感悟變式教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

李懷忠

【摘 要】 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，針對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景改變問題的設(shè)置形式，事實(shí)證明，有效的變式訓(xùn)練對(duì)于優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、提升學(xué)生的思維能力有很重要的作用。

【關(guān)鍵詞】 變式;拓展;遷移

所謂變式教學(xué)，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)數(shù)學(xué)問題從不同角度、不同層次進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，采用題組形式，以點(diǎn)帶面，讓學(xué)生深層次理解問題的本質(zhì)，從而掌握解決問題的基本方法。教學(xué)實(shí)際表明，利用變式教學(xué)，可以優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解，能有效提高學(xué)生靈活解決問題的能力，尤其是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力有著重要作用。本文就一節(jié)高三復(fù)習(xí)課進(jìn)行變式訓(xùn)練的做法和感悟，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

【題目】求函數(shù)f（x）=的最小值。

分析：設(shè)g（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，

當(dāng)x=1時(shí)，g（x）min=2，所以f（x）min=。

【設(shè)計(jì)背景】此題的核心概念是二次函數(shù)型的復(fù)合函數(shù)值域問題，內(nèi)層函數(shù)的最值影響整個(gè)函數(shù)的最值。

為了能夠讓學(xué)生準(zhǔn)確把握習(xí)題背后所隱藏的核心概念和思想方法，設(shè)計(jì)如下的變式題組：

【變式1】（1）當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，求f（x）的最小值;

（2）當(dāng)x∈[-1，0] 時(shí)，求f（x）的最小值;

（3）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求f（x）的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)對(duì)稱軸不動(dòng)，區(qū)間在動(dòng)，函數(shù)最值的變化情況，在解決問題的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)對(duì)稱軸、區(qū)間是影響二次函數(shù)的基本因素，這種“拉長(zhǎng)”知識(shí)的形成過程的變式訓(xùn)練，可以強(qiáng)化核心概念的生成。

【變式2】當(dāng)x∈[a，a+1]時(shí)，求f（x）的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】將變式1中的三種確定的區(qū)間用變量a來代替，區(qū)間就有不確定性，根據(jù)a的變化求得f（x）的最小值H（a），從而得到新的函數(shù)H（a），使學(xué)生形成運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)分類討論的方法，從而掌握數(shù)學(xué)思想方法。

【變式3】將函數(shù)f（x）=變?yōu)閒（x）=，求函數(shù)f（x）的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)行函數(shù)的變換，對(duì)稱軸變化致使函數(shù)的最值也在變化，從不同的方面進(jìn)行變換，使學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)或者二次型的函數(shù)最值是受開口方向、對(duì)稱軸、區(qū)間三個(gè)方面來影響的。

【變式4】原題是求最小值，若改為求變式3的最大值，則結(jié)果如何？

（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求f（x）的最大值;

（2）當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，求f（x）的最大值;

（3）當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，求f（x）的最大值。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)求解的結(jié)論進(jìn)行變換，使學(xué)生對(duì)變換進(jìn)行更高層次的理解和把握。

【變式5】求，x∈[-1，1]的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)稱軸動(dòng)，區(qū)間不動(dòng)，數(shù)學(xué)形式在變化，但是解決問題的數(shù)學(xué)思想不變，使學(xué)生感受到變式的交互性。

【變式6 】求y=，x∈[m，n]的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】 將根式下的具體的二次函數(shù)變?yōu)橐话愕亩魏瘮?shù)，區(qū)間也是不確定的，解決問題要回歸到一般化的結(jié)構(gòu)形式，體現(xiàn)變式的最終目的：解決一般問題。

【變式7】（1）（2018·廣東惠州一模）函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值為（）。

A. B. 1C. D. 2

（2）（2014重慶）函數(shù)f（x）=的最小值為_。

【設(shè)計(jì)意圖】借助三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，讓學(xué)生把隱形的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為具體的二次函數(shù)，體現(xiàn)變式的最終目的：知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化能力。

【感悟】

一、變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、探索的思維能力

教師要學(xué)會(huì)在平時(shí)的教學(xué)中幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)，了解知識(shí)的生成過程，但更重要的是在問題的解決過程中，潛移默化地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，而不僅僅是以題講題，完成任務(wù)。從變式1到變式2，是師生進(jìn)行知識(shí)同構(gòu)的過程，即二次函數(shù)的最值問題與開口方向、對(duì)稱軸、定義域有關(guān)，變式2是區(qū)間的不確定，使得問題的解決需要分類討論，以確定函數(shù)圖像所在的位置，分類討論的數(shù)學(xué)思想悄然而至，問題的解決過程就是知識(shí)重建和數(shù)學(xué)思想的滲透過程。通過這樣的變式，對(duì)知識(shí)進(jìn)行構(gòu)建與領(lǐng)悟，將有利于學(xué)生聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、探索思維能力的提高。

二、變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力

變式教學(xué)就是基于需要解決的數(shù)學(xué)問題，從不同層次、不同角度設(shè)計(jì)變式題組，形成有一定梯度、一定層次的問題鏈，在解決相應(yīng)題組的過程中，幫助學(xué)生尋找求解類似問題的數(shù)學(xué)思想和方法。變式3和變式4屬于思想方法的遷移、類比，通過這樣的訓(xùn)練，可以大大加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和方法的應(yīng)用，舉一反三，提高思維能力;從變式1到變式6，從不同的層次變式，難度在螺旋上升，思維的廣度在加深，學(xué)生對(duì)方法的理解更加透徹。

三、變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)主要目標(biāo)就是解決問題，通過解決問題來引導(dǎo)學(xué)生形成自己的思維能力。因此，教學(xué)中要注重對(duì)學(xué)生思維分析能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)初步理解和掌握之后進(jìn)一步升華和熟練，使學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三。運(yùn)用變式教學(xué)，改變的是問題結(jié)構(gòu)或者呈現(xiàn)形式，而不變的是理論、方法、思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)，使思維達(dá)到一定的高度，這就需要培養(yǎng)學(xué)生概括、歸納的思維能力。通過變式6，學(xué)生形成了解決問題的一般方法，切實(shí)地從題海中走出來，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)與增效。變式7的解決，深化了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化，有效地提升了學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙華.變式訓(xùn)練是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)， 2017（1）：30-32.