從“矩陣論”課程探索課程思政的教學案例

王詩云

（沈陽航空航天大學 遼寧·沈陽 211100）

1 研究背景

課程思政指以構建全員、全程、全課程育人格局的形式將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應，把“立德樹人”作為教育的根本任務的一種綜合教育理念。我國對學校的思想政治教育工作一直非常重視。

1987年，《中共中央關于改進和加強高等學校思想政治工作的決定》指出：“高等學校培養出來的大學生、研究生，應當有堅定正確的政治方向，愛祖國、愛社會主義，擁護共產黨的領導，努力學習馬克思主義；應當熱心于改革和開放，有艱苦奮斗的精神，努力為人民服務，為實現具有中國特色的社會主義現代化而獻身；應當自覺地遵紀守法，有良好的道德品質；應當勤奮學習，努力掌握現代科學文化知識。還要從他們中間培養出一批具有共產主義覺悟的先進分子。”1994年，《中共中央關于進一步加強和改進學校德育工作的若干意見》中提出，要培養學生“自尊、自信、自強、自立”“正確的世界觀、人生觀和價值觀，培養良好”“艱苦奮斗的精神和堅強的意志品質”等。

2004年，中央出臺了加強學校思想政治教育工作的文件《關于進一步加強和改進大學生思想政治教育的意見》。上海首先思政教育的探索之路。2010年，上海承擔國家教育體制改革試點項目“整體規劃大中小學德育課程”，建設大中小學的德育課程。2014年，德育建設的探索從思政課程轉移到課程思政。

2017中共中央、國務院印發了《關于加強和改進新形勢下高校思想政治工作的意見》。2020年，教育部印發《高等學校課程思政建設指導綱要》，指出：“培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人是教育的根本問題，立德樹人成效是檢驗高校一切工作的根本標準。”

我們看到，國家對學生的思想政治教育一直都沒有放松。對學生的思想政治教育包括了學生的政治方向、價值取向、人格品質、與文化知識等多方面。越來越多的學校、科學門類和教師投入到課程思政的教學模式的研究之中，例如：參考文獻[2,3,4,5,6]。

2 教學總體設計

“矩陣論”課程具有比較鮮明的高等數學類課程的特點：邏輯嚴謹，概念抽象，證明過程構造性強。因此，研究如何提高學生的學習效果，如何開展課程思政，從而實現對學生的知識傳授，能力培養和價值塑造，是值得關注的問題。

該課程是沈陽航空航天大學的研究生必修課程，每個自然授課班大約200人。本課程采用線下授課配合雨課堂軟件的使用，講授過程應用PPT，黑板板書、雨課堂的彈幕、白板、主觀題、客觀題、上交作業等功能。結課后，下載并保存所有的學生參與信息和數據，評價學生的平時表現，計入期末總成績。對學生的學習過程和學習成效給予較為全面客觀的評價。

沈陽航空航天大學的研究生教育蒸蒸日上，授課人數逐年上升。教師在授課過程中，通過認真嚴謹的教學態度、啟發式教學方法與學生互動等，將課程知識講授與課程思政在潛移默化中相互融合，弘揚社會主義核心價值觀，期望為國家培養更多的優秀人才，為國家的宏偉前景貢獻綿薄之力。

白板與黑板相結合：因為授課人數眾多，黑板板書會造成后面的同學看不見；不板書而直接用PPT，數學中的很多推導和證明不易讓學生理解，因此，本課程采用以PPT和雨課堂的白板為主，黑板為輔的方式。雨課堂的白板用來進行重要的證明、推導與計算，以便學生留存與課后查看；黑板用來講解定義的注釋與簡單的例題。

引導學生獨立發現最小多項式：通過分析待定系數法，發現除數的次數越低越便于運算，觀察特征多項式與Hamilton-Cayley定理，得到零化多項式的概念，進一步得到最小多項式的概念。

思政教育：教師引導學生一直處于“學習知識—解決問題—發現新問題—尋求解決方案—學習新的知識”這樣的學習狀態中，潛移默化的磨練了學生的意志和行為習慣：認真嚴謹，吃苦耐勞。同時，在此過程中，學生感受到由拼搏帶來的滿滿的舒暢的成就感與幸福感，有助于學生形成“只有拼搏，才有幸福，筑夢踏實”的價值觀與幸福觀，增加學生用知識服務社會的意識和信心。

教學案例—待定系數法和最小多項式定義：在講解待定系數方法和最小多項式的概念時，從計算高次矩陣多項式、Hamilton-Cayley定理引出待定系數方法的構成原理，再從待定系數法的原理和應用切入，引出最小多項式的觀念，從而更好的計算矩陣多項式。

