運算能力的培養要緊扣『理』『法』『境』
——以《兩位數乘兩位數（不進位）筆算》教學為例

蔣敏杰 潘小福（特級教師）

數的運算是小學數學課程的重要內容，是數學教學的基礎。“運算能力”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的應當注重發展的十項素養之一，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。《普通高中數學課程標準（2017年版）》將“數學運算”定位為六項數學學科核心素養之一，主要表現為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果。基于小學數學的學科性質及小學生年齡特點，小學生數學運算能力的培養應注重理解運算、實施運算和估算。計算教學中要重視學生獨立思考，多元表征理解運算的算理，構建算法，靈活選擇合適算法解決問題，發展思維能力。

“兩位數乘兩位數的筆算”是小學四則運算的重要內容，是后續學習三位數乘兩位數以及小數乘法的基礎。乘數由一位數拓展為兩位數，是學生認知結構由舊知向新知的一次拓展，更是整數乘法學習中的一次跨越。不少教師在教學豎式時認為，學生已會兩位數乘一位數豎式，只需要引導遷移就行；或是學生在教師的帶領下僅完成了例題就放手讓學生獨立練習。而現實是：學生不會算，第二層積不會對位，乘的順序有誤……可見，兩位數乘兩位數筆算豎式結構、運算程序與原有經驗的差異，學生認識跨越的客觀性，這些決定了理解及實施運算不能簡單地遷移與講授。人教版、蘇教版教材將此內容均編排在三年級下冊，兩位數乘一位數、整十數口算教學之后，都以解決實際問題為情境引入。具體編排上，人教版承接已往學習經驗和工具，利用點子圖引導學生圈一圈、算一算，借助幾何直觀，學生不僅明確口算方法的算理，還溝通了內在聯系，幫助學生將口算方法遷移到筆算方法中。蘇教版則充分應用問題情境“又搬來2 箱”，引導學生借助認知經驗，聯系實際問題中的數量關系來感悟算法，連接筆算豎式，進而掌握算法。可見，兩個版本教材都遵循學生思維發展過程，強調算理聯通，構建算法，靈活應用，于此，教學中緊扣“理”“法”“境”三要素，是提升學生運算能力的可行策略。下面以王妍老師和王暑雅老師《兩位數乘兩位數（不進位）筆算》的同課異構教學為例，談一談小學生數學運算能力的教學培養。

一、注重“算理”理解的探究與建模

算理為算法提供理論依據，核心在明理、會意、成型，懂得“為什么這樣算”的道理，因此理解算理是正確掌握計算方法的關鍵，缺乏算理支撐的算法是機械的，只有既明白怎樣算又明白為什么這樣算，算法才具有意義。本課的算理關鍵在于理解為什么分兩步乘，以及每一步乘的結果為什么要寫在規定的位置上。“理”如何講清講明，兩位教師采用了不同的表征方式加以支持。理解為什么分兩步乘，由于三年級學生沒有學過乘法分配律，不可能聯系運算律來理解和解釋兩位數乘兩位數的算法，因此王妍老師通過點子圖的圈、畫表達算的過程，提出要求，借助幾何直觀，引導學生理解這樣“拆開來”計算的必要性與合理性。王暑雅老師，結合著“買鉛筆”的現實情境，引導學生調用生活經驗，聯系實際問題中的數量關系感悟理解。如“把12 盒拆成2 盒和10 盒，先算2 盒，24 乘2 等于48 支，再算10 盒，24 乘10 等于240 支，最后加起來就是288支。這樣分更容易口算。”對建立在現實情境中的數量關系進行分析，為學生理解算理提供幫助。

對于理解“每一步乘的結果為什么要寫在規定的位置上”，兩位教師的做法趨于一致。兩節課都非常注重溝通“拆開來計算”的過程與已有豎式計算經驗，引導學生在比較聯系中理解每一步算出的是什么，在豎式中如何表達等，從而較好地理解豎式計算的程序。

