一道高考題的解法探究

例題 （2016年全國Ш卷）定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，an中O的個數不少于1的個數。若m=4，則不同的“規范01數列”共有（

）。

A.18個

B.16個

C.14個

D.12個

答案：C

探究一、用分步計數原理

解：由題意，{an}中共有8項，4項為O，4項為1，且第一項為O，第八項為1，且要符合對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數。如圖l所示，此時可按項數從小到大分步作答，但關鍵是只要前面出現3個O，即結束討論，分步如下。

（1）當第二項、第三項均為O時，共C41種情況;當第三項為1，第四項為0時，共C13種情況;當第四項為1時，第五項只能為O，共C12種情況。如圖2。

（2）當第二項為1時，第三項只能為O，當第四項為O時，共C13種情況;當第四項為1時，第五項只能為0時，共q種情況。如圖3。

綜上，共有C14+C12+C12+C13+C12=14（種）。

探究二、用分類計數原理

解：由題意，{an}中共有8項，4項為0，4項為1，且第一項為O，第八項為1，且要符合對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中O的個數不少于l的個數，分為以下幾種情況：

（1）前4項均為0，后4項均為1——共1種情況;

（2）前4項3個0，1個1，后4項1個O，3個1——共C23C13種情況;

（3）前4項2個O，2個1，后4項2個O，2個1——共2×2種情況。

所以，共有1+9+4=14（種）情況。

探究三、構造路徑問題，通過標數法解題

解：在直角坐標系下，若向右走1個單位代表o，向上走1個單位代表1，該題可轉化為在4×4方格y≤x的區域內，從o點走到A點的最短路徑的條數。如圖4所示，給經過的每一個格點（i，j）[數學上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數的點稱為格點（lattice point）或整點]標數，數字為從O點到點（i，j）的最短路徑條數，除y=x上格點（i，i）標的數字和格點（i，j-1）相同外，其余y

注：圖4中標在y=x上格點的數字又稱為“卡特蘭數”。

進一步歸納：

定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1a2，…，ak中0的個數不少于1的個數，則不同的“規范Ol數列”共有個。

作者單位：河北省邯鄲市第一中學

此文是河北省教育科學研究“十三五”規劃2018年度一般課題“高中數學‘變式訓練’的策略探究”（課題編號：1804082）的階段性成果。