基于混合核函數(shù)相關向量機的鉛酸蓄電池SOH估計方法研究

丁一，劉盛終，王旭東，戚艷，霍現(xiàn)旭，胡志剛

（1.國網(wǎng)天津市電力公司電力科學研究院，天津 300384；2.國網(wǎng)天津市電力公司，天津 300010；3.國網(wǎng)天津市電力公司城東供電分公司，天津 300250）

鉛酸電池儲能系統(tǒng)在電動汽車工業(yè)具有廣泛的用途。它價格低廉、比功率大、技術相對成熟，目前仍廣泛應用于供電系統(tǒng)的不間斷電源和大型光伏電站中，是供電持續(xù)性和穩(wěn)定性的重要保障。

儲能用鉛酸電池的日常維護一般是人工檢查和修理，電源中的蓄電池長期使用不當，如過充電、過放電、長時間擱置等因素，會使電池的壽命大大縮短，同時，劣化的電池也會嚴重影響整個儲能系統(tǒng)的效率和可靠性，可能導致安全事故的發(fā)生。為了延長電池組的循環(huán)使用壽命，提高安全性，電池管理系統(tǒng)（battery management system，BMS）應運而生，它負責系統(tǒng)監(jiān)控電池的狀態(tài)，合理安排電池的使用，進而延長電池的壽命，優(yōu)化系統(tǒng)的運行。許多因素需要納入BMS的運維中。電池健康狀態(tài)（state of health，SOH）可以反應電池的老化程度，是BMS重點考察和規(guī)劃的對象。通常電池在出廠時SOH被認為是100%，隨著充放電循環(huán)次數(shù)以及損耗的增加，SOH逐漸降低。SOH指標可以用電池當前狀態(tài)的最大容量與電池標稱容量的比值來確定：

式中：Qm為當前狀態(tài)電池的最大容量；Qnom為電池的標稱容量，即SOH值為100%時的容量。

相比于目前對鉛酸電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）的估計研究，對其SOH估計的研究成果較少。文獻[1]基于二階等效電路模型，采用卡爾曼濾波算法來估計電池的SOH值。文獻[2]采用支持向量機（support vector machine，SVM），對微分容量曲線特征進行了提取，產生了基于峰值的SOH估計方法。文獻[3]考察了電池的電化學機理，推導出容量損失隨循環(huán)次數(shù)變化的遞推關系，建立了容量衰減模型。文獻[4]考察了變電站中使用的鉛酸電池，發(fā)現(xiàn)其電壓變化率和內阻與SOH之間具有顯著關系，據(jù)此提出健康狀態(tài)的方案。文獻[5]基于鉛酸電池的Randles模型，用卡爾曼濾波的方法進行模型參數(shù)辨識，并離線估計其SOH值。

本文采用相關向量機（relevance vector machine，RVM）對鉛酸蓄電池的SOH進行在線估計和監(jiān)測。首先提取充電階段放電特征，然后由灰色關聯(lián)度結果建立RVM回歸模型，進而可以對新數(shù)據(jù)點進行預測，最終實現(xiàn)對電池健康狀態(tài)的在線監(jiān)測。

1 充電階段特征分析

1.1 鉛酸電池工作原理

鉛酸電池屬于二次電池，具有可逆的正負極化學反應。二氧化鉛、海綿鉛和稀硫酸分別是其正負極材料和電解溶液，充放電反應遵循“雙硫酸鹽化理論”，既正負極都會產生PbSO4。

放電時，二氧化鉛和海綿鉛以及電解液反應生成硫酸鉛和水。方程式為

放電初，正負極活性物質上的H2SO4濃度首先被消耗，濃度下降較快，而電解液中的硫酸不能及時向電極表面擴散以補償反應消耗，導致正負極物質表面的H2SO4濃度降低。電極表面的硫酸濃度是電壓的重要影響因素，故電池端電壓下降迅速。電解液中的硫酸逐漸擴散到電極表面以補償反應消耗，放慢了電壓的下降速度。放電一段時間后，生成物硫酸鉛擴散至活性物質里面，降低其孔隙率，造成硫酸越來越難以進入活性物質內。且電解液中的硫酸鉛不易導電，造成其電阻增加，電池輸出的能量降低。

