淺談混合式教學在高校課程中的應用
——以《數學分析》為例

丁 盈 李素蘭

（浙江工業大學理學院 浙江·杭州 310023）

一般來說，混合式教學是指把網絡教學的優勢和傳統教學的優勢結合起來的一種“線上+線下”的教學模式。通過“線上+線下”兩種教學的有機結合，混合式教學能引導學習者由淺到深地學習。在學習過程中，該模式既能發揮教師引導、啟發、監控教學過程的主導作用，又能充分體現學生作為學習主體的主動性、積極性與創造性。

數學分析課程是浙江工業大學健行學院理科實驗班的大一必修科目，也是很多后續課程的基礎，其重要性是顯而易見的。但這門功課對于初入大學校門的新生來說，難度較高。分析原因主要有三。首要原因是學生不易改變已有的思維方式，對抽象的概念的理解往往不到位。其次是學生不適應高校的教學模式。學生往往對教師有很大的依賴性，缺乏自主學習的能力。第三是學習方法有待提高。學生往往重視刷題而輕視歸納和應用。

健行學院理科實驗班的學生來源主要由三部分組成，一是三位一體招考入學，二是高考高分考入，三是在大一第二學期初由全校優秀學生選拔進入。總體來看，這些學生的學風端正，心態積極，綜合素質高，而且數學基礎知識比較扎實。但我們也發現，這些學生存在某些不足。例如，健行學院的學生定位較高，學生要完成的學業量要遠遠高于其他學院。這就在客觀上造成了學生精力分散、學習時間不足的現象，進而形成學生無法對所學課程深入思考，卻只能淺嘗輒止的結果。主觀上，學生與學生之間的差異較大。一些學生對上課的重點要點只能看到表象無法深入，缺乏理解能力；一些學生只能模仿，無法獨立思考，缺乏舉一反三的能力；一些學生對課堂內容掌握得較好，但無法由點到面，缺乏對知識整體性的理解；還有些學生掌握知識的能力較強，但缺乏處理實際問題能力。

對此，我們在已有的線下課基礎上，對數學分析課程進行了混合式教學模式的改革，重點增加線上課程，強調線下線上課程的結合。我們通過線上課程為學生提供教學視頻、教學電子圖書、作業實時反饋等，通過線下課程為學生精講細講課程的重點難點，與學生進行面對面的交流、互動與激勵，以期通過兩種模式的融合，揚長避短，最大限度地發揮兩種模式的優勢，因材施教，讓學生獲得個性化的教學輔助，充分享受各種有針對性的教育資源。在本次改革中我們主要做了以下工作。

1 通過線上課引導學生理解數學問題產生的背景，通過線下課給出學生解決問題的概念和方法

數學問題往往是從實際生活中產生的。因此在學習如何解決數學問題的過程中，背景介紹就不可或缺。介紹背景不僅可以幫助學生理解問題本身，也可以幫助學生透過現象看本質，逐漸養成用數學思維看問題的習慣。為此，在每次推出新的數學概念之前，我們都會在線上課中給出詳細的背景介紹。例如，在給出導數概念之前，我們會在線上課中給出用牛頓和萊布尼茲的方法分別求運動物體的平均速度和任意曲線的切線方程的背景介紹；在給出泰勒公式之前，我們會在線上課中用多項式來逼近擬合函數，用高次泰勒多項式提高精度并討論函數；在給出定積分概念之前，我們會在線上課中給出切塊求曲邊梯形面積和變速物體運動路程的模型介紹。通過網絡視頻、計算機模擬和動畫效果等線上手段，可以極大地激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，增強學生對問題的直觀感受。在此基礎上，在面對學生進行線下教學時，我們不僅可以針對問題直接給出抽象概念和操作方法，還可以在給出概念和方法之后返回實際背景，在背景中找到相應的要素，實現理論和實際的結合。這樣通過線上線下課的配合，有效地避免了學生在學完某一章節的內容后，雖然知道具體的概念方法卻不知道如何應用以及在哪里應用的現象的出現。

2 通過線下課精講細講重要的概念和定理，通過線上課厘清概念定理之間的差異

眾所周知，概念和定理是學習數學的重中之重。在學習重要的概念和定理最好采用面對面的交流與互動，這不但有利于學生反饋掌握程度教，而且有利于師掌控學生的理解情況。因此，我們在線下課中安排了精講細講重要概念和定理的環節。例如，在講解數列極限存在的“-N”語言時，我們分別從的任意性，N的存在性，以及nN的任意性等角度著手，結合幾何直觀，反復講解。在學生對概念有了一定認識之后，我們通過具體實例來尋找N，讓學生在實際操作中體會到和N的意義。我們還運用反例角度輔助學生理解和N的關系。之后，再通過介紹函數極限性質的證明，讓學生逐漸熟悉這個概念并學會應用。在線下精講細講后，為了幫助學生厘清各類概念定理之間的差異，我們在線上課專門對此進行比較。例如，我們在線上課中對數列極限存在的“-N”語言和函數極限存在的語言進行了比較。比較的重點放在N與的差別和聯系上。又如，我們在線上課中對收斂數列的有界性和函數極限存在時的局部有界性僅了比較，重點放在講清為什么后者只是局部有界而非全局有界。這樣的比較能使學生通過對前后知識進行對比梳理，加深理解,避免出現由于概念定理混淆導致解題時思路混亂的現象出現。

