直觀想象視域下的空間幾何體的外接球問(wèn)題六

研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)。試題多是相對(duì)靈活的中檔問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定想象出球與多面體的位置關(guān)系，以及找出外接球的球心。

一、重視文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的理解，提升直觀想象核心素養(yǎng)

例1 如圖1所示，在三棱錐V-ABC 中， ∠VAC =∠VBC= 90°，VC=6，求三棱錐的外接球的體積。

解析：依題意可知△VAC與△VBC是有公共斜邊的直角三角形，據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得OA=OV= OC=OB。則球心為vc的中點(diǎn)O，外接球的半徑為3。所以V=4/3πR 3=4/3π.3³=36π。

評(píng)注：空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖形的想象能力。識(shí)圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系。解題時(shí)并不需要我們畫(huà)出球，而應(yīng)想象出球與三棱錐的位置關(guān)系。

二、重視與平面圖形知識(shí)的聯(lián)系，突出化歸的數(shù)學(xué)思想

例2 在平行四邊形ABCD中，∠CBA =120°，AD =4，對(duì)角線(xiàn)BD=2√3，將其沿對(duì)角線(xiàn)BD折起使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為多少？

解析：如圖2所示，由已知∠A=60°，AD=4，BD=2√3，由余弦定理可解得AB=2，故AB⊥BD。由平面ABD⊥平面BCD，可得AB上平面BCD，則AB⊥BC，AB⊥CD。所以CD⊥面ABD，則△ABC與△ACD是以AC為直角邊的直角三角形。所以AC即為球的直徑，則R=√5。所以V球=4/3π（√5）3=20√5 /3 π。

評(píng)注：折疊類(lèi)問(wèn)題對(duì)于同學(xué)們而言是個(gè)難點(diǎn)，故應(yīng)認(rèn)真分析折疊前后哪些量變、哪些量不變，平面圖形的性質(zhì)要會(huì)用。題中有線(xiàn)面垂直，所以可從線(xiàn)面垂直中抽象出線(xiàn)線(xiàn)垂直，從而轉(zhuǎn)化為四個(gè)頂點(diǎn)分布在有一公共斜邊的兩直角三角形問(wèn)題，即球心為斜邊的中點(diǎn)。

三、形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，提升直觀想象核心素養(yǎng)

例3有一個(gè)三棱錐的六條棱分別是兩兩為2，√3，1，求這個(gè)三棱錐的表面積。

解析：觀察長(zhǎng)度2，√3，1為三棱錐的棱長(zhǎng)，故有兩個(gè)直角三角形。本題三棱錐圖形的放置很關(guān)鍵，應(yīng)該盡量找到垂直底面的側(cè)棱。

如圖3所示，AB=CD=√3， AC=AD=2，BC= BD—1，則AB⊥面BCD，△BCD是等腰三 角形，底面圓的半徑為1，球心到底面圓心的距離為√3/2。R2=1+3/4=7/4，則s表=4 πR2=4π.7/4=7π。

評(píng)注：本題圖形位置的擺放很重要。對(duì)圖形的想象主要包括有圖想圖和無(wú)圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志。以形輔數(shù)，可以讓同學(xué)們借助恰當(dāng)?shù)膱D形去思考并解題。在幾何直觀視域下培養(yǎng)同學(xué)們的推理與解題能力，需理解圖形的特征，把握?qǐng)D形的本質(zhì)，畫(huà)好示意圖，把握問(wèn)題的本質(zhì)。

作者單位：福建省潼平第一中學(xué)