本原性數學問題引領下的課堂教學模式探究

王 毳

（寧城縣高級中學，內蒙古 赤峰 024299）

什么是數學？羅素認為，數學是一種沒有內容，只有形式的邏輯體系[1]182-183。《辭海》中表述為：數學是一門研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。可以看出數學與現實若即若離，一方面，數學通過完善自身的邏輯體系而得到發展；另一方面，數學又通過建立與現實世界的聯系而獲取活力[2]32-40。數學就是這樣一門既抽象又具體的學科，那么教師如何才能將數學這門學科很好地發展傳遞下去呢？

高中新的一輪課程改革要求數學教師努力改進數學教與學的方式，倡導進行數學自主學習、數學合作學習和數學研究性學習。這類新型的教與學的方式加強了師生、生生間的對話交流，結合高中學生年齡特征、學生學習的興趣，提高了學生的課堂參與度。但是由于教師對該新型的教與學的方式的內涵、原理等方面理解不夠，所以在實施過程中出現諸多問題。調查發現，許多自稱自主、合作、研究性學習的課堂上，課堂氣氛活躍了，學生動手多了，學生說的話多了，老師說的話少了，但是學生動腦少了。學生參與到教學過程中只是表面現象，相當一部分學生只是湊熱鬧，沒有或很少有實質性的智力活動[3]57-62。

筆者認為，這種只關注外在形式，忽略數學學科本質的學習過程并沒有使學生真正獲得數學學科的核心知識與技能，領悟到數學學科蘊含的思想方法，體驗數學學科的價值及精神。這種基于知識的簡單堆積和形式上的重復訓練的“合作學習”對于促進學生理解數學基礎知識、獲得數學基本技能、提升數學素養等方面有很大的局限。如何讓教師在有限的教學時間里加強師生間的有效互動交流，提高教學效率；如何讓學生在課堂學習過程中，理解數學本質，如領悟數學思想和數學方法；如何通過提升學生學習數學的興趣，獲得高質量的課堂互動——這正是本研究的目的。

一、本原性數學問題理論

（一）本原性數學問題的內涵

不同學者從不同的視角對本原性數學問題的概念進行了如下界定：從教學理念上看，本原性數學問題追求的是從數學學科本身出發，在某個數學主題教學中讓學生掌握該主題的數學本質，經歷的是一種類似數學家的數學活動過程[4]。從問題意義上看，本原性數學問題指的是數學教學中把某個數學問題的要素或基本構成作為思考的第一問題[5]58-60。從宏觀與微觀層次上看，本原性數學問題可從兩個層次理解，宏觀上，幫助學生比較粗放地認識某個數學主題內容；從微觀上，幫助學生精細地研究某個數學核心知識與技能，引導學生理解數學思想與方法[6]43-45。

從數學學科的全局觀念上看，筆者認為，本原性數學問題就是指構成某數學主題的核心或基本要素。從知識層面上講，本原性數學問題是指能夠揭示某數學主題的基本概念，能夠聯系命題間的知識結構性問題；從思維層面上講，本原性數學問題是指蘊含在某數學定理背后的數學思想與方法，能夠激發學習數學的熱情和提升認知水平的思維方式性問題。

從數學課堂教學的角度看，本原性數學問題的來源主要有兩個方面：一方面來源于教師的教學設計，由教師根據數學學科結構體系、思想方法以及發展脈絡，設計出適合所授主題的核心知識與技能的本質性數學問題；一方面來源于學生的樸素觀點，由學生根據自身的學習習慣及認知水平，提出有關所學主題的樸素想法。前者意味著教師要有較為精深的學科素養，能夠明晰學科知識結構，掌握學科主題概念；能夠把握學科發展脈絡，梳理清楚命題間的聯系；能夠領悟學科思想方法，較為熟練地運用數學學科素養解決實際問題。后者意味著教師要有較為深厚的教學素養，能夠較為準確地把握學生的特點，敏銳地抓住學生提出的能夠反映學科主題的樸素觀點，并且合理地引導學生將樸素的觀點轉化為數學學科本原性問題[7]38-40。

