精準畫圖方能準確答題

在幾何題的解答過程中，一般都需要畫“草圖”來幫助審題、理解題意和分析數(shù)量關系，使繁雜的題設變得清晰，抽象的問題變得直觀，從而輕松地解決實際問題。然而很多時候，學生因為“草圖”畫得太隨意，導致解答不準確。下面通過一個實例，來談一談畫好“草圖”的重要性。

一、試題呈現(xiàn)

已知□ABCD的周長為28，自頂點A作AE⊥CD于點E，AF⊥BC于點F。若AE=3，AF=4，則CE-CF=____.

二、學生答題情況

學生1：如圖1，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠B=∠D，AB=CD，AD=BC。又因為AE⊥CD，AF⊥BC，所以∠AED=∠AFB=90°，△ADE∽△ABF，因為AD+CD+BC+AB=28，即AD+AB=14，所以AD=6，AB=8，在Rt△ADE和Rt△ABF中，DE=所以CE=CD-DE=8-3，CF=BC-BF=6-4，CE-CF=2+。

學生2：這道題需要分類討論，應該還有一種情況，就是高AE和AF在平行四邊形的外部。因為這種情況的圖還沒畫出來，暫時得不出答案。

經(jīng)過學生2的提醒，我們知道本題應該分為兩種情況，高在平行四邊形外部的情況我們待會再研究，我們先來看看學生1給出的思路是否準確，有沒有不同的觀點？

學生3：可以用“等積法”求□ABCD的兩邊，因為BC·AF=CD·AE，即4BC=3CD，所以。又因為BC+CD=14，所以BC=6，CD=8。

甚至可以得出結論：平行四邊形兩邊之比與兩邊邊上的高之比正好相反。到此，再來看一看學生3的結果和學生1的結果是不是一樣。學生3的思路很好，遇到與高相關的問題能想到用“等積法”，這一方法值得借鑒，但是還有其他學生給出了其他解法。

學生4：學生1和學生3的思路很好，求平行四邊形兩邊長的方法不同，但各有千秋，只是最終的答案并不準確。因為點F不在邊BC上，而在BC的延長線上，如圖2。所以CF=BF-BE=4/3-6，因此CE-CF=14-7/3。

那么為什么點F在BC的延長線上？

學生4：BC-6，BF=4/3，由于4/3>6，即BF>BC，因此點F在BC的延長線上。或者在Rt△ABF中，直角邊AF=4，斜邊AB=8，容易想到∠ABC=30°，之后準確畫出圖形（按條件：AD=6，AB=8，∠ABC=30°），點F自然在BC的延長線上。

由此我們看出學生4的分析很有道理，考慮問題非常細致，看來學生1和學生3的解答是錯誤的，主要是因為畫圖時過于隨意，所以我們在畫圖輔助解題時一定要盡可能地考慮到題目已知條件對圖形的限制。

在之前獲取的知識的基礎上，我們來畫圖解決學生2提出的“高在平行四邊形外部”這種情況。

學生5：如圖3所示，因為CE=CD+DE=8+3/3，CF=BC+BF=6+4/3，所以CE-CF=2-/3。綜上可得，CE-CF=14-7/3或2-/3。

畫這種情況的圖形時，可先思考出在平行四邊形外部的高AF是它所在直角三角形的斜邊AB的一半，因此∠ABC的外角應該是30°，所以畫圖時應使□ABCD中的∠ABC=150°。

作者單位：安徽省六安皋城中學