聚焦直線方程與圓的方程中的數學思想

直線與圓是高中數學的重要內容之一，在直線與圓的解題中蘊含著重要的數學思想，如函數與方程思想、分類討論思想、化歸與轉化思想等。下面例析直線與圓中的數學思想的具體應用。

一、函數與方程思想

例1 過點P（2，1）作直線l，分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B，當PA·PB取得最小值時，求直線l的方程。

解：顯然直線的斜率存在且k<0，設直線l的方程為y-l=k（x-2）（k<0）。令y=0，得令x=0，得B（O，1-2k）。所以當且僅當k=-1時取等號。所以直線l的方程為x+y-3=0。

點評：先根據條件設出直線的方程，再根據題目條件建立PA - PB的目標函數，最后利用二次函數求出該函數的最小值，從而解決問題。

二、分類討論思想

例2 討論直線l：：3x+4y+m=0與圓C：x2+y2=2x=O的位置關系。

解：先求得圓C的圓心為C（l，O）和半徑x=l，再求得圓心C到直線l的距離d=最后按，三種情況討論直線與圓相交、相切、相離時m的取值范圍。

當即-82時，直線與圓相離。

點評：對含有參數的數學問題進行求解時，要注意運用分類討論的數學思想，分類要正確、嚴密，做到不重、不漏。

三、轉化與化歸思想

例3 已知m∈R，直線和圓C

（1）求直線l斜率的取值范圍。

（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為1/2的兩段圓弧？為什么？

解：（1）直線l的方程可化為斜率，即當k=0時，m=O;當k≠O時，由△≥O，得，即

綜上可得k的取值范圍是

（2）不能。由（1）知l的方程為y=圓C的圓心為圓心C到直線l的距離，由，得l，故。從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦對應的圓心角小于120°，所以l不能將圓C分割成弧長的比值為1/2的兩段弧。

點評：本題中利用圓的幾何性質，把弧的長度比轉化為角度的范圍，體現了轉化與化歸思想。

作者單位：河南省羅山高級中學高三（1）班