巧用“活水”引“抽象”

高中階段抽象函數的第一課是求其定義域，由于剛進入高中的學生邏輯思維能力不強，上完課后仍無法理解本節內容，有的通過死記硬背老師總結的求法結論，導致最后不求甚解。因此，在學習這一節課時，我們可以從熟識的已知函數解析式的定義域出發，以題（知）出發，題（知）情交融，能收到很好的學習效果。

1.新知引入

經過一段時間的學習，同學們已經學習了如何求已知函數的定義域，下面讓我們一起來求函數的定義域。

分析：由x-9≥O，易得f（x）的定義域為[9，+∞）。

那么如何求函數f（x2）的定義域呢？

分析：由x2-9≥O，得x2≥9，所以x≤-3或x≥3，則f（x2）的定義域為（-∞，-3]U[3，+∞）。

評析：由求函數f（x）的定義域過渡到求函數廠f（x2）的定義域，可以使同學們從實例中體會定義域是函數自變量的取值集合，兩個函數解析式中自變量x的意義不同，為接下來的抽象函數定義域的求解形成“形”的認知。

接下來我們求函數f（2x+1）的定義域。

分析：要求函數f（2x+1）的定義域，先求其解析式f（2x+1）由2x-8≥o，得x≥4，所以f（2x+1）的定義域為[4，+∞）。

小結：由函數f（x）的解析式，求函數f[g（x）]的定義域，只需將g（x）“整體”作為“自變量”代入f（x）的解析式，化簡求其自變量x的取值集合即可。

思考：若已知函數f（x）的定義域為[9，+∞），如何求函數f（x2），f（2x+1）的定義域呢？

此時函數f（x）已無解析式可以代入，進而過渡到新的學習目標——抽象函數的定義域。通過觀察實例中定義域的求解過程可以得出：函數f（x）的定義域由x-9≥0得出，f（x2）的定義域由x2-9≥0得出，f（2x+1）的定義域由（2x+l）-9≥0得出。那么求函數廠[g（x）]的定義域呢？可由g（x）-9≥O得出g（x）≥9，進而解出關于x的不等式，得出f[g（x）]的定義域。

從具體實例中，同學們可以充分體會到函數f（x）與f[g（x）]中的“x”含義不同，它是用同一字母來表示兩個不同函數的自變量，在對應關系.廠作用下引例中的g（x）（x2，2x+1）的范圍和x的范圍相同，而函數的定義域是對自變量x而言的。從而完成由具體函數定義域的“活水”引入抽象函數定義域的理性思維，使同學們體驗了思維產生的過程。

2.典例歸納

例1 已知函數f（x）的定義域為（-2，2），求函數f（3x-2）的定義域。

參考答案：f（3x-2）的定義域為（0，4/3）。

小結：已知函數f（x）的定義域為D，求函數，[g（x）]的定義域是使函數g（x）∈D的x的取值范圍。

例2 已知函數f（3x-2）的定義域為[-2，4]，求函數f（x）的定義域。

參考答案：f（x）的定義域為[-8，10]。

小結：已知函數f[g（x）]的定義域為D，求函數f（x）的定義域即為求x∈D時函數g（x）的值域。

例3 已知函數f（x+1）的定義域為[-2，3），求函數f（2x-3）的定義域。

參考答案：f（2x-3）的定義域為[1，7/2]。

小結：已知函數f[g（x）]的定義域為D，求函數f[h（x）]的定義域即求x∈D時函數g（x）的范圍，即為h（x）的范圍，進而求x的取值集合。

作者單位：安徽省阜陽市太和一中