（二）本原性數學問題的特征

1.存在性。本原性數學問題揭示了學科內容的要素和基本結構，是存在性的問題，需要在教學過程中發現并提出。教師的任務就是在教學過程中使學生對數學學科內容的要素和基本結構有深刻的認識與理解，促進學生對存在的數學學科知識的發現，引導學生對數學學科本原性問題的轉化與理解，領悟數學學科本質。

2.互動性。本原性數學問題為教師與學生認知領域交集的問題，它在師生、生生的教學對話、互動中產生。首先教師要對數學學科本質有較為深刻的理解，然后根據學生的特點與學習習慣，教師將學生在課堂學習過程中產生的樸素想法進行引導，最后將學生產生的觀點轉變為實質性的數學學科問題。教師的任務就是具備敏銳的觀察力，及時抓住學生的樸素觀念，聯系數學學科基本概念、方法，引導學生建立個性化的涉及數學學科本質的理解與結構。

3.開放性。本原性數學問題不拘泥于形式，問題形式多樣，不唯一，能夠揭示數學教學主題內容、核心內容及基本要素的關鍵問題即可。教師的任務為鼓勵學生面對數學學科問題時，從不同角度對數學學科概念、思想進行聯系，從而發展對數學學科本質的深刻理解，并在教學過程中努力營造平等和諧的學習氛圍，加強師生、生生間的交流對話[8]48-50。

（三）本原性數學問題的產生條件

本原性數學問題的產生條件有兩個方面：一方面要求教師要有精深的數學學科專業素養和深厚的教學素養。表現為教師能夠準確地把握數學學科發展脈絡、思想方法及結構體系，并且敏銳地抓住學生的樸素觀點，及時進行引導，上升為對數學本質的理解。另一方面要求學生要有問題意識和反思能力。表現為學生根據自身認知水平及學習習慣提出有關數學主題的樸素觀念，通過師生、生生間的交流，反思建構形成個性化的知識體系[4]。

（四）本原性數學問題的教育價值

本原性數學問題引領下的課堂教學，不但著力于學生對數學學科思想與方法的學習，而且更加關注師生間的相互學習。因此，本原性數學問題有以下兩個方面的教育價值：

1.對于學生的價值。首先，當本原性數學問題來源于教師的精心設計時，該問題有利于學生對數學學科本質的理解，將合作探究的目標指向對所學學科本質的探究和理解上，能夠幫助學生從不同側面認識數學學科知識與結構，本原性數學問題引領下的課堂教學是揭示數學學科本質的動態教學過程。其次，當本原性數學問題來源于學生的樸素想法時，該問題有利于學生對數學知識的意義建構，培養對數學學習的興趣，建立對數學學習的信心，本原性數學問題引領下的課堂教學是充滿生機與活力的學習過程。再者，本原性數學問題有利于學生形成問題意識，傳統教學方式下的學生提問往往是以師生間問答的形式進行的，缺乏創造性，這種方式培養出來的學生或許能夠成為解題高手，但是絕不會成為具有創新精神的時代人才，本原性數學問題引領下的課堂教學是以學生為主體，教師為主導的生成式教學，給學生機會提出有關于該學科的最原始、樸素的想法，教師抓住其關鍵點并進行加工，使之成為反映數學學科主題的內容。最后，本原性數學問題有利于發展學生的交流與反思能力，本原性數學問題是由師生、生生共同生成的，在課堂教學過程中需要學生學會傾聽不同的見解，并且準確地表達自己的想法，進而歸納不同看法，反思數學知識的本質，最終形成對數學學科的獨特理解。