3 通過線上課拋出問題并引導學生多角度思考，通過線下課用多種方法解題

從不同的角度思考數學問題往往會給出不同的解法。一題多解不僅能讓學生牢固地掌握和運用知識，而且能開闊學生思路，培養學生的創造力。因此我們鼓勵學生多角度地思考問題和比較問題。我們常常在線上課中先給出一些可以一題多解的例子，拓寬學生的思路，然后拋出問題，引導學生自己從多個方面進行思考。例如，在計算極限時，我們給出不同類型的題目，提示學生從極限的定義、等價無窮小的比較、泰勒展開公式、極限的運算法則、重要極限、洛必達法則、微分中值定義、夾逼定理、單調有界定理等多個角度入手。又如，在函數求導的過程中，我們提示學生可以用從復合函數求導、隱函數求導、參數方程求導、反函數求導等多角度入手，并讓學生自行演算。在深入思考一段時間后，我們組織線下課，和學生面對面地逐一對這些題目進行講解比較。我們讓學生在黑板上展示不同的做法供大家參考借鑒，使學生能通過對不同解法的比較體會到每種解法的著眼點，相互之間的聯系和區別，以及每種解法的優勢和劣勢。這樣不僅加深了學生對問題本身的理解，而且能引導學生觸類旁通地把解法遷移到其他問題中去，從而達到一題多解的目的。

4 通過線下課詳細講解知識要點，通過線上課歸納總結對比知識點之間的脈絡關系

數學分析這門課程的內容繁多，知識點之間的關系緊密，一環扣一環。而初學者在學習過程中往往只重視當次所講的要點，而忽視要點和要點之間的關聯。時間一長，容易造成知識點割裂散碎的現象出現。于是，對知識點進行梳理，使之成為有機整體，就顯得格外重要。因此，我們一般安排在線下課中詳細講解知識要點，在線上課中歸納總結知識點之間的聯系。例如，在線下課中講了函數的可微性后，我們會在線上課中把它和等價無窮小量聯系起來；在線下講了微分中值定理后，我們會在線上總結它和函數可微性之間的關系；在線下講了泰勒公式后，我們會在線上把它和等價無窮小、函數可微性以及微分中值定理串起來講。通過這樣的串講，學生容易體會到幾個要點之間的聯系。又如，在線下講了多元函數的性質后，我們會在線上總結對比一元和多元函數的各種性質。我們從連續性、可微性、可導性等角度出發，給出兩者之間的聯系和差別，讓學生認識到多元函數不是一元函數的簡單推廣，一旦維數增加，情況的復雜程度會大大增加。在線上課的示范下，學生會逐漸學會對學習內容進行歸納總結。這些總結能使學生對自己的薄弱環節有更清晰的認識，從而促成更有針對性的高效復習。

5 通過線下批改作業指出學生錯誤原因，通過線上課統一講解易錯點和關鍵點

作業反饋是學習數學分析課程必不可少的環節，它能幫助學生明確自己在認知上存在哪些錯誤和不足。這些錯誤和不足中，有些是由于學生自身理解不到位造成的，有些是具有共性的。對這兩種類型的問題，我們采用了區別對待的方法。對于個別學生的問題，我們通過線下一對一的方式解決。我們往往采用面談的方式分析錯誤所在，中間穿插知識點的講解，并要求學生訂正。對于有共性的問題，我們會在線上課中一起講解。講解不僅包括錯誤和不足點，也包括由此引申出的相關知識點。這些講解能把學習的重點、難點和關鍵點集中起來，幫助學生辨析知識點，有助于學生系統學習知識，做到及時回顧整理，起到溫故而知新的作用。同時，對于一些線下課已經講過但對部分學生來說仍然難以掌握的問題，我們也會在線上課中重新講解，讓學生通過回放的方式反復理解直至掌握。

綜上所述，我們在本次《數學分析》混合式教學的教學改革中，通過“線上+線下”兩種教學的有機結合，為學生提供了多樣化的學習途徑，為培養學生學習的主動性、創造性提供了有力的保障。希望本次改革能對后續的其他實踐活動產生一定的參考意義。