充電時化學反應如下：

充電初，附著在活性物質上的硫酸由于生成物中的硫酸而得到快速補充，電池端電壓迅速恢復，當活性物質內外的硫酸濃度達到飽和狀態(tài)時，端電壓的增長放緩。隨著正負極極化反應加劇，正負極的電勢差加大，正負極分別有氧氣和氫氣析出，抬高了充電輸出電壓。

鉛酸電池放電階段具有不確定性和隨機性，而充電階段的特征較為分明，故本文提取該階段的典型特征來分析和建模。電池充電方式主要有恒壓、恒流和階段充電[6]。恒壓充電是整個充電過程都對電池施加恒壓，剛開始充電電流較大，容易對電池造成沖擊；恒流充電則是在充電過程中對電池施加恒定電流，適用于電池串聯(lián)較多的場合，容易造成較多氣體溢出，充電效率不高。而階段充電法將兩者結合。一般采取先恒流再恒壓的方式，這種充電方式較為“溫和”，可以減弱對電池的沖擊，并保證較高的充電效率。

1.2 充電階段特性分析

實驗所用電池與文獻[7]中的電池同型號，常溫下的電池基本參數(shù)如下：額定容量200 A·h，循環(huán)充電電壓（14.70±0.18）V，最大充電電流50 A。

電池容量衰減實驗的實驗步驟如下：1）20 A恒流充電；2）當端電壓達到14.4 V時，轉為恒壓充電，當充電電流降到2.4 A時，充電過程結束；3）40 A恒流放電，放電過程用傳感器記錄放電電流和時間數(shù)據(jù)，用安時計量法計算實際容量；4）端電壓達到截止電壓1.6 V時，一個充放電循環(huán)結束；5）重復步驟1）～步驟4）55次。電池容量退化趨勢如圖1所示。

圖1 電池容量退化趨勢Fig.1 The degeneration trend of battery capacity

圖2為兩階段充電的電壓電流變化曲線，恒流過程開始時，電壓迅速增大，當電壓達到14.5 V左右時，轉為恒壓階段，此后電流衰減，降至2.4 A，然后進行涓流充電以保護電池，此時充電過程基本結束。

圖2 階段充電的電壓電流變化曲線Fig.2 The curves of current and voltage for stage charging

實驗分別記錄了單個電池第5次、第15次以及第55次充電循環(huán)的充電過程。值得注意的是，隨著實驗循環(huán)次數(shù)的增大，由于電池的容量的不斷衰減，兩階段的放電時間逐漸減小。

由圖2知，各階段的充電時間都隨著電池容量的損失而變短，表現(xiàn)出良好相關性。分別考察每次循環(huán)后的充放電時間同容量和循環(huán)次數(shù)的變化趨勢，得到圖3。

圖3 充電時間的變化趨勢Fig.3 The changing trend of charging time

由圖3易知，恒壓、恒流充電階段時間和充電總時間隨容量衰減而變化顯著。將恒流充電時間與恒壓充電時間的比值作為第4個充電特征。恒流恒壓兩階段充電時間和總時間分別為T1，T2和T。下面定量刻畫T1，T2，T，T1/T2對容量衰減變化的敏感程度，即灰色關聯(lián)度。

將蓄電池容量序列為回歸模型輸出，T1,T2,T3,T1/T2序列：{xi(k)},i=1,2,3,4為回歸輸入，用下式計算各比較序列同參考序列間的關聯(lián)性：

結果如表1所示，通過對比發(fā)現(xiàn)，T2的作用最為顯著，因此本文用T2時間序列和鉛酸電池的容量序列來建立RVM模型，用于SOH估計。

表1 灰色關聯(lián)度分析結果Tab.1 Results of grey relevance analysis

2 RVM模型的建立

前文已經(jīng)對鉛酸電池充電特征進行灰色關聯(lián)度分析，并提取出恒壓充電時間作為健康特征進行分析。本節(jié)基于健康特征和容量數(shù)據(jù)關系建立相關向量機[8]回歸模型，實現(xiàn)對SOH的在線估計。

