對含參函數的教學探究

◎陳圣文 （福州時代中學，福建 福州 350007）

含參函數就是函數中含有不能確定的常數，求解時需要對該常數的取值（大小或正負）進行討論，這樣的函數問題就是所謂的“函數的含參問題”．含參函數經常作為中考數學的壓軸題出現，因此含參函數的重要性不言而喻．新課程標準指出：應充分考慮本階段學生數學學習特點，各個領域學生的認知規律和心理特征，這樣有利于激發學生的學習興趣，引發數學思考；充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質；在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程．教師在實際教學中發現學生在解決含參函數問題時存在很多不足，因此本文嘗試以幾道中考題為例進行分析，以期能尋求高效的解題思路和方法，提高學生的解題能力．

學生解決參數問題的最大困難是什么？ 就是根本不理解參數代表什么意義．例如在學習一次函數時，出現這樣的一次函數y＝kx＋k（k≠0），有些同學就會忽略這個函數隱含的條件，也就是當x ＝-1 時，y ＝0，即這條直線過定點（-1，0），所以參數k 起何作用？ 我們在這里就要給學生介紹清楚，k 會改變，但不變的又是什么，如果一次函數講清楚了，到學習二次函數y＝ax2-2ax＋a（a≠0）時，學生就會發現，這個二次函數隱含了很多信息，比如它的對稱軸為直線x ＝1，頂點為（1，0）．

在二次函數中有一題：

例1已知A（0，1），B（2，1），若函數y＝x2-2kx＋k2＋k（k-1≤x≤k＋1）的圖像與線段AB 恰有一個公共點，求k 的取值范圍．

在這道題中，學生認為困難的地方在哪兒？ 函數如果能夠配方為y＝（x-k）2＋k，不難發現頂點為（k，k），但問題在于，自變量取值范圍也同樣含參，那怎么破解？ 這可是多數同學望而卻步的難點，仔細觀察發現連不等式兩邊都有k，如果消參數k，則兩式對減得（k＋1）-（k-1）＝2，所以它是一條定長為2 的線段，如果僅到這一步，學生仍無法入手，再發現連不等式兩邊都有1 與-1，所以兩式對加，我們發現（k＋1）＋（k-1）＝2k，所以這條線段是關于直線x ＝k，即拋物線的對稱軸對稱的．那么這題所有的問題就迎刃而解了，所以首先從學生畏懼點入手，才是解決問題的關鍵．

接下來我們再以一道最值問題來研究，這是初中數學中常見的問題，也是含參函數中經常出現的問題，如何巧妙解決最值問題是十分值得思考的問題．

例2已知拋物線y＝mx2＋（m-2）x-2m＋2（m≠0）．

（1）求證：拋物線與x 軸有交點．

（2）若拋物線與x 軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且點A在點B 的右側，x1＋2x2＝1．

①求m 的值；

首先，題目很簡潔，二次函數含參數m，m 起的作用是什么？ 對下面的問題有何影響？

第（1）問是最基礎的考點，主要考查Δ 的應用，通過Δ＝（m-2）2-4m（-2m＋2）＝9m2-12m＋4 ＝（3m-2）2≥0 來證明拋物線與x 軸有交點．這問中m 起什么作用？ 可以喚起學生對含參問題的討論，如果不配成完全平方式，又變成了關于m 的二次函數，還要繼續討論新拋物線與x 軸的交點情況，所以采用配方（即代數法）來完成．可見參數確實會干擾部分同學解題．第（2）問的第一步是求m 的值，這時，我們可以來解決m 的影響，有了參數m，拋物線哪些是變化的，哪些是不變的？ 通過（1）不難發現，Δ 可化為完全平方數，說明該拋物線與x 軸交點是可以計算的，不管是用因式分解法還是公式法都可以算出兩個交點為（1，0）和可見m 會影響其中一個交點．所以這里面就涉及了分類討論的數學思想，由參數m 控制的這個點在（1，0）的左邊還是右邊，再求拋物線的對稱軸為直線然后代入拋物線解析式求解m．第（2）問中的②引入了新的參數n，點有什么意義？ 這就是縱坐標可以看成關于橫坐標n 的一次函數，即G 是直線上的點，從而通過數形結合，求解得出PG 的最小值．