發現計算矩陣多項式的繁瑣，引出Hamilton-Cayley定理：回顧應用約當標準形計算矩陣多項式的過程，師生一起感嘆，求解過程的繁瑣。引出Hamilton-Cayley定理的內容。

通過Hamilton-Cayley定理，引出大除法：教師通過舉簡單例子說明應用大除法和 Hamilton-Cayley定理在求解矩陣多項式中的應用（黑板板書）。

發現大除法不適合計算高次多項式，引出待定系數法：舉一個100次的多項式。應用大除法就顯得過于麻煩了（黑板板書）。觀察用大除法，帶領學生發現在計算矩陣多項式時，用特征多項式做除數，得到的商不起實質性的作用，起作用的是余數。余數的次數可以根據特征多項式確定下來，那我們只要確定余數的系數即可——待定系數法。

學習應用待定系數法：

在計算矩陣多項式時，用特征多項式做除數，得到的余數由學生自己表示；接下來這些系數用什么方法求呢——利用特征值。特征值是特征多項式的根，建立等式，從而確定系數。以100次多項式為例，應用待定系數法求解（白板板書）。

思考待定系數法的弊端，發現除數多項式的可換：

教師先提問：“待定系數法的實現，依靠的是特征多項式和余數多項式，需要余數多項式的系數，那么余數多項式的次數是越高越好還是越低越好呢？是什么決定了余數多項式的次數呢？如果想降低余數多項式的次數，該從何入手呢？”（學生彈幕回答）。這一系列問題需要學生獨立思考作答。從而發現，學生解決了第一個問題，即替換除數多項式也就是特征多項式才是根本的簡化運算的方法。

分析特征多項式的特點，引出最小多項式：

教師提問：“什么樣的多項式才能替換掉特征多項式”。學生思考后，會發現，要想解答這個問題，首先需要研究“特征多項式為什么能夠做除數呢，他的特點是什么”？接下來，教師帶領學生總結特質多項式的特征，回顧哈密爾頓—凱萊定理（白板板書）。學生思考后，給出分析：以該矩陣為根的所有多項式都可以替代特征多項式做除數。從而引出“零化多項式”的概念（白板板書）。教師提問“在所有的零化多項式，哪一個最適合用作待定系數法的除數呢（學生彈幕回答）”。經過上面的一系列鋪墊，學生很容易得到“最小多項式”的結論。接下來教師才開始講解最小多項式。

分析最小多項式的特點，發現試探法求最小多項式：

分析零化多項式和最小多項式的特點，帶領學生發現，最小多項式一定以所有特征值為根，而且次數小于特征多項式，從而可以用“試探法”確定個因子的次數。

應用最小多項式和待定系數法計算矩陣多項式：

到此待定系數法的構成和最小多項式的作用已經非常清楚明了，教師再舉例計算某矩陣的最小多項式和該矩陣的高次多項式即可。

上面的這個引入待定系數法和最小多項式的方式，很自然的引導學生去思考去發現，從而能很容易的理解“最小多項式”這個概念的來源、意義與應用，同時學生在這個過程中，不僅數學思維得到了鍛煉，而且，通過自己的努力與思考解決了問題，獲得了“成就感和幸福感”。實現了知識講授和課堂思政的融合，對學生的數學素養、人格塑造和價值觀的形成都在潛移默化中實現了。

3 結束語

數學素養方面：教師在授課時，加強數學史的滲透—對知識點“追蹤溯源”。仔細剖析教材知識點，爭取將更多知識點的發展歷史與知識點之間的聯系加入教學中。陳省身先生曾說過“了解歷史的變化，是了解這門科學的一個步驟”，讓學生體會到該課程是在繼承和發展原有理論的基礎上建立起來的，是一門時刻積累和發展的學科。對于學生的數學思維的鍛煉和數學素養的培養都是非常重要的。本課程作為研究生數學公共基礎課程之一，對于鍛煉學生數學思維以及提高學生數學素養方面有較強的作用。通過該課程，鍛煉學生的數學思維能力、理解能力和創新能力以及培養學生嚴謹認真的作風和思維模式。

價值觀方面：查閱資料，爭取將更多知識點的應用加入教學中。學生每次課都在“學習知識—解決問題—發現新問題—尋求解決方案—學習新的知識”這樣的學習狀態中，慢慢體會到了自己思維能力的進步所體會到的成就與幸福的感受，是非常鮮明和令人振奮的。形成“筑夢踏實，拼搏創造幸福”的價值觀與幸福觀。同時也增加了學生“用知識服務于社會，用知識創造美好生活”的信心。

人格塑造方面：長期的學習、思考和推理的鍛煉，培養了學生認真嚴謹、踏實肯干、吃苦耐勞的精神。