兩種導體切割磁感線產生焦耳熱的區別

石 勇

(重慶市涪陵實驗中學校 408000)

在電磁感應過程中，往往認為焦耳熱與克服安培力做功有關，甚至認為焦耳熱大小在數值上等于克服安培力做功.這一錯誤理解，在高中物理教學中普遍存在，那么焦耳熱產生的本質究竟是什么力做功?是否與克服安培力做功有直接關聯？下面筆者就這兩方面作分析和討論.

一、磁場不動，導體棒切割磁感線運動產生焦耳熱的本質

我們知道，當電流通過電阻時，由于電流做功將會導致電阻發熱從而產生焦耳熱.因此，焦耳熱的產生有兩點，一是要有外力驅動自由電荷定向移動做功，二是電流通過電阻時受到阻礙自由電荷定向的阻力做負功，其能量轉化為熱能.

1.導體棒中電子運動微觀解釋

如圖1，U形光滑的導電線框放在水平面上，左邊接有電阻R，線框上垂直放置一根金屬棒ab，棒與線框接觸良好，整個裝置放在勻強磁場中，其余電阻不計．當用外力F使ab棒向右以速度v勻速運動時，導體棒中自由電子受力如何呢?

圖1

圖2

當導體棒水平向右運動時，自由電子隨棒水平向右運動，會受到沿導體棒向下(如圖2俯視圖所示)的洛倫茲力F1的作用，因此，自由電子不僅隨導體棒以速度v水平向右運動，而且在洛倫茲力F1的作用下，自由電子獲得沿導體棒向下的定向移動速度u.可見，導體棒中自由電子同時參與了水平、豎直兩個方向的運動，其合速度v合等于v和u的矢量和，所以自由電子受到的洛倫茲力為F合=ev合B，兩個分速對應的洛倫茲力F1、F2其實是洛倫茲力F合的兩個分力.當導體棒勻速運動時，獲得的電流恒定，可以將自由電子在導體棒中運動視為勻速運動，因此，自由電子除了受到洛倫茲力外，還受到與F1等大、反向的電荷間阻力f阻，以及與F2等大、反向的彈力N的作用.

從上面分析可知，F1對自由電子做正功，F2對自由電子做負功，則t時間內有：

F1對電子做功

W1=p1t=F1ut=evBut

F2對電子做功

W2=-p2t=-F2vt=-euBvt

則：W1=|W2|，即洛倫茲力兩分力做功大小相等、正負相反.

由平衡知，彈力N對電子做的正功WN=|W2|，電荷間阻力f阻對電荷做負功，且|Wf|=W1

由此可見，驅動自由電子的實際作用力是洛倫茲力分力F1，但F1的產生源于電子受到彈力N作用而運動受力，因此，整個過程中與洛倫茲力分力F2無關.但是從數量上看，這兩對平衡力做功的大小是相等的，在這個過程中，雖然洛倫茲力的兩個分力做功總合為零，但起著橋梁和轉化作用.從整體上看，克服洛倫茲力分力F2做的功全部轉化為克服電荷間阻力f阻做功，即為焦耳熱.

2.導體棒中電子運動宏觀解釋

我們通常所說的安培力其實是所有電子受到洛倫茲力的分力F2的合力.證明如下：

令單位體積內自由電子數目為n，導體棒長度為L，橫截面積為S，導體棒中電流為I，則導體棒中自由電子總數目N=nLS

F2合=NF2=nLSF2=nLSeuB

又知：I=neuS

則F2合=BIL=F安

因此，從本質上講安培力做功對焦耳熱的產生沒有直接聯系.但從宏觀上講，導體棒在水平面上只受兩個力作用，一個是拉力，另一個是安培力.安培力大小影響導體棒運動速度，導體棒的運動速度又影響自由電荷的定向移動速度，導致電流大小發生變化，進而影響焦耳熱.從微觀上講，克服安培力做功等價于克服電荷間阻力做功，也就是說，克服安培力做功的能量與焦耳熱是相等的.

二、磁場運動，導體棒切割磁感線產生焦耳熱的本質

我們在學習電磁驅動部分知識時，往往利用相對性原理，假定磁場不動，導體棒以等大速度反向切割磁感線運動，從而計算出感生電動勢和感生電流，進一步計算出焦耳熱.但我們很快發現，安培力在這個過程中是驅動力，不是做負功，而是做正功，那么焦耳熱是什么力做功轉化而來的呢？

1.磁場勻速運動，導體線框不動

例2如圖3，邊長為L的正方形單匝金屬導體線框固定在水平桌面上，左端接有電阻R，其余電阻不計.右端處于有界勻強磁場中，磁感應強度為B，且磁場方向垂直于線框平面.當磁場向右勻速運動時，感應電流是如何形成的呢？

圖3

我們知道，當金屬線框固定不動時，金屬導體中的自由電子也是靜止不動的，不可能受到洛倫茲力而運動，也就不可能形成電流.因此，當導體本身不動時，不能從相對運動的角度理解為反向切割的動生類型，而是要理解為感生類型.

自由電子受到的感生電場力

根據楞次定律，金屬導體中的自由電子在感生電場力作用下定向移動形成順時針感應電流，這才是電磁驅動的實質.只是從數量上看，等價于導體棒反向切割磁感線運動，但本質上是感生類型.雖然右側線框會受到水平向右的安培力作用，但安培力做功為零，此時的焦耳熱與安培力毫無任何關系.

2.磁場勻速運動，導體線框在安培力作用下驅動

上例中，若桌面光滑，且金屬導體線框不固定，那么金屬導體線框會在右側安培力作用下向右運動.這時由于導體棒運動，導致自由電荷具有水平向右的速度分量，會受到沿導體棒向下的洛倫茲力的分力作用，使得自由電子的運動速度減緩.也就是說，相當于形成一個附加的反向電動勢，形成反向電流，將原電流大小減弱.由于只是減弱電流，沒有根本改變產生電流的實質，因此，其焦耳熱仍然是由于感生電場力做功產生的，與安培力及其做功仍無直接關聯.

假定線框速度為v1，則動生電動勢E動=BLV1

回路的總電動勢E總=E感-E動=BL(V-V1)

從能量角度看，我們可以這樣理解，安培力做正功導致金屬線框動能增加，阻礙自由電子運動的洛倫茲力分力加大，削弱了電流強度，減少了焦耳熱.即是說，通過安培力做正功間接地將部分電能轉化為金屬線框動能.隨著金屬線框速度增加，電流越來越小，當金屬線框速度等于磁場運動速度時，電流為零，產生的焦耳熱為零.也就是說，沿線框方向洛倫茲力恰好等于感生電場力.此時，變化的磁場能將通過安培力做正功全部轉化為金屬線框的動能.

通過上述分析，導線切割磁感線運動中焦耳熱的產生與安培力做功毫無任何直接聯系.當磁場不動，導體棒運動時，焦耳熱是由于洛倫茲力沿導體棒的分力做功產生，但這個洛倫茲力的分力總合并非是安培力.當導體棒不動，磁場運動時，焦耳熱是由于感生電場力做功產生.安培力做功只是間接影響洛倫茲力的大小和方向，若安培力做負功，則將其他形式能轉化為電能(焦耳熱能)；若安培力做正功，則將電能轉化為其他形式能.