品味高考題的一題多解

一、研究背景

課程改革后，課時減少，習題課也大幅度減少，導致同學們接受、記憶、模仿的做題方式占主導地位。從而導致同學們出現思維定式、思維狹窄的現象，對于開拓同學們的思路、創新性的思考極為不利。而一題多解正是從相同的題目出發，利用不同的思路、不同的知識點、不同的方法而達到共同的目的，即殊途同歸。一題多解是一種鼓勵同學們深入思考的好方式，使同學們不僅關注已有的老思路、老想法，而且可以在已有知識的基礎上盡情舒展自己的思路，可以有效地培養同學們的主動性，以及開闊同學們的思維，促使同學們去創新、去思考，使同學們逐步形成解題的靈活性與解題技巧。同時鼓勵同學們在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣。所以，一題多解對于推動新課程的實施和培養同學們的發散思維具有重要意義。

二、一道高考題的三種解法

題目 （2012年高考山東）設函數（a，b∈R，a≠0）。若y=f（x）的圖像與y=g（z）的圖像有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1），B（x2，y2），則下列判斷正確的是（

）。

A.當a<0時，X1+x2<0，Y1+Y2>0

B.當a<0時，x1+x2>O，Y1J+Y2<0

C.當a>0時，x1+x2

D.當a>0時，x1+x2>0，Y1+Y2>0

解法一：令，則。（x≠o）。設F（x）=ax3+bx2，F'（x）=3ax2+2bx。令F'（x）=3ax2+2bx=0，則x=，要使y=f（x）的圖像與y=g（x）圖像有且僅有兩個不同的公共點，只需，整理得4b2=27a2。于是可取a=±2，b=3來研究，當a=2，b=3時，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2=1/2，此時Y1=-l，y2=2，x1+x20;當a=-2，b=3時，-2x3+3x2=1，解得X1=1，，此時Y1=l，Y2=2，xl+x2>O，Y1+y2<0。答案為B。

解法二：令f（x）=g（X），可得。結合圖1可知與aX+b有兩個交點，不妨設xl0時，如圖2所示，|X2|>|x2|，即-x1>x2>0，此時即y2>0;同理由圖形經過推理可得，當a<0時x1+x2>O，y1+y2

解法三：由y=f（x）的圖像與y=g（x）圖像有且僅有兩個不同的公共點，得ax2+bx，所以關于ax3十bx2-1=O（a≠O）有兩個不同的解，即三次方程有兩重根。不妨設重根為x1，則有ax3+bx2-1=a（x-x1）2（x-x2）=0，從而有即，所以當a>0時，x2>0，則x1+x2答案為B。

作者單位：江西省萍鄉市湘東中學