(zhǔn)確，因此，需要增大河床單元格的綜合糙率，以近似代表邊壁糙率對(duì)流動(dòng)的整體影響。

1 二維水動(dòng)力學(xué)模型糙率的公式推導(dǎo)[4-7]

假定模擬無(wú)任何誤差，那么二維數(shù)模計(jì)算出的流速等于實(shí)際的流速(即V′=V)。利用謝才公式和曼寧公式[8]：

兩式聯(lián)立可以得出：

謝才公式是根據(jù)明渠均勻流的實(shí)測(cè)資料總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)公式，在實(shí)際的工程中大多是阻力平方區(qū)的紊流，謝才系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式是根據(jù)阻力平方區(qū)紊流大量實(shí)測(cè)資料求得，所以適合我們的計(jì)算。

由于水力坡度相同，可以得出：

矩形過(guò)水?dāng)嗝媲闆r下：

其中B為底部寬度；H為淹沒(méi)深度。

2 二維水動(dòng)力學(xué)模型控制方程[9]

二維水動(dòng)力模型采用的公式如下：

質(zhì)量守恒方程：

X方向動(dòng)量方程：

Y方向的動(dòng)量方程：

以上各式中，h為基準(zhǔn)面下水深；u、v分別為沿X、Y方向的流速；t為時(shí)間；η為床面高程；g為重力加速度；Exx、Eyy、Exy為渦動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)；a為河床高程；n為曼寧糙率系數(shù)；ζ為風(fēng)應(yīng)力系數(shù)；Va為風(fēng)速；ψ為風(fēng)向；ω為地球角速度；φ為當(dāng)?shù)鼐暥取?/p>

3 糙率公式驗(yàn)證

為了驗(yàn)證推論的合理性和正確性，我們用下莊電站引水設(shè)計(jì)的物理模型試驗(yàn)結(jié)果和藕節(jié)水槽試驗(yàn)結(jié)果及矩形水槽水力計(jì)算結(jié)果與二維數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1 下莊電站引水設(shè)計(jì)[10]

下莊電站位于岷江支流雜谷腦河下游河段左岸，為雜谷腦河規(guī)劃十八級(jí)梯級(jí)電站中的第17級(jí)電站。由取水樞紐、泄洪閘、沖砂閘、沖砂槽、進(jìn)水口、引水明渠、泄水道等建筑物組成。取水樞紐設(shè)計(jì)洪水流量916m3/s，校核洪水流量1180m3/s。為了更好地發(fā)揮電站的經(jīng)濟(jì)效益和在災(zāi)后重建中的作用，對(duì)電站引水系統(tǒng)進(jìn)行技改，在原有雜谷腦河引水明渠旁開挖引水隧洞，引水隧洞采用馬蹄形斷面，底部寬度為6.6m，內(nèi)部流動(dòng)為無(wú)壓水流。

根據(jù)下莊電站的位置和所擁有的實(shí)測(cè)資料及需要計(jì)算的范圍，我們選取的模擬區(qū)域長(zhǎng)約為1.47km，河道段長(zhǎng)140m，引水隧洞和引水明渠長(zhǎng)平均1.33km。采用三角形網(wǎng)格與四邊形網(wǎng)格離散計(jì)算區(qū)域，在交匯處及不規(guī)則區(qū)域主要采用三角形網(wǎng)格，其它則采用四邊形網(wǎng)格，模擬區(qū)域網(wǎng)格共12265個(gè)，其中三角形網(wǎng)格1314個(gè)，四邊形網(wǎng)格10951，節(jié)點(diǎn)38029個(gè)。

引水隧洞斷面為馬蹄形斷面，但在二維數(shù)值計(jì)算中近似取為矩形斷面。上游給以流量，下游給以水位邊界條件。在上游來(lái)水為160m3/s時(shí)，關(guān)閉所有的泄洪閘，下游控制水位為1403.5m(前池正常水位)。根據(jù)材料不同查出的初始糙率取值為：雜谷腦河率定糙率n=0.035；原引水明渠n=0.018；引水隧洞n=0.014。經(jīng)過(guò)計(jì)算新建引水隧洞內(nèi)平均水深約為4.3m，原引水明渠內(nèi)平均水深約為3.5m。引水隧洞底部寬度為6.6m，引水明渠底部寬度為7.7m。

圖1 網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

再根據(jù)修正后的糙率進(jìn)行模擬，得出閘前斷面CS1的水位對(duì)比和沿隧洞內(nèi)前300m的水深，分別見圖2和圖3。

圖2 閘前水位對(duì)比

圖3 隧洞內(nèi)水深對(duì)比

用初始的糙率進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差很大，但是用經(jīng)過(guò)修正后的糙率進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)相差很小。圖2可以看出，未經(jīng)修正糙率模擬的閘前水位與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相差60cm，而經(jīng)過(guò)修正后相差不到5cm；圖3中的未經(jīng)修正糙率模擬的水深相差50cm以上，但是經(jīng)過(guò)修正后水深相差大幅縮小。另外，由于公式中所用水深為初始糙率進(jìn)行模擬的結(jié)果，在用計(jì)算修正后糙率時(shí)使水深偏小，故可以用修正后糙率模擬出的水深重新計(jì)算糙率，會(huì)更加合適。

3.2 藕節(jié)水槽試驗(yàn)