相關向量機（RVM）是一種基于貝葉斯框架的新穎的監(jiān)督學習方法，與支持向量機（SVM）[9]相比，在RVM計算中，只考察非零權重構成的向量既相關向量，因而減小了計算負擔，且核函數(shù)的選取更為自由。由于它具有許多SVM的優(yōu)良特征，同時又避免了SVM主要的局限性，在回歸分析中占有重要的位置。

式中：w為權重向量。

RVM模型輸出為

式中：K(x,xi)稱為核函數(shù)[10]；w0為權重偏值。

在RVM中，核函數(shù)是溝通低維變量間的非線性關系和相應高維變量的簡潔映射的橋梁，核函數(shù)的選取是RVM建模的關鍵一環(huán)。高斯核函數(shù)和多項式核函數(shù)在RVM建模中較為常見，它們的性質如表2所示。

表2 兩種核函數(shù)的性質比較Tab.2 Comparisons of two kernel functions

兩種核函數(shù)的表達式分別如下所示：

式中：r為Gaussian核寬度。

鑒于兩類核函數(shù)具有互補的優(yōu)勢和特點，引入權值w(0≤w≤1)將它們組合成混合核函數(shù)，將高斯核函數(shù)的局部優(yōu)勢和多項式核函數(shù)的全局能力相結合，使模型具有更強的泛化能力?；旌虾撕瘮?shù)的表達式如下：

選好核函數(shù)后，通過擬合輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的非線性映射關系來訓練核函數(shù)參數(shù)，建立RVM回歸模型。當有新數(shù)據(jù)輸入時，可以據(jù)此計算目標輸出值的均值和方差，既預測目標輸出。RVM回歸過程的詳細數(shù)學推導參見文獻[6]。

3 模型參數(shù)優(yōu)化

核函數(shù)的帶寬參數(shù)r和權重系數(shù)w顯著影響RVM的效果，直接決定了分類和回歸的準確性。為了提高RVM的回歸能力，獲得更好的估計結果，需要優(yōu)化r和w以減小訓練誤差，本文采用一種變概率遺傳算法（variable probability genetic algorithm，VPGA）對多核函數(shù)的參數(shù)進行優(yōu)化。

遺傳算法（genetic algorithm，GA）[11]是基于進化論的思想而產生的一種隨機群優(yōu)化算法，具有較好的全局搜索性能和局部調節(jié)能力，而且不要求提供目標函數(shù)的導數(shù)信息，適應于目標函數(shù)復雜、離散或難解析的情形。適應度函數(shù)選取RVM模型訓練結果的平均相對誤差，如下式所示：

在種群進化的過程中，交叉和變異操作決定了進化的方向，影響更優(yōu)個體的產生。分別由交叉、變異概率Pc,Pm來控制，前者通過交換個體間染色體的一段編碼來獲取較優(yōu)個體，保證算法的全局性，后者通過改變個體某一位的基因序列來獲取新個體，進行局部微調。在進化前期，種群較分散，增加Pc同時減小Pm，能夠擴大全局搜索的范圍，同時避免由于隨機變異而錯失優(yōu)秀個體；在進化后期，種群較集中，交叉操作的重復性增強，此時減小Pc同時增大Pm，有助于產生新個體以跳出局部最優(yōu)解。傳統(tǒng)GA一般設Pc,Pm為常數(shù)或線性自適應調整[12]。常數(shù)不能滿足上述變化的要求，線性調整無法及時響應種群多樣性的變化速度。鑒于此，本文設計了下2式來自適應地計算交叉、變異概率：

式中：fav為所有個體的平均適應度；fmax,fmin分別為最差個體和最優(yōu)個體；k1，k2為調節(jié)因子。

適應度的變化曲線選取指數(shù)形式可以滿足快速響應的需要，即當(fav-fmin)/(fmax-fmin)變化時，exp[(fav-fmin)/(fmax-fmin)]能夠更快地變化。此外，選取每一代的最優(yōu)個體，不參與下一代的交叉和變異操作，這是為了防止該個體被不當操作而破壞。然后將其復制k次，來替換下一代種群中表現(xiàn)最差的k個個體，k值由下式確定：