2.對于教師的價值。首先，本原性數學問題有利于提升教師的數學專業素養，若本原性數學問題由教師在教學設計中精心準備，在課堂中合理生成，則需要教師能夠準確把握數學學科主題的本質內容，能夠掌握該教育階段數學學科內容的知識體系及數學學科的發展史，能夠具備將數學學科的發展史融入教學設計中，根據具體的教學情境，改變教學策略以激發學生的學習熱情。其次，本原性數學問題有利于發展教師的教學技能，若本原性數學問題由學生在課堂中提出，教師需要加工學生針對某數學主題內容的原始性想法，發展為能夠體現數學本質的本原性數學問題，要做到確定、引導、重組學生對數學學科的認知結構，均需要較高的教學水平。再者，本原性數學問題有利于教師提升自身的問題意識，教師要善于發現學生的樸素觀點，敏銳地抓住能體現數學學科本質的本原性問題并加以引導，教師的問題意識從何而來？不是從數學學科領域而來，而是從數學學科領域與學生的特點、學習習慣中來，是教師預設之外的問題。最后，本原性數學問題有利于提升教師的教學機智，本原性數學問題可以是教師根據所授教學內容的本質，設計好本原性問題，在教學活動中對學生加以引導；本原性數學問題也可以是學生在教學活動中自發地產生的針對教學內容的問題，這時就需要教師能夠具備將學生提出的問題轉化為符合該主題內容的本原性問題的能力[5]58-60。

二、本原性數學問題引領下的教學特征

問題引領是為達成學科教育目標所進行的思考，即通過提出適當的問題促進學生對學科知識的掌握，對學科結構體系的認識，對學科思想、方法的領悟，主要目的在于選擇適當的問題來領導組織教學，以體現學科本質，達成學科教育目標[9]4-8。

（一）從知識層面組織數學教學

從學科知識內容角度分析，本原性數學問題圍繞數學學科知識的核心內容展開，以本原性問題引領教學，能夠使學生明確數學學科某主題內容的重點與難點，掌握學科知識技能。因此這類問題即為體現學科本質的本原性問題，此類本原性問題為引領某一節課或幾節課的內容，也可以是某一階段的全部學習內容，既能體現某學科主題的核心內容，又能起到聯系其他主題的作用。通過提煉出的本原性問題，學生能夠理解所學數學學科主題的要點，能夠厘清與其他問題的邏輯關系，進而能夠建構學科知識結構。以函數主題的學習為例：

1.函數的概念的課堂教學

（1）分析函數主題學習的意義：函數是現代數學最基本的概念，是解決現實世界變量關系和規律的最基本的數學語言和工具，在解決實際問題中日益發揮著重要作用，如氣象預測、股市分析及計算科學的發展等。

（2）明確《普通高中數學課程標準（2017年版）》中關于函數主題的要求：①函數概念-函數性質-函數模型-解決問題的理解；②感悟運動變化、數形結合、極限思想等數學思想方法；③提升數學抽象、數學建模等數學核心素養。

（3）認識函數概念的核心內容主要從以下三個維度：第一個維度為變量說，函數是描述變量與變量之間依賴關系的模型，這種變量與變量之間的依賴關系為：當一個變量取一個定值，另一個變量憑借著變量之間的依賴關系有唯一確定的值與之相對應。第二個維度為對應關系說，函數是描述數集與數集之間的映射，這種特殊的對應關系可以用解析法、圖象法和列表法進行表示。對比初中有關函數的單一的表示方法，這三種函數表示法從整體上體現了函數的工具性特點：解析法簡明概括了變量間關系，方便運算；圖象法直觀形象地表示了自變量的變化和相應函數值變化的趨勢；列表法可直接獲得與自變量對應的函數值。對于這些本原性問題的探究可以更好地理解函數的本質。第三個維度為思想方法說，從數學思想上講，函數用抽象的數學符號描述了具體數集之間的對應關系的數學特征，可應用于分析、處理和解決數學問題的過程之中，在中學數學教學中具體表現為：函數與方程思想、數形結合思想；從數學方法上講，在函數思想指導下，為數學活動提供了思路和手段以及具體操作原則的途徑、方式和手段等，在中學數學教學中具體表現為：數學思維方法（例如抽象與概括）、邏輯學中的方法（例如分析法、綜合法）[10]12-16。

