函數與方程思想在高中數學解題中的應用

高中數學解題中，函數與方程思想的應用就是通過函數與參數，建立已知與未知之間的關系，從而更好地解決抽象數學問題。下面具體來分析它們的應用。

一、在數列問題中的應用

從函數的角度看，數列會給人們一種直觀的呈現，其屬于特殊的函數表達式。函數與數列之間的關系并不僅僅是含義相近，更多的是數列本身蘊含著很強的函數意義，在解決數列問題時，靈活地應用函數與方程思想，能讓問題更加快速地得到解決。

例如：假設數列的{an}的前n項和Sn滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N'，并且S3=15。試求：

（1）a1、a2、a3的值。

（2）數列{an}的通項公式。

分析：在這個題目中就可以先通過函數與方程思想，將問題中的各種數量關系結合在一起，形成一個不可分割的整體，然后構建相應的函數關系式，通過等式運算得出結論。

根據題目信息，先列出關于Sn的方程式從而得出a1=3，a2=5，a3=7。由于Sn=2nan+1-3n2-4n，當n≥2時，Sn-1=2（n-l）an-3（n-1）2-4（n-1）.合并整理可以得出an+1=最后通過數學歸納法可以得出，n∈N，an=2n+l。

二、在三角函數中的應用

在高中數學中，三角函數是一個十分重要的知識點，通過函數與方程思想，可以將三角函數的性質、求值、證明等復雜問題變成簡單的代數問題。

例如：已知sinα+coSα=1/5，α∈（o，π），求tanα的值。

分析：本題可以通過三角函數的變量關系建立相應的一元二次方程根的代數式，將復雜的三角函數問題轉變成熟悉的一元二次方程求根形式。

由，得出可以將sinα，cosα看成是方程x2-的兩個根，通過解一元二次方程，可以得出。由于x∈（0，π），sinαcosα<0，可以得出sinα=4/5，cosα=-3/5，所以tanα=-4/3。

三、在現實問題中的應用

隨著教學改革的推進，以社會生產、現實生活為背景的數學題目也越來越多。對于現實問題，同學們應靈活應用函數與方程思想進行解題，以此強化實際的解題能力。

例如：班級中20名同學在小區植樹，每個人植1棵，相鄰的兩棵樹距離為10m，開始的時候，樹苗集中放在某一棵樹的旁邊，對樹坑進行編號，為1～20，為了讓學生從領取樹苗到自己所對應的樹坑所走的距離和最短，則樹苗放置在哪兩個樹坑編號旁最合適？

分析：解題時，可以將樹苗放置的樹坑編號設為z，列出學生領樹苗到對應樹坑所走的總距離S=|1-x|* 10+|2-x|×lo+…+|20-x|×10，取s的最小值，y=（1-x）2+（2-x）2+…+（20-x）2=20x2-420x+（12十 2+…+202），結合二次函數的知識，可以得出函數y=20x2-420x+（12+22+…+202）的對稱軸是y=10.5。根據題意可知x取整數，可得x=10或x=11。所以樹苗應放在10號、11號樹坑旁邊。

作者單位：安徽省臨泉縣田家炳實驗中學