式中：[·]為取整函數(shù)。

當種群較分散時，k較大，快速淘汰不良個體；當種群趨于一致時，采取較小的k，避免陷入局部最優(yōu)。采取這種策略可以更好體現(xiàn)“優(yōu)勝劣汰”的進化規(guī)則。

VPGA的流程圖如圖4所示。

圖4 VPGA算法流程圖Fig.4 The flow chart of VPGA

采用VPGA算法對RVM的混合核函數(shù)的參數(shù)進行優(yōu)化，優(yōu)化過程中適應度值的變化如圖5所示。

圖5 適應度下降曲線Fig.5 The decline curve of the fitness

在迭代過程中，適應度快速下降，在迭代8次左右以后，適應度的值穩(wěn)定在一個極小的值附近，即核函數(shù)的參數(shù)收斂到最優(yōu)取值附近。

最優(yōu)參數(shù)值為：r=143.27,w=0.87，此時平均相對誤差fitness的最優(yōu)值為0.000 488。

4 在線SOH估計方法驗證

為了驗證所提出的SOH估計方法的有效性，本文使用恒壓充電時間序列作為RVM的模型輸入，容量序列作為輸出，訓練RVM模型，訓練回歸效果和擬合誤差分別如圖6、圖7所示。最大誤差小于0.4%。

圖6 模型回歸曲線Fig.6 The regression curve of the model

圖7 模型回歸誤差Fig.7 The regression error of the model

采用k-重交叉驗證法[13]（k-fold cross validation）來驗證回歸模型的預測效果，實施過程如下：將充電階段數(shù)據(jù)集隨機分成4組，隨機地抽取3組數(shù)據(jù)作為訓練集訓練模型參數(shù)w和r，用另外的一組數(shù)據(jù)作為測試集測試估計效果。共進行4次循環(huán)實驗，對數(shù)據(jù)點進行訓練和估計，各組預測及實測誤差如圖8～圖11所示，具體數(shù)值在表3中列出。從表3可以看出，訓練好的RVM估計模型在對新數(shù)據(jù)進行預測時，估計結果仍具有很好的準確性，單個數(shù)據(jù)點的預測誤差在0.6%以內。這說明該模型具有較好的泛化能力和非線性擬合能力，能夠實現(xiàn)對鉛酸蓄電池健康狀態(tài)的精準估計。

圖8 第1組估計結果及誤差Fig.8 Group1 estimation results and errors

圖9 第2組估計結果及誤差Fig.9 Group2 estimation results and errors

圖10 第3組估計結果及誤差Fig.10 Group3 estimation results and errors

圖11第4組估計結果及誤差Fig.11 Group4 estimation results and errors

表3 電池容量預測偏差Tab.3 The prediction error of capability of battery

實時性和快速性是在線估計的重要特征，下面考察本算法的運行時間。4次仿真實驗的計算時間如表4所示。

表4 RVM運算時間Tab.4 The calculation time of RVM model

由圖6可知，遺傳算法進行到10代左右就能可靠地收斂到較優(yōu)水平，故模型的訓練不需要太長時間?；赩PGA優(yōu)化的RVM模型用于SOH估計的總時間在3 s以內，計算速度較快，能夠滿足在線估計的需要。

5 結論

針對在鉛酸蓄電池容量老化過程中，其SOH不易高效和精準測算的問題，本文提出了一種基于RVM回歸模型的鉛酸蓄電池在線健康狀態(tài)估計方法。通過對電池容量衰退現(xiàn)象的觀察，并結合灰色關聯(lián)度計算，提取了蓄電池充電階段時間的健康特征，選取關聯(lián)度最高的電池恒壓充電時間來反映電池容量的退化趨勢。用VPGA對混合核函數(shù)的權重系數(shù)和帶寬參數(shù)進行訓練和優(yōu)化，建立了基于相關向量機的容量退化模型。實驗結果表明該模型可以有效建立起SOH值和充電階段恒壓充電時間的關系，實現(xiàn)了對鉛酸蓄電池健康狀態(tài)的精確快速在線估計。本文可為今后電池管理系統(tǒng)的研究提供依據(jù)，有較大的參考價值。