教學研究可知，算理的理解離不開對問題構造的數學模型抽象，理解算理需要通過多種形式，多元表征算法內涵，以促進已有認知經驗的遷移與再創造，幫助學生形成計算模型。這種幫助一般表現為提供一定的思維支架，如本課研究中對點子圖操作與結合情境圖理解等，都為學生搭建了“為什么這樣算”的平臺，通過“動手做”“用嘴說”“落筆記”的方式，促進學生對算理進行主體性構造分析。此外，兩位教師在教學中不約而同地設計了操作、口算（橫式）與豎式表達的溝通環節，進一步在掌握算法中強化了算理理解，使算理融于計算認識的不同節點，如此有意義的聯系，使“算理”理解成為一個整體綜合的內循環過程。

二、體現“算法”建構的創造與遷移

計算能力包含著對算法的構造、設計、選擇。算理、算法互為支撐，讓學生經歷算法的“創造”過程，既是對算理理解的強化，也有助于學生理解及掌握算法，提高計算技能，是學生運算能力提升的重要保證。上述兩個教學中，雖然算理理解的表征切入方式不同，但都注重了基于“理”的算法自主探索，以順應學生的思維方式，引領學生經歷知識“生長”的過程。

第一層次：根據需要解決的問題，調用原有經驗，引發思考。“借助點子圖，把你的想法記錄下來”“你能根據以前學過的知識想辦法解決嗎？”基于問題解決，教師提供學習工具，提出探究任務。其后，學生借助圖式、具體情境將問題轉化為已經學過的一位數乘法進行計算，并通過比較分析，理解不同算法的合理性，并類推出更多“拆”的方法。王妍老師在這個過程中還特別設計了變式辨析的過程，讓學生感受到有的兩位數不能拆成兩個數的乘積，但是總能拆成整十數和一位數的和，為后面的豎式計算、理解算理做了很好的鋪墊。

第二層次：溝通不同算法之間的聯系，讓學生自主“創造”兩位數乘兩位數的豎式。兩個版本教材，都是從分步計算的角度引導學生向筆算進行遷移的，較好地蘊含了豎式計算的算理和計算程序，但如果僅此而已，常會出現“分步計算直觀易懂，但到了豎式計算時，每一步計算的是什么就不那么直觀”的現象，如何幫助學生從分步計算過渡到豎式計算，完成對兩位數乘兩位數的算法建構呢？兩位教師都關注到了“操作”與“思維”，將豎式創造與記錄表達有機聯系起來，引發思考：“先算什么，再算什么，怎樣書寫豎式可以清楚地記錄計算過程，并計算出結果？”兩者不同的是，點子圖較直觀，情境圖則更貼合生活情境。正如教學中出現了有的學生是分三個豎式，有的是對位出錯等等，這些都通過想、說、辯等過程得以從“理”的視角糾正，這種承接理解，接的就是運算本質的地氣。這個教學過程中，不是簡單地告訴學生兩位數乘兩位數的算法，而是讓學生經歷“尋求”合理運算途徑的過程，是個人的運算“創造”。

第三層次：逐層構建，掌握算法。對于豎式計算的算法突破，并非一次例題教學就能突破，而需要進一步豐富例證，以降低學習難度，提升計算技能。王妍老師通過“示范指導——回顧反思——比較溝通”的閉環方式，幫助學生進一步掌握豎式計算程序，在練習后嘗試總結計算方法。王暑雅老師則結合問題情境，設計“聯系情境——指導講解——演繹應用”的過程，促進學生歸納算法。兩種方式的教學都承接“算法創造”的過程，體現對實施運算能力的落實。

教學研究可知，要讓學生自然地理解、掌握計算方法，首先需要教師設計貼合兒童思維的多樣化探究活動，從已有經驗與方法出發，逐步向具體算法進行遷移與轉化，并在過程中不斷優化認識，豐富理解。兩個教學中，學生借助思維工具的支持（點子圖、問題情境），憑借原有經驗遷移、轉化能夠想到算法，并通過直觀化手段引導思維，展開分析、綜合、比較、抽象和推理等思維過程，使學生能夠從乘法的意義、具體情境中理解算理，支持算法形成，不但使算法有根據，還發展了學生的思維能力。其次，要聚焦核心關鍵，注重引導算法創造。如本課中“如何對位書寫”的問題就是核心關鍵，教師要聚焦相似性，幫助學生對算法進行主體性構造分析，給予學生研究、交流的平臺，在“講道理”中實現特殊向一般的轉化。最后，還需要設計溝通比較環節，以提升對算法的歸納。教學中教師需要以例題指導為基礎，開展指向算理理解與算法建構的梯度練習，并通過多個例子的分析比較后，再進行算法歸納，使“算法”落地。