在四川大學(xué)水力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室做的藕節(jié)水槽試驗(yàn)，水槽長(zhǎng)28m，坡度為0.002，有三個(gè)藕節(jié)，最寬為1.4m，最窄為0.6m，深為0.5m，材質(zhì)采用抹面混凝土。模擬中取15.2m的長(zhǎng)度，示意圖如圖4。

圖4 藕節(jié)示意

網(wǎng)格為四邊形網(wǎng)格共2000個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為6421個(gè)。網(wǎng)格分布圖如圖5。

圖5 藕節(jié)網(wǎng)格劃分

進(jìn)口給定流量為100L/s，出口給定水位為10.18cm，根據(jù)試驗(yàn)中底部和壁面的材料，經(jīng)過(guò)查詢吳持恭《水力學(xué)》糙率系數(shù)表，糙率取0.013。關(guān)于E的取值比較關(guān)鍵，在水深較淺時(shí)E應(yīng)該盡可能的小，在模擬中E取25Pa/s。根據(jù)初始單一糙率0.013模擬的水深，以及不同的底部寬度可以得出修正糙率沿程的變化。

圖6 糙率沿程分布

然后根據(jù)糙率把模擬段分為8個(gè)部分，每個(gè)區(qū)域糙率取平均值，其值在0.0158～0.0165之間，相差較小。再根據(jù)修正后的糙率進(jìn)行模擬，得出模擬段內(nèi)的水位。

圖7 沿程水位對(duì)比

可以看出，當(dāng)采用糙率0.013時(shí)其在收縮處的水位變化極大，且和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)差別很大，達(dá)到4cm；當(dāng)采用修正后的糙率時(shí)其差別縮小，在收縮處不到1.5cm。

3.3 理想矩形水槽

設(shè)定一個(gè)長(zhǎng)100m，寬10m，底部坡度為1/1000的矩形水槽，糙率為0.04。假設(shè)過(guò)水流量為100m3/s、200m3/s、300m3/s，矩形水槽流動(dòng)為均勻流?？梢酝ㄟ^(guò)謝才公式和曼寧公式得出：

通過(guò)試算，可以得出三個(gè)流量對(duì)應(yīng)的水深H分別為6.37m、11.09m、15.62m，流速V分別為1.57m/s、1.804m/s、1.92m/s。上游進(jìn)口處給定流量，下游出口給定水位(出口處地形高程為0，故水位即水深H)，對(duì)矩形槽進(jìn)行模擬。計(jì)算中E取2000Pa/s。

圖8 網(wǎng)格及平面示意

由于水深變化較小，可以直接用下游出口水深修正糙率。

代入H=6.37m、11.09m、15.62m?？梢缘贸鋈齻€(gè)修正糙率分別為0.0692、0.0872、0.1029。根據(jù)三種不同的工況和不同的糙率進(jìn)行模擬。水位、流速沿程變化圖如圖9。

(a)流量100m3/s時(shí)流速沿程變化 (b)流量100m3/s時(shí)水位沿程變化

(c)流量200m3/s時(shí)流速沿程變化 (d)流量200m3/s時(shí)水位沿程變化

(e)流量300m3/s時(shí)流速沿程變化 (f)流量300m3/s時(shí)水位沿程變化

根據(jù)均勻流的定義，水力坡度應(yīng)該與底部坡度相一致且流速不發(fā)生變化。從圖9中可以看出，在流量100m3/s、200m3/s、300m3/s情況下，根據(jù)矩形槽糙率0.04所模擬出的水力坡度約為3/10000，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于底部坡度1/1000。而用修正糙率計(jì)算的結(jié)果完全符合均勻流的定義，上下游水位差0.1m，水力坡度1/1000。修正前流速沿程逐漸減小，修正后流速與均勻流公式計(jì)算出的幾乎完全一致，相差不到0.001m/s。

3.4 驗(yàn)證結(jié)果分析

我們本可以通過(guò)試驗(yàn)得出糙率的率定，但是不經(jīng)過(guò)率定而直接通過(guò)糙率修正公式進(jìn)行糙率的選取也可以得出滿意的結(jié)果，這就為如果沒(méi)有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及試驗(yàn)數(shù)據(jù)的河道、渠道、隧洞等計(jì)算提供了好的糙率修正準(zhǔn)則，將大大改進(jìn)數(shù)模計(jì)算的質(zhì)量。

在藕節(jié)模擬中，由于斷面的收縮擴(kuò)張，水流流態(tài)變化大，流動(dòng)為恒定非均勻流，導(dǎo)致修正后的模擬數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在偏差，但是通過(guò)修正后的糙率值相比直接用糙率系數(shù)表中的糙率有較大的改進(jìn)。在下莊電站引水的模擬中，隧洞和明渠中的流態(tài)近似漸變流，流態(tài)比較穩(wěn)定，修正后的模擬效果更好。理想矩形水槽的數(shù)模結(jié)果與矩形水槽均勻流公式計(jì)算結(jié)果完全一致。修正公式對(duì)于均勻流和漸變流有較好的結(jié)果。

4 結(jié)論

在二維水動(dòng)力模型計(jì)算中，隧洞和渠道等由于缺少實(shí)測(cè)資料和試驗(yàn)資料，不能對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的率定。我們可以通過(guò)查糙率表，通過(guò)公式計(jì)算得出模型需要的糙率。公式更加適合于寬深比較大的渠系，公式為二維水動(dòng)力模型計(jì)算采用糙率提供參考。即使修正后的糙率還是有一定的差別，因?yàn)樾拚绞褂梅秶呛愣ň鶆蛄骰驖u變流。