從上面這道中考題來分析，可以說從一維的數軸開始，從變量產生開始，到二維的平面直角坐標系，函數與變量就緊密地聯系在一起了．在教學過程中，教師要重視變量起的作用，含參的目的是讓變量有更多種可能，在教學中思考，如果含參了，哪些是變的，哪些是不變的．教師也要指導學生發現參數的作用在哪兒，對解題的影響有哪些？ 這樣學生就不懼問題了．而對于函數教學，教師要使學生了解變量之間的關系，就不可避免地要結合函數的圖像，因為圖像對函數起著至關重要的作用．對于初中函數教學來說，圖像的變化在教學中常常屬于正向教學，即給出變化方式，再進行函數形式討論，這實際上壓縮了學優生的思維廣度．在函數圖像變化的教學中，教師要適當進行逆向教學，即給出變化后的函數形式，逆向思考這是怎樣的變化，這對于學生來說是大有益處的，也會讓學優生在完成義務教育階段之后，更快地適應高中千變萬化的數學學習．

再看一題：2019 年廈門一檢試題，來分析：在含參函數中經常出現求拋物線中幾何圖形的問題，縱觀近些年來，不論是廈門中考還是福建省考最后的壓軸大題，都是以含參問題不同的形式作為考題出現在試卷中的．

例3在平面直角坐標系xOy 中，點A（0，2），B（p，q）在直線l 上，拋物線m 經過點B，C（p＋4，q），且它的頂點N 在直線l 上．

（1）若B（-2，1）．

①請在平面直角坐標系中畫出直線l 與拋物線m 的示意圖；

②設拋物線m 上的點Q 的橫坐標為e（-2≤e≤0），過點Q 作x 軸的垂線，與直線l 交于點H．若QH ＝d，當d 隨e的增大而增大時，求e 的取值范圍．

（2）拋物線m 與y 軸交于點F，當拋物線m 與x 軸有唯一交點時，判斷△NOF 的形狀并說明理由．

此題題干就含p，q 兩個參數，在問題（1）的設置中，添加條件“若B（-2，1）”，則參數p，q 不再起作用了，都可以求出，而在（1）的第②問中，又引入Q 的橫坐標為e，并繼續添加“QH＝d”，這樣多了兩個參數e 與d，進一步把難度加大，那這兩個參數之間有什么聯系就是此題的突破口．經分析發現d 實際上就是點Q 與點H 的縱坐標差，故只要將Q，H縱坐標用含e 的代數式表達即可．在第（2）問中，又回到最初的主干信息，點B（p，q），點C（p＋4，q）這兩點中的參數p，q 到底起什么作用，它們之間的聯系又是什么就成為思考的線索了．發現，這兩點縱坐標相同，兩點又都在拋物線上，于是可知這兩點關于對稱軸對稱，接下來就是頂點問題了，頂點在x 軸上，故頂點可以用含p 的代數式表示，即N 為（p＋2，0），又因為頂點N 在直線l 上，點A，B 又在直線l 上，所以直線l 又可以用含p，q 的代數式表示，所以就又形成新的p，q 關系式，接下來的問題就迎刃而解了．當然此題還涉及根據點的坐標判斷三角形的形狀，求出相應點坐標和拋物線的解析式，然后判斷三角形的形狀．如果學生解決這一類題目有些困難，那么教師可以考慮為學生準備一道類似的證明題，通過這樣的反復練習夯實基礎，學生在解決這樣的問題時會變得游刃有余，對于這方面內容可另外研究．

由此可知，含參問題不可怕，就是不斷從中找出參數間的聯系，而這種聯系往往相互制約，為了達到最簡捷的目的，就是將多元參數盡可能消元，即利用我們的消元思想．而這種消元意識完全可以在平常教學中滲透．回歸初一課本，在二元方程中的消元不正是我們解決問題的源頭嗎？ 同時，了解函數及其圖像必不可少，像上題中，找到不同參數的關系，同樣是借助函數圖像來解決問題的，教學中既要回歸課本，也不能拘泥于課本．

目前含參函數的題型越來越受到關注，這使得我們接下來的教學啟發和教學方向越來越清晰，當函數的題目不再幾何化，而是回歸函數本質時，提升學生解決含參問題的能力就顯得越發重要了．而在高中階段，教師培養學生從不同角度對函數的性質與變化進行理解是非常必要的．函數的魅力在于其無窮的變化，含參讓函數回歸本質，教學的腳步也應該跟上這種變化，這樣才能讓我們與時俱進，不斷提升自我，讓學生真正體會到函數的魅力．希望本文可以起到拋磚引玉的作用，為學生解題提供好的思路和方法．