例談含根式函數(shù)值域的求解方法

求函數(shù)值域是高考的重點(diǎn)及熱點(diǎn)，很多問(wèn)題最后都轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域得以解決。其中求含根式的函數(shù)值域是特殊的一個(gè)類型，平常大家碰到的頻率也較高，其求解思路多樣，方法多變，下面對(duì)這一類問(wèn)題的幾種求解策略進(jìn)行舉例分析。

一、函數(shù)單調(diào)法

例1 求函數(shù)的值域。

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋蓮?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，故其值域?yàn)椤?/p>

啟示：利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題是最常用的方法，解題時(shí)可預(yù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，充分抓住函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

二、換元法

例2 求函數(shù)的值域。

解：該題與例1相差一個(gè)符號(hào)，若利用單調(diào)性求其值域，會(huì)發(fā)現(xiàn)在定義域內(nèi)，為單調(diào)遞減，故函數(shù)整體的單調(diào)性不顯著。此時(shí)，可采取換元法，令t=則，所以該函數(shù)為開(kāi)門向上的拋物線一部分，最小值取在對(duì)稱軸t=l處，故其值域?yàn)閇-1，+∞）。

啟示：換元法可將含根式函數(shù)變?yōu)槌醯群瘮?shù)，而初等函數(shù)值域的求解一般較為簡(jiǎn)單，需要注意的是換元后的新函數(shù)定義域發(fā)生了變化。

三、平方法

例3 求函數(shù)y=的值域。

解：先找到函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，將函數(shù)兩邊進(jìn)行平方，可得萬(wàn)，發(fā)現(xiàn)∈[O，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

啟示：該種方法適用于兩個(gè)根式內(nèi)x項(xiàng)的系數(shù)恰好互為相反數(shù)的情況，因其平方后，平方項(xiàng)的和可變?yōu)槌?shù)。此外，變量x便集中在一個(gè)根式內(nèi)，可有效降低分析難度，利于值域的順利求解。

四、導(dǎo)數(shù)法

例4 求函數(shù)y=的值域。

解：該題和例3也相差不大，為兩個(gè)根式相加，若采用平方法，變量x還是沒(méi)能全部集中于根號(hào)內(nèi)，不利于求解值域。此外，其單調(diào)性也不直觀，可采用導(dǎo)數(shù)法。函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)函數(shù)求導(dǎo)得得x∈（1/4，1]，此時(shí)函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)遞減，同理可得函數(shù)在上遞增。故其值域?yàn)?/p>

啟示：利用導(dǎo)數(shù)尋找函數(shù)的單調(diào)性·通過(guò)單調(diào)性得到值域。這種方法應(yīng)該是求函數(shù)值域時(shí)萬(wàn)能的方法，一般川在函數(shù)較為復(fù)雜或者其單調(diào)性不顯著時(shí)。

五、小結(jié)

求解函數(shù)的值域足一個(gè)非常基礎(chǔ)且重要的知識(shí)點(diǎn)，不同類型的函數(shù)，在求解值域過(guò)程中所使用的方法不盡相同，這與函數(shù)本身的性質(zhì)密切相關(guān)。含根式的函數(shù)只足眾多函數(shù)中的一種外在表現(xiàn)類型，可以肯定的是，上述所提到的方法對(duì)其他類型的函數(shù)也有適用的地方。此外，同一函數(shù)也存在多種求解值域的方法。

作者單位：江蘇省姜堰中學(xué)