（4）梳理比較函數概念的安排和處理方式：①以函數概念的發展為線索介紹函數。以發展史-直觀描述-數學抽象-數學表征為順序安排教學活動。②以聯系、整合為方法學習函數。聯系初中函數概念，比較初中、高中函數異同，整合函數與方程、函數與不等式、函數與圖象等學習內容。

2.設計引領函數概念教學的本原性問題

（1）“初中階段的函數的概念是什么？”

（2）“為何到了高中階段要重新定義函數的概念？初中與高中函數概念有何異同？”

（3）“能否構建出具體的基本函數模型？”

教師應該做到通過對學科結構體系的把握，及對課標和教材的研讀，真正弄清什么是學科主題的本原性問題，什么可以看成相關問題和延續性問題。

（二）從思維層面組織數學教學

從學科思維方式的角度分析，本原性數學問題更加重視將學生的注意力由知識與技能轉化為數學學科的思想與方法，將數學方法提煉出其蘊含的數學思想，將數學思想轉化為本原性數學問題，如此便能夠更清晰、更合理、更全面地對該學科的本質進行思考。什么是數學思想與方法？數學思想的標準有兩個，其一是影響數學產生和發展的思想，其二是真正學過數學的人在思維上與普通人的區別。中學數學學習過程中所運用的方法均可提煉出其背后蘊含的數學思想，比如：列舉法，其蘊含著數學分類思想；畫圖法，其蘊含著數形結合思想；轉化法，其蘊含著化歸與轉化的思想[11]1-9。

1.函數的單調性的課堂教學

（1）函數主題性質的意義：函數的性質是變量關系所體現的運動變化過程中的規律，包括函數的單調性、函數的最值、函數的周期性、函數的奇偶性等。函數的單調性反映了函數的變化，決定了函數圖象的走勢。

（2）研究函數性質的思路：以發展學生數學思維為目標。①歸納法的思路，通過研究典型函數的性質，歸納得出函數的一般性質；②圖象法的思路，首先觀察所畫函數圖象，用自然語言描述出函數的變化規律，然后進行數學抽象，用數學語言描述函數的變化規律。

（3）函數的單調性所蘊含的數學思想方法有：變化思想、數形結合思想、運算思想、極限思想等。函數單調性所蘊含的本原性問題為：列表所蘊含的本原性問題為數學對象分類或概念劃分思想，畫圖所蘊含的本原性問題為數形結合思想，列舉所蘊含的本原性問題為數學分類思想，轉化所蘊含的本原性問題為不變量思想與等量代換方法等[12]52-55。

（4）對于函數單調性的研究分為兩個階段：第一個階段為利用不等關系的形式化定義研究函數的單調性，這個階段的基本要素和構成為：①函數變量之間與變化方向的相互依賴關系；②這種相互依賴關系是在一定范圍內討論的；③通過任意兩點大小變化關系來描述函數整體變化趨勢。第二個階段為利用導數研究函數單調性，這個階段的基本要素和構成為：①導數的符號可以判斷函數的單調性，函數圖象可以畫出；②利用函數單調性可以判斷導數的符號。

2.設計引領函數單調性的本原性問題

（1）“什么是函數單調性？能否用自己的語言進行描述和概括？”

（2）“為什么要將函數單調性的描述轉化為數學語言？”

（3）“如何描述基本函數的性質？”

教師應該利用思維方法帶動具體知識與技能的學習，引導學生深入思考不同概念、方法、問題之間的聯系，做到真正的學懂、學會、學透。

四、本原性數學問題引領下的教學流程

（一）確定教學內容

教學內容不僅局限于教材中的章節內容，而且要有很大的伸縮性，劃分形式要多樣化與個性化。以高中數學教學為例，有以下三種教學內容分類：（1）以知識內容為線索的主題類教學內容分類（函數主題、概率與統計主題、立體幾何主題等），如函數主題學習內容包括函數概念、函數性質、基本初等函數、數列、不等關系式及導數及其應用；（2）以數學思想方法為線索的方法類教學內容分類（數形結合法、待定系數法等），如以數形結合思想組織教學內容，可包括：函數與方程、簡單的線性規劃、曲線與方程及導數及其應用等；（3）以數學核心素養為線索的素養類教學內容分類（數學抽象、數學建模等），數學核心素養類的教學內容的確定較為復雜，通常伴隨主題類和方法類教學產生，如以數學抽象素養組織教學內容，可包括：函數主題與數形結合思想。