三、強調“情境”應用的思維與習慣

運算能力并非是一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合，是以數學認知、數學思想、個人發展三個維度融合架構形成。計算教學始終要以問題解決為目的，經歷“從現實情境中提出問題——探索計算方法——解決實際問題”的過程。因此運算能力的培養，不僅要處理好“理解算理”“掌握算法”，更需要結合“現實情境”，培養學生判斷與選擇的意識和靈活敏捷的思維品質，提升運算能力。正如學者指出的：應用這種意識靈活解決問題的能力，其核心是指計算策略中的靈活性和創造性，而非“沒有思維”的計算程序。

兩位老師在教學的設計中，無論是點子圖操作還是數量關系分析，都伴著具體的問題情境，結構性地呈現學生的思維成果，引導學生比較異同，加深對算理的理解，再溝通算法之間的聯系，借助“怎樣表達計算過程”的步驟，建立對兩位數乘兩位數筆算中“每一步乘的結果怎樣寫”的問題。在練習中，王妍老師采用不同情境應用的方式，如在“你會找聯系嗎？”練習中，啟發學生“發現豎式計算與圖中各部分有怎樣的關系”，以進一步清晰地感受到豎式計算中每一步的意義。當然，其中也暗含著乘法、面積之間的關聯，讓學生感受整體與部分、筆算與圖式之間的關系。王暑雅老師則采用連續情境切入的方式，在“小熊文具店”的購物情境中，實現豎式的優化；借助豎式計算比較，獲得對“調換兩個乘數的位置，積不會改變”的感性認識，為以后認識乘法交換律積累經驗。又如兩節課都注重了在具體情境下計算方法的選擇問題，王妍老師設計的“裝蘋果一共需要多少個箱子”的問題，在比較辨別中，體現了基于數量關系及數據特點，靈活計算的價值取向。王暑雅老師設計的“600 元夠不夠”的問題，體現出教師對學生具體情境下估算能力的有意識培養。

教學研究可知，計算教學中的情境需與具體問題聯系，才能使運算成為解釋現象的工具，成為交流、加工、解釋信息的量化方法，發揮最大功能。比如錯例分析（改錯）是計算教學的常用方式，針對容易出錯處，化錯解錯，弄清錯誤的根源，將有助于學生對計算方法的掌握。如何使計算能真正解決學生的疑難？錯例的問題情境設置就需把握兩個方面：一是計算本身的難點，這是學生面對新知時產生的困難，如位值理解及口算技能等；二是學生的現實難點，這是學生的真正困難所在，如第二層積的書寫對位問題。教學中，借助錯例及時反饋學生的問題所在，為解決學生的疑難而教。當然，開展具體問題情境的“基礎練習”“挑戰問題”等也將幫助學生合理分析，掌握算法。

需要特別關注的是，計算靈活性意識與習慣的培養。有意識地積累問題解決的經驗將為學生問題識別分析、算法合理選擇等提供現實的經驗基礎。比如兩位教師在教學中都關注到了先估再算的習慣培養，讓“估”真正為計算結果是否合理進行“導航”，王暑雅老師還特別注重了“估”與正確結果的比較，讓學生體會到“估”的價值。良好的運算能力也體現在面對不同情境的具體問題解決方式，以往我們較為強化筆算出精確值作為學生解決問題的主要方式，忽視了估算、口算、靈活選擇計算等方法。事實上，單一固化的技能訓練往往使學生思維發展淺層與弱化。本課中，兩位教師在問題情境設計上充分關注到了能力發展節點，通過“能讀完嗎？”“夠不夠呢？”“□7×□8 的乘積可能是多少？”等問題，帶動學生結合情境選擇筆算、口算、估算的應用，體現了“有思維”的算法選擇，提升了運算能力。

“兩位數乘兩位數筆算”的同課異構教學，兩位老師均緊扣計算的“理”“法”“境”，通過學生對算法的自我創造，架起了經驗與方法的橋梁，在理解算理、掌握算法、情境應用中促進了思維發展，這些正是發展學生運算能力的重要要素與可持續研究的方向。