（二）分析教學要素

教學要素分析主要包括學科分析、課教分析、學情分析及重難點分析。學科分析就是從學科角度定位數學學科的本質內容（包括數學思想、數學方法以及數學核心素養），并且梳理數學學科知識結構體系。課教分析就是從課程標準分析，明確課程標準對教學內容的要求；從教材分析，把握教材對該教學內容的編排的方式和意圖，從而加深對教學內容的理解。學情分析就是教師通過日常教學了解學生學習習慣、特點等。重難點分析就是明確教學內容重點與難點，以準確地制定教學策略。

（三）確立本原性教學目標

本原性問題引領下的教學目標主要有以下幾個方面：在教學內容及要素分析的基礎上，明確學科主題的核心內容及構成，確定知識技能目標；明確數學學科思想與方法，確定思想方法目標；根據學生的認知基礎，確定符合學生認知水平的教學目標。比如函數最值的本原性教學目標可表述為：從學生認知水平上分析，什么是生活中的最值？用自然語言進行概括；從數學知識技能上分析，怎樣用數學語言進行概括函數最值？從數學思想與方法分析，如何利用典型函數方程與圖像驗證某個值是否為最值？

（四）設計本原性數學問題

本原性數學問題的設計應注意以下幾個方面：其一，要體現數學學科本質，培養學生的數學核心素養；其二，要關注學生的認知基礎與認知水平，實現師生雙方面的積極互動；其三，要重視數學學科結構與體系的展示，使問題具有連續性與延展性，能夠實現知識之間的聯系，方法之間的銜接；其四，要能激發學生學習數學熱情，并且增強學生學習數學的信心。此外，刺激學生在課堂上提出針對學習內容的樸素想法亦是很有價值的。

（五）反思與歸納

針對教學過程中產生的本原性數學問題及本原性數學問題的解決過程，反思需從以下兩個方面進行：一方面教師需要反思課堂上是否能夠準確地抓住學生提出的樸素的本原性數學問題，并且加以引導加工為實質的本原性數學問題，與學生在數學學科交流上產生共鳴；另一方面學生需要反思課堂上最終形成的本原性數學問題與數學學科實質、結構體系的聯系，能夠用自己的語言解決本原性數學問題等。歸納需從以下兩個方面進行：一方面教師需要歸納課堂上學生產生的樸素的原發性數學問題，總結學生的思維特點和學習習慣，另一方面學生應該以課堂上形成的本原性數學問題檢驗學習成果，并歸納總結形成個性化的數學知識結構[13]49-52。

五、總結

本原性數學問題引領下的課堂教學模式是從數學學科全局觀念出發，對數學教學中存在的問題進行綜合考量，提高課堂互動效率，從而幫助學生加深對數學學科本質的理解，提高學習數學的興趣。該模式的教學特征及流程均體現其具有可操作性，易于在課堂教學中展開實施。對于數學教學而言，本原性數學問題引領下的課堂教學模式豐富了數學教學模式，有助于活躍課堂氛圍，加強師生、生生間的合作交流，真正意義上實現了平等和諧的學習。對于教師而言，本原性數學問題引領下的數學教學促使教師加深對數學學科本質的理解，同時提升教師的素養和教學技能，發展教師的教學機智，真正實現教學相長。對學生而言，該模式增強了學生對于數學本質的探索，增加了學習數學的信心與興趣，讓學生學會將數學概念、理論內化為自己的知識結構，這在某種意義上真正實現了讓學生學會學習